А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 31
Текст из файла (страница 31)
г=г г=г б) Показать, что оценка А„состоятельна, если при В Хг = ч;,зг „, В/Х~.,О. 6.23. Функция у Ах измерена пг раз в точке х„... ..., гг„раз в точке хг. Пусть результаты намерений уо (г = г, ..., пг, г = 1, ..., й) некоррелированы н имеют вид уз=Ах,+бе, где М6„= О, г.г6» = ог. а) Йайти оценку Ае параметра А, используя метод наименьших квадратов, т. е.
минимизируя по А выра жение 1(А) = ~', ~ (уг — Ах;)'. г-г З-г б) Найти МА* и 0А*, 6.24. В предыдущей задаче обозначим пг 1 чанг ! Подобрать сг, ..., сг так, чтобы оценка А* сгуг + сзуз + ... + с„у„ была несмещенной и имела наименьшую дисперсию. Найти ОА" при наилучшем выборе сг, сз, ..., см 6.25. Из урны, содержащей У белых и черных шаров, производится выборка объема и с возвращением. Пусть и„— число белых шаров з выборке, а М вЂ” неизвестное число белых шаров в урне. Для оценкн величины р в В М/)г' используется статистика р, )г„/и. Найти Мр„ ч Ю (дарг . 6.26. Из урны, содержащей дг белых и черных шаров, пронаводнтся выборка объема и без возвращения. Пусть г82 р„— число белых шаров в выборке, а М вЂ” неизвестное начальное число белых шаров в урне.
Для оценки величины р М/Л используется статистика р, = р„/и. Найти Мр'", Ор„". 6.27. Для сравнения точности оценок р„', р'„', определенных в задачах 6,25, 6.26, найти 1!ш (Ор„ /Ор'„) в !! ОО следу!ощих случаях: а) и-!. оо, — ",, — у (О» у» со); б) и-!.оо, и/М- О. 6.28. Из урны, содержащей неизвестное число шаров /т' (шары занумерованы), производится выборка объема и с возвращением. Для оценки числа У используется величипа 1/!)„, где ф! — число появлений шара с номером й в выборке. Найти М!). и асимптотическу!о формулу для Оц. при и, ))/ -, и/М - а !и(0, ). 6.29*. Пусть х<!, ~... =ц х,„! — вариацнонный ряд, построевпый по выборке х!, ..., х„, где х, независимы и равномерно распределены на отрезке (а, Ь).
Являются ли оценки а* а!го Ь*=хоо нагие!ценными оценками а и Ьу Найти Маз, МоЬз, Оаз, ОЬз, сот(а'", Ь*). 6.30*. Пусть х,!, «хао «... «хоч — вариационный ряд, построенный по выборке х!, хи ..., х„, где х, независимы и имеют показательное распределение с плотностью р(х) ае""!*! (х>0). Найти Мх,!„Мх,„>, Ох<!„ Ох, >, сот(х<у„х<„,). 6.31.
Пусть х,и>.е х,з, .а... Я'х! > — вариационный ряд, построенный по выборке х!, хи ..., х„. Положим ',+" +*. * '!!>+..., 6, х= з 2 О,=— Найти МОц, О0» (й = 1, 2), если: ' а) выполнены условии задачи 6.29, б) выполнены условия задачи 6.30. 6.32.
Пусть х!и щ х<з! <... чз х<, — взриациопкый ряд, построенный по выборке х!, хь ..., х„, где х, независимы и имеют плотность распределения, равную е'-" прк х > 1 > с ) О. Является ли оценка с* = хп! — — несмещенной и состоятельной оценкой с) Найти Мс*, Оса. 188 6.33. Чтобы оценить ширину кольца, образованного двумя окружностями с общим центром, измерялись их радиусы А н г, т. е. была получена выборка у<, ..., у„, хь ..., х„, образованная независимыми случайными величинами, которые яме<от нормальные распределения с Му<=К Ма<=» (Н~г), 0х< бр<=о', 1=1, 2, ..., п. Пусть х =(х>+...+х„)1п и у =(у~+...+у )1п. Для оценок а =у — х, а~ =шах(0, у — й) ширины кольца а = = Л вЂ” г найти; Ма, Ма*, УМ(а — а)з, УМ(а* — а)'.
Вычислить зги величины пря Л = 1001 и., г = 1000 м., о = 10 и., и = 200. 6.34, Независимые наблюдения О*„..., 0 имеют нет известные математические ожидания МО; - О; и изве- 2 стные дисперсии 00; ое 1 = 1, „п. Для оценки линейной комбинации 1 = с<0~+... + с„О„с заданными сп ..., с„используются статистики 1„=с,О,'+ ... +с 0„' (1(Л ~п). а) Доказать, что 1„— несмещенная, а 1» при )т* ~ ив смещенная оценка 1, б) Найти М(1 — 1)'.
При каких условиях среднеквадратическое отклонение смещенной оценки 1 —, меньше среднеквадратического отклонения несмещенной оцен- 1»1 6.35. Используя критерий Х', проверить гипотезу о том, что выборка, полученная в задаче 6.9, соответствует равномерному распределению на отрезке [О, 1]. Уровень значимости а = 0,05.
6.36. Используя критерий тз, проверить гипотезу о том, что выборка, получеяная в задаче 6 16, соответствует яормальному распределению; параметры а и о считать неизвестными. Уровень значимости положить равным 0,05. 6.37. Найти статистику ц„ критерия Неймана — Пирсона для различения по выборке хь ..., х„ гипотез Н,: х, распределены нормально с параметрами (аь о'), Ыз. х„ распределены нормально с параметрами (аз, о').
6.38. Найти статистику ц„ критерия Неймана — Пирсона для различения по выборке хп ..., х. гипотез 11;, Р(хь 1) — р7~< $ 1 2, „,, )у, 11д. Р(хь = 1) р)'<, $ = 1, 2,..., <У. 6.39*. Статистика $„при гипотезе 11< (1 1, 2)' имеет нормальное распределение с М$.
— ла<, Оь» = по,"; а~ ( аю 184 Гипотеза Нз принимается, если $„) С, в противном случае принимается Н<. Найти. "а) постоянную С С так, чтобы ошибка 1-го рода была равна и; б) формулу, связываю<дую ошибки 1-го и 2-го рода в и «!„; в) !(ш 6„ прн и -, <с сопзс ) О. 6.40'. Пусть х<, ..., х„— выборка. Гипотеза Н< состоит в том, что х, равномерно распределены на интервале (О, 1) н независимы, а гипотеза Нз — в том, что х< независимы и имеют непрерывно днфференцируемую плотность распределения л(х); ь<(х)чз 1 при 0 ~ х ( 1, й(х)= 0 при х Ф [О, 1).
Разобьем «О, 1) на У полунктервалов «О, ~ «, ~ ~, ~ ),..., ~ д,, 1) н обозначим через пс число полуинтервалов, в которые не попало нн одно нз значений х<. При гипотезах Н< и Нз найти а< !!ш(Мра!И), у = 1, 2, когда л(У- (<и(0, ), н, У- 6.41. Пусть 0( т< ( тз (...— положения точек пуассоновского потока с неизвестной интеясквностыо Х. Найе ти: а) оценку максимального правдоподобии Х„парамет- Ф Ф ра Х, построенную по т<, ..., т,; б) МХ„, ОХ„. 6.42. Пусть тм(!) — число переходов в цепи Маркова, определенной в задаче 6.82, из состояния 1 в состояние 2 за время й ттз (<> т<з (!) а) Найти ПвзМ вЂ” ", )!ш(У вЂ”" <-на <-«< б) Является ли величина тд(!)Й состоятельной оценаб кой параметра у = — при с-<-ос< а+0 Ч я с т ь 11.
УКАЗАНИЯ Гав ««а 1 1,3. Предположит«а что все расяоложения книг равновероятны, Найти число расположений кппг с фиксированным расположением трехтомника. 1А. Ва множество й принять множество всех последовательностей длины 3, составленных из символов à — «герб», Р— «решетка». 1.8.
Для простоты считать, что в каждой буквенной серии имеются все 10' номеров от ОООО до 9999. (На самом деле номер 0000 не выдается. Кроме того, в некоторых сервах не все номера ныданы, а часть номеров отсутствует в связи со снятием автомобиля с учета.) !.!О. Положим А« = (выбракяое число а делится на аП. Воспользоваться тем, что Р ~ П А«~ = Р ~ (а) А«~ = 1 — Р ~ () А«~ Далее применить формулу (1А2). 1.11. Поскольку а» ~ 1 (шоб 10) тогда и только тогда, когда а ж«1(гяоб 10) нли а вв 9(шод 10), надо подсчитать среди чисел 1, 2, ..., гв число тех, которые а десятичной аапиги оканчиваются на 1 хзи 9, Положив гг' = !Оз -(-1, рассмотрать сиедуюп«не случаи: ) 0,1<!<9,1=9, 1.12, Волн среди чисел 1, ., Д»' есть ровно ги чисел, дающих прп делении на г остаток д, то (т — 1)г+ ч < ь' < юг+ з, т, е.
жг«я'+ г — ч < (ж+1)г. 1А4. Введем обозначенвя для следующих событий: А» ($ делится на Ц, В» (П делится нз й), Сн (числа 2 и П взаимно просты), Тогда Сд = () (А П В„), где объединение берется по всем тания пРостым чгслаы Р, не пРевосхоДЯщим Д«. ВеРоЯтность Р(Ск) находится по формуле (1.12). Воспользоваться решением зада ~и 1.10 н равенством А„ПА П ... ПА„= Ар в „, верным дяя 1 любых простых р < р « ...
р . Показать, что з ''' ' !~и дя 188 1ЛО. Искомая вероятность Рл Ах/Х', где Ал — число точек плоскости о целыми координатами (х, у), удовлетворяющими ус- Я з ловиям х>1, у,в1„х'+у'<Ю Покаватгч чтоАВ 4 Ж при Ж -м сс, 1Л6. Число $+ П будет (л — (г+ Ц-значным тогда и только тогда, когда 10" а 2 + г) < 10" е', о ~ б < '1 а поатому Р д+ = — '„, где А,,ь — число точек плоскости с целымв координатами (х, у), 0<я, у <10" — 1, для которых выполнены неравенства (Ц. 1.17. Произведение 2 и т) будет (2в — !)-знатным тогда.
и только тогда, когда 1(Р -а-! < 20 < 10ы-ь В„ поэтому Р „= — „, где В, ь — число точек плоскости с целыми ноординатами (х, у), 0 < х, у < 10" — 1, для которых справедливы неравенства (1'). Показать, что В,а — Вз 10'" при л- оо, где Вз — площадь части единичного квадрата О<х, у<1, для координат (х, у) точек которой справедливы неравенства 10-"-' < <ху <10 з, 1Л8. Представить указанную разность вероятяостед в виде Х (Р ((Х", " Хь) = А,) — Р ('[Х,', ..., Хь] = А,.)), Ге т убедиться в том, что Мч.Сн, что значения слагаемых в сума ме (е) не зависят от д и оценить слагаемые в (е) сверлу и снизу. (ЛО. Равность Х' — У' делится на 2 тогда и только тогда, когда четвость Х и У одинакова; Хз — Уз делится на 3 тогда н только тогда, когда Х и У одновременно либо делатся, либо пе девяУ- ся ва 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
