А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 37
Текст из файла (страница 37)
3.213. Если длина дуга А,В разве з, то ($ а) (А», ° ", А» не принадлежат дуге А~В). 3.2!6. Использовать формулу полной вероятности зэ» Р(6 >х,6 >у)=- ) Р(6 >у~1 =з)р1 (з)Аз, 14 *. М. Зубков и лр, где р4 (г1 — плотность распределении $ь и указания к запаче 3.215. 3 217. Использовать формулу полной вероятности р (Ьг ~ хг " Ьа ' Ха) = тат Р(Е )х,„.„$а~х„)0 =г)р (г)3г, х метод математической индукции (по й) и результаты задач 3,215 и 3.216. 3,218. Воспользоваться реаультатом задачи 3.217 и тем, что '6 у р(%1)х ()=1,...,Е), Е )О (ег Е ° ° ° 1д)) 3.2Н).
Заметить, что т = 81+... + 8, где (Ою = 1) = ($а ) 5) (О» = О) = (Зг.- Л). Далее использовать задачи 3332 в 3.133, 3.215 и 3.218. 3.220. Заметить, что (г) х) = Й (с:ь х). Использовать фора 1 мулу 1132) иа введения к гл. 1 и результат задач 3.217, 3.218. 3 221. Испольаовать задачи 3.220, ЗЛЗ5 н равенство 1 ь=! е е 3.222. Пусть а, 3, 1 — длины дуг ВС, СА, АВ, Использовать равенства 1 — (е!п гг+ згл8 -';- з)ау), 2 (е)п + е!а + з1п 2 2 ' 2 23 сг 5 7 — = сое + соз -г соз 2 2 2 ' результаты задачи 3.215 и свойство аддитивности математического ожидания. 3,223, а) Использовать равенство 1 о~ах(аыа ) Мо= ) (У вЂ” а )(У--а)АУ вЂ” 2 ) (У вЂ” а)(У вЂ” аз)ЗУ, е апа(аыа ) б) Подставить результат и.
а) в формулу Ма = М(М(п)А)). 3.224. а) Найти вероятность поражения цели ири условии, что ь фиксировано; б) воспользоваться результатом задачи 3.40. 3.227. Получать рекурреатнуго формулу для Мйь, используя гжтегрироеапне по частям, 210 3.223. Представить как~дую часть неравенства в виде интеграла по интервалу (з. ~с) от ее произвадпой и сравнить подмытагральные выражеякя, 3.230. Записать Р(П (з» в виде интеграла и вычислить его, переходя к полярным координатам. 3.231. Исполъаовать реаультаты задач 3.35 и 3.229, а). 3.233. Полъауясь тем, что иятеграл от плотности нормального расоределепся равен 1, найти Меч и Меж, где случайная величина и имеет нормальное распределение с параметрами (а, сз).
3.234. Воспользоваться задачами 3.233 и 3.229, б). 3.2е3б, б) Заметить, что Найти М !и $ и (Г)п |, исполъауя результаты аадачи 3.233. 3.233. См, указания я задачам 3.227 в 3.2е33, 3.237. Воспользоваться тем, что случайные величины 3 и †одинаково распределены. 3.238.
Разложить соа 3 в ряд Тейлора по 3 и с помощью ре- зулътатоз задачи 3.227 найти математическое ояазданне каждого слагаемого. При вычислении М сонг 3 предварительно перейти и функция от двойного угла. 3.239, Воспользоваться реаультатамн задач 3.237 и 3.233 и ра- вонстиом М е!и'3 1 — М соз' $. 3,240, Вычислить (Мсоаз -»-1Мвп3) =1МгН ), запи- 3 сав зту велвчкяу в виде двоякого интеграла и затем переходи к полярным коордкиатам. При определении квадратного корня найм тк знак 1ст ме ', делая в иятеграве замену переменных и зз и рассматривая интегралы по в от 2пй до 2л(4+1), 4=0, 1, ° ..
3.241, Найти плотность совместного распределения з)ь т)а. 3.242. а) Испольаовать равенство Р( — 3 < з, »$» ~1) ° Р(3 .С з, (3( ж 1). б) Найти Р(3 + П = О) ° 3.243. Случайная величина 3 — щ имеет нормальное распреде- ление. 3.244. Случайные величины 2$~ — йв 25~ — 3,+ 3з имеют яор- мальяое распределение. ~гоз ~р — з»п ~р) 3.245.
Линейное преобразоваяие с матрицей ортогояальяо, 3.246. Воспользоваться задачей 3.245 с и = я/4, 3.249. Используя задачи 3.247, 3.248, представить (йъ йа) в ви- де подходящего линейного преобразования случайного вектора (ьъ ъз), имеющего сферически свмметричное нормальное распределение с К~ 1хъа 1, 1з+ 1у)ь 3250. Записать отображение х = *+ 12 -~ ( а 1Ь-гдз »„) -гз полярных координатах и воспользоваться сферпческой симметрич- ностью совместного распределенкя 3, и Зъ 3.252. а) — в) Восполъзоватьгя пгзавпгимостью $ и з); г) вос- польаоватъся решением а) и симметричностью двумернои плотно- сти распределения (3, и) относительно начала координат; д), е) вычислить с помощью интегрирования двумерной плотности, 211 3.254.
Воспользовавшись тем. что плотность сфервчегнв свм- мотрпчпого нормального распределения вввариаятна относительно поворота вокруг начала коордвват, повервуть прямоугольник так, чтобы его сторояы стали параллельны осям, а вероятность попа- дания в яего яе намеввлась. 3.255. Воспользоваться спмметрвчпостыо двумерной плотности относительно зпобой прямой, проходягцей через начало координат, и еа внваркантностью относительно вращенпй вонруг начала ко- ординат. 3257. б), в) Найти плотность ($, «) в полярных координатах.
3.256. а) Выразить искомую вероятность через плотность в полярных координатах (см. задачу 3.256). б), в) См. указапня к аадаче 3,254. 3.259. Вектор ($, — $» «щ — «г) имеет нормальное сферпческп симметричное распределение. Воспольаоватьсл задачей 3.230. 3260. Вектор А~М~ (-$~+ ($г+ $з)/2, — «~+ (сп+ «з)/2). См. укааанне к задаче 3.259. 3.261. Показать, что точка М, и вектор А,А, незавпснмы.
Вы- вести отсюда независимость векторов А~Я~ н А,Аз (и, аначит, нх длин), З.з62. Треугольник является тупоугольным тогда в только тогда, когда одна из его сторон больше удвоенной медианы, про- веденной п втой стороне. Эти события, относящиеся к трем разным сторонам, несовместны н имеют одну и ту же вероятность, Найти агу вероятность, нспольауя реаультаты задач 3,260 п 3.261. 3.263.
Треугольник А,А»4з не имеет тупых угзюв тогда и только тогда, когда ов не содершпт внутри себя центр описанной около него онруяшостп Использовать задачу 3.212. 3.264. Заметить, что распределения случайных величии $ и -$ говнадают. 3.265. Ввести вспомогательный случайный вентор $' (.",г, $ )=($ /пд, $ /а ),имеющий сферически симметричное дву- мерное нормальное распределенве. 3.266.
Иа реаультата задачи 3.264 вывести, что достаточно пай- . вн р,о. Подобрать числа аь Ьь Ьз так, чтобы случайный вектор $ ($» $г) (ай» 5~$~+ Ьз$г) имел сферическн симметричное нормальное распределение с плотностью г — а +в з в чтобы 2к ($~ Звб, $г>О) ($~ в О, $з Зв Ь~/а~). Для вычисления рю воспользоватьсн последним равенством н сфе.
ричсской симметричностью распределения $. 3.267. Найти такие числа в и и, что случайные величины $~ н « = иЬ + г$з везавпскмы и одинаково рвопределены. Записать вгкомую вероятность в терминах вентора ($» «) и воспользоваться сферической симметричностью аю распределения. 3.268. Найти распределение $, — а$з. 3.270, а) Вектор ($з — $» $,— $Д является разностью двух векторов ($» $в) н ($» $~), нмеющих нормальные распределения. б) Распределение Я~г> — $пь $оп — $пз) совпадает с условным аспределеппем ($г — $» $з — $ц) при условна, что $>( $з ~ $з.
ероятность события $ с, а:, $о, г., $в, ие зависит от перестановки (оь ог, оз) злемантов (1, 3, 3). в) Воспользоваться задачей 3.267. 3271. См. укааапие к задача 3.270. 312 3.272. Ср, с задачей 2Л9. 3.278. Найти функцию распределения 1ь- шах (31(. тл«чз 3.279. Воспользоваться соотношением (Мь( К М«ь( и Резул-' татом задачи 3Л32. 3.281, Рассмотреть распределение с плотностью р(х, в ) С гехр ( — (аз+ аз +азтезз)~« «О С = ~ ~ ехр ( — (л~+ вт+ в«аз) ~ «за пхз. Глава 4 4Л. Заметить, что если ),(г) =О при «1! ( а, )»(1) 1 пра (т( ~) х, тор((3( ~)х) м)»(с) и 9(«) «т»(«)к(з). '4.4.
Показать, что длил«обых з) О и и 1,2..., '" — а 1) е~ ~(~! ' "' 'Н«»+ю~з) — а~)в) ц ,1 1 ((о+ 1)(2) и использовать приведенные во введении и гл. 4 условия выполнения закона больших чисел. 4.4. Применить результат задачи 4.4. 4.6. Показать, что )7 т ''' »» = (1+»(1)) —, в-«со, й,+ "+3 Спи а а+1 найти распределение ($«+ ... + $„) «л и использовать точную Формулу длн Р() $«+...
+ $ )/а~ ( е). 4.7. Воспользо««аться неравенством Чебышева н реаультатом задачи 4.6. Выяснить. при каких знвчеовях с«удовлетворяет аакону больших чисел последовательность случайных величин $ь $ь .. еслв опи везазисямы и при л = 1, 2, ... Р(3» = О) 1 — 2 ь« Р(3,=2»Сй»)-Р(3,= — 2сй ) -2-ь-'. 48. Оденвть сверху дисперсии ь«+...+»» и Ч«+ ° "+ Ч» и првмевлть ьеравенство Чебышева. 4.9, Вычислить математическое о«падение, дисперсию ьв/С~ и воспользоваться неравенством Чебышева. 4ЛО. Заметить, что ~п 2 т(»т+'''+») (.1+'''+»««)) з что позтомт 'Р-'"'-'("' "'- ~ +)" З 1 гте Ь З (ж — ° ° + ~) ~ е()Р го ° ° .~ > г) 2 / ~ е (я — 1) 3 Оцепить первое слагаомое в правой частя (1) с помощыа неравенства Чобышеза, а второе н третье — с помощью иеравскствз из задачи 4л для функции в(з) = )х).
4.11, Найти М/Д~) я 0(($~) и воспользоваться закоцом больших чвоел б) Использовать центральную предельную теорему. 4Л2. а) Если (з) обозначает дробную долю з, то (2+ йц) и (1ц) при любых целых М 1 независимы и имеют равномерное расвределекле па (О, 1]. б) Воспользоваться неравенством Чебышева. в) Заметить, что + ' +ге .т ''' -е — ~((з) Аз с, о если (2 + ц), ..., (й -~- ай) принадлежат отрезку (а, Ь). 4ЛЗ. зтверждсиие задачи можно вывести из закова болыпих чисел. 4Л4. Припевать закон больших чисел. 4Л5.
Воспользоваться результатом задачи ЗЛ57 и неравенством из задачи 4,1. 4Л6. а) Повазать, что Мт ( с . б) Ввести случайные вел ичииы тз = ул + ... + 2 ж и = 1, 2... „ где 2, = 1, если пРоисходит событие Ая и дт —— 0 в пРотивном слУ- чзс, Показать, что Р(т ) т,) = 1, я = 1, 2, ...; вычислить матема« тпческос ожвдаипе я дисперсию т и с помощью неравевства Че. бышева убедитьсв н том, что для любого 1у ( оз ) пп Р (т„~ У) = 1. 4.!7. Рассмотреть случайную величпву тао совпадающую о и при т()у и раввую 0 при и ° М. Очевидво, Мт, з Р, Показать, что предположение есугцествует такое Й ~ ес, что Р(и ~ )у) ( а — е < аз приводит к противоречию, если вычислять математическое ожидание тя по формуле Мт - .
~~~~~ Р(Ае П (т~< Й)) з ~~ (Р(Ае) — Р (т> ДГ)). еьы 4Л8. Связать события А со значениями одной и той же слу чайкой величины, имеющей раввомериоа распределение иа отреа ке (О, 1). 214 4.19. Показать, что если ч, — число одновременно происходишкд событий (»$„— ь) ) е), п =. 1, 2, . „то (1«ш 5ачьЦ= () 1«пт»2„— (1~ =- () (багга-~»« га.+со а=]га э. ' з! а 1 и применить лемму Бореля — Кактелли (задачу 4,!6). 4.26.
Показать, что вьгполияютск условия аадачп 4Л9. 4.21. а) Показать, что Р(А» —, Р(Н»<езр н припекать лемму Вореля — Кактелли (аедачу 4ЛО). б) Испольаозать соотношение — ! 1Н,,~ !)З~Я(,,= )11(р,=-оо». с-«с 1 й 4.22. Найти О ('(з, + ° ° + з е)/" ), приз«екать неравенство Чебышеве и результат задачи 4Л9. 4.23. Найти 0/з з+ +6 з . + ... +Ее), кспользоаагь опенку (. ««з+г .ьзоа и Р(шал((, ~, ..., (»~з»<~ Р(9 -е»« г=1 нерааекство Чебышева и результат задачи 4.19, 4.24. Вынести усиленный закон больших чисел из результатов задач 4.22 к 4.23. 4.25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
