А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 32
Текст из файла (страница 32)
220. Прн х = 2, 3, б имеем (х — у" о( а ())-(х, у о(юоа д))()(х, уаяо( а д)). 1.21. Вывести из малой теоремы Ферма, что (Хг ' — Ух ' ив 0(птоа Р)) = = (Х, У еи О( а Р)) П (Х, У ~ О( а Р)). !.22. Чтобы получить явные формулы для указанных в условии вероятностей, воспользоваться соотношениями (Х'+ У' ~ 0(гаоа 3) ) = (Х, У 0(апой 3)) () (Х 1, У вЂ” !(пюй 3)) () О(х — 1 У 1( а 3)), (Х'+ У'ам 0(ыоа 7)) (Х, У = 0(юой 7)) О (Хза Мь У елМг) () (Х ам Мь У ел М~), 137 где М, — мвоы1ество воет чисел вида 74+1, 72+ 2, 78+4, 41»вЂ” множество всех чисел вида 74+ 3, 74+ б, 74+ 6. Для докаэатеаьства неравенства пря Ф ° 7 воспольэоваться тем, что а»14 — 1 ел ; ио (ат)4 при и+ о с, )и — о(» 2.
При 4»- М ~ ~7 неравенст во проверяется непосредственно с помощью явпь л формул. 1,23. Множеству А ш (1... „М) взаимно однозыачыо соответствует составленная ив нулей н единиц строка хА = (хг, ... ..., хАЧ), Гдс хА= 1, если 1»и А, и хА=О, если 1~А; а слу- 1 .чайным нсдмыожествам А, А ~ (1... „3») соответствуе~ пара А А А А- А А строк х ', * т, элементы х ', ..., хнг, х т, ..., хмт которых неаависнмы и принимают значения 0 и 1 с вероятностью 1/2.
1!акоыец, (.4 () 1 =М1)=(х'1-(" ' »Я'„1 1=1 М( 1,24. См, укааание к задаче 1.23. Множества Аь ..., А, попарА1 А» но не пересекаются, если хг" + ... +х1» 1 при всех 1»и (,.", д')ь 1,2о. Разоить укаэанное в условии аадачи событие на непере- секающиеся события по вначепиям раэносгей 2» — $~ = 8» — $» н гм — и =») — »). (.ж В пп, в) н г) ыайгтн вероятности противоположныл со- бытий. 1.27.
а) Заметить, что (Х~+... + Хх х) = ((У вЂ” Х»)+... ...+()у — х ) = )у' — ь), б) Число (1+ )т)~ Ь~~~~ таких наборов хь ..., х ш (О, ..., Ж), что х»+... + х,„= )», равно коэффициенту при хь в (1+а+,, ,(1 — ""')"' ... + х ) =,„. Далее воспольэоваться раэложеныем 1 1 х)»~ функции (1 — х)-'" в степенной ряд. 1.28. См.
укаааине к аадаче 1.8. Убедиться в том, что равно- вероятный выбор номера автомобиля ив множества 10' номеров ох 0000 до 9999 эквивалентен выбору чисел Хь Хв Хв Х, иа мно- жества О, 1, ..., 9 по,схеме равновероятыого выбора с аовврвше- нием. Воспользоваться равенств)м ье Р(Х,+Х,=Х,+Х) = Х Р(Х,+Х,=Х,+Х,=й)- ь о ге 1 ~~~~~~ — (((х, х, х, х ): х1 1и (О, 1, ..., 9), х +х =х +х =Уа) !. а=с га = ~' — ! ((х, х,): х, т ш (О, 1, ..., 9), х, + х, = 4)! ь .о и т тч что согласью вадаче 1.27 ! ((ха, х, )1 х, х 1и (О, 1, ..., 9), ха+ х = 4) ! = С1„1в<ь ц+ =1+ гс1п(8, 18 — )»), 1.29. См.
укаванве к аадаче 1.28. 1Л2. 2) Найти веровтность противополшкного события А, состоящего в том, что хотя бы один номер не появился. Событие А представить в виде А = А~ 0... () Аж где А» (Ь = 1, ..., Й) — событие, состоящее в том, что шар с по»герон Ь не появичся. 1Л5. Воспольвоваться равенством Р(я <в «...е 1=-Р(с <л «...в „) 11» '" $»»т) 1» при любых попарно рааличных гь 12, ..., 1И! ш (1, 2, ..., й + 1). 1,36. Найти вероитность противоположного события, состоящего в том, что в отобранных папках солар»китая целиком либо две рукописи, либо ровно одна.
(Л7, В условии ие указаны числа жевщан и мужчин среди гостей, Задача имеет тривиальное решение, если эти числа не равны друг другу, Если же среди гостей имеется я женщин и в мужчвн, то для подсчета искомой вероятности можно воспольаоваться формулой Р(А ((В) = Р(А) +Р(В) — Р(АВ), где А (»пары» еанимают места (1, 2), (3, 4), ... (2я — 1, 2я)) (при некоторой нумерации мест по кругу), Н («пары» еанимают места (2, 3), (4, 5, ..., (2в — 2, 2п — 1). (2о, 1)). .33. Шесть номеров, вышедших в тираж, выбираются бев возвращения ив 49 номеров, Предположим, что все воеможные шее терка номеров равновероятны. Если на данной карточке ровно 3 номера совпадут с номерами, вышедшими в тираж, то по данной карточке игрок получит минимальный выигрыш. Найти вероятность события Ам состоящего в том, что на каждой карточке угадано ровно 3 номера, причем Ь О, 1, 2, 3 угаданных номеров являются общими для двух карточек 1.39.
Нужно считать раеновероятными все С~4 расположений двух ладей. Найти вероятность противоположного событии. (АО, Ладьи не угрожают друг другу, если все они стоят на равных гори»он»елях и вертикалях. Выбрать сначала Ь горизонталей и Ь вертикален, а ватем иа Ь» клетои иа их пересечении выбрать й клеток, удовлетвориющнх нуяшому условию. 1.42. Рассмотреть есе исходы первых Ь просмотров карманов. 1.46.
Воспоаьаоваться равенства»»и вида р(с»<5) 9 ~~~' 2[а» <Ьг), ».и 1' » где Х(а < Ь) 1, если а < Ь, н )((а < Ь) О в противном случае. 1А7, См. укааания к аадаче 1.46. Заметить, что при дюбых гь 1», 1» 7(а,. <Ь,)+Х(Ь, <с,)+2~», <аг!~2. 1.48. См. укааании и садаке 1,46. 1А9. См. укаааиия к аадаче !А7. 1.56. 3) рассмотреть заполнения двух типов: а) в одной на ячеек кет частиц, а двух ячейках — ао две частицы и в (Ф 3) 189 ячейках — по одной; б) в одной из ячеек нет частиц; в одной— три частицы и в (М вЂ” 2) ячейках — по одной частице. 4) Найти веронтность противоположного события.
1.51. Пусть А< — событие, состоящее в том, что <-я ячейка осталась пустой. Найти Р(А< 0 А«0. () Ак). 1.52. Рассмотреть строки из М+ я — 1 символов: л частиц и М вЂ” 1 «перегородок» ме<кду ячейками. Числа таних строк совпадает, очевидно, с числом представлений числа л в виде л = г< + + г<+... + гю где все г» „нΠ— целые числа. 1) Событие де О происходит тогда н только тогда, когда все гь ~ 1, Числа наборов (гь ..., гл), удовлетворяющих етому условию, равно числу представлений числа и — М в виде а — М = (г< — 1) +...
+ (гл — 1), где 㫠— 1 ) О. 2) Фиксировать пустую ячейку, а в остальных разместить частицы, иак е пА). 1.53. а) Чвсло таких вариантов размещения и человек е ряду из М кресел, когда никакие 2 человека не сидят рядом, есть произведение в( я числа решенай уравнения л«+ л< +... + л„= = М вЂ” п+ 2 в целых положительных числах (л< — расстояния между занятыми креслами, О < < < л). Последнее число есть См. укааання к задаче 1.52. б) Каждый человек имеет ровно одного соседа тогда и только тогда, когда все сидят парами, нволированными одяа от другой. Поэтому прв нечетном л искомая веронтвость равна О. При четном п рассуждать аналогично л.
а). в) Если /), л — число таких способов размещения в чеаовек з ряду вз М кресел, когда выполняется условие в), то прн четном М число //„, » равно пронзведенк<о 2» и числа размещений я человек в М/2 креслах, При нечетном М /<ь. в /<»,к-<+ з// -<.
»-<. 1.о4, Использовать указания к задаче 1.53. 1.57. Пусть А< — событие, состояшее в том, что в ныбрапной подстановке <-<-<. Нанти Р(А< () А< ()., (/ Аь). 1.53. Найти число подстаповок о <и Я„с )« = 1, 1.59, Для каждого /< = 2, ..., п найти число подставовон из 3„ содерл<ащнх элементы 1 и 2 в одном цикле длины /<. 1 о< «< Вз) 1,60.
а) Найти чясло подстанозок в классе 11 '2 < ... в б) Если исключить единичный цикл <-«-, то получится пад- ~~~ — <и ' а„<) стапозка иа множества (1 2 ' ... (в — 1) в) Показат<ь что события 1-<./ (/ <н (1, 2, ..., и)«,(<)) равно. вероятны. 1.61, Использовать равенства (Ч< ( л) (з ~ л) П (1 — $ ( х), (ц ) (5 ) П(1 — й *) где 5 — координата точки А.
1,69, Проверить, что геометрическое место точек, расположенных ближе к границе многоугольника, чем к его диагоналям, состоит из равнобедренных треугольников, построенных ва сторонах многоугольника как на основаниях и имеющих яри основании у< лы я/(2л). 1.70. Установить вависимость числа корней от эначеынй много- члена в точках максимума и минимума. 17!. Центр монеты можно считать равномерно распределенным в том й-угольнике, в ноторый он поиал. Монета не ааденет границу й-угольника, если центр будет отдален от нее на расстояние, большее г.
1.72. Монета падает гербом вверх, если конец вектора нормали расположен выше его начала, т. е. середныы стороны монеты с гербом. 1.73. Пусть (р, »р) — полярные координаты середины хорды. Вырааить $ черве В и р. 1.78. Интересующее нао событие описывается подмыожеством А ((и, о): шщ(и, о) ( «).
1.79. Слова »случайно бросается» адесь естествеыно понимать как случайную равномерно распределенную ориентацию цилиндра относительно вертикального направления. Так как цилиндр однородный, то центр описанной вокруг него сферы совпадает с его центром тяжести. Цилнндр упадет на боковую поверхность, если вертнкальный направленный вина иэ центра тяжести луч пересечет боковую поверхность. Соответствующая вероятность находится кан отношение площади сферического пояса описанной около цилиндра сферы, ограыичивающего боковую поверхность цилиндра, к площади всей сферы. !.80. (См, уяаэание к задаче 1.79.) Вероятность того, что циниыдр упадет на какое-то основание, пропорциональна телесному углу, под которым это основание видно иэ центра тяжести.
1.81. (См, указания к вадачам 1.79, 1,80.) Центр тяжести конуса расположен на его высоте на расстоянии й/4 от основания. 1.82. (См. укачанвя к задачам 1.79, 1,80.) Найти центр тяжести полушара н определить величину телесного угла, под которым видна плоская часть граынцы полушара иа центра тяжести. 1.83.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
