А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 26
Текст из файла (страница 26)
а н п(ви льобом 1ы(1, ..., % лишь одно из чисел я~з', ...,нз отлично от О. Цепью Маркова $, с непрерывным временем и множеством состояний (1...,, Ж1 называют случайный про~ 152 цесс, траектории которого являются кусочно-постоянными функциями, принимающими значения 1, ..., Х, и при любых ), ) ~и (1, ..., г)), г и Ь)0 вероятности перехода из состояния 1 в состояние 1 за время Ь ре(Ь) Р(~ф+л )!$~ О = Р(~~+и )!$~ = 1, Ц )~(г) не зависят от поведения процесса $„до момента г и удои. летворяют условиям рс(Ь) = аеЬ+ о(Ь) (1+(), ре(Ь)= 1 — а,Ь+ о(Ь), Ь10, сс~ ~ ип, ~,)гп(1,,У).
зФ$ Функции ре(г), г ~ О, являются решением систем диф- ференциальиых уравнений Колмогорова — Чепмвна ро (г) = — а,рм (г) + ~ пиры (г'Ь ь 1 ьрм $, ) еп (1, „ ., Л), (5.й) рм (г) — азрп (г) + ~ р и (г) аы, ь г ВФЗ 1,)еи(1, ...,Л), (5.6) и предельное распределение я=(яп ..., яя) являетси единственным решением системы линейных уравнений ~~~~ ньаю прая у = 1, ..., Л' ь=г ь961 с начальными условиями ра(0) 1„ре(О)' ' 0 ((чь), 1, )еа ы(1, ..., Х)).
Классификация состояний описанных здесь цепей ' Маркова с непрерывным временем отличается от случаи дискретного времени лишь тем, что состояния (н их классы) не могут быть периодическими. Если все состояния 1, ..., У цепи Маркова с непрерывным временем сообщаются, то существуют )ппрм(Г) п1 >О, 1, !Ы(1, ...,У); 3 в $1. Разные задачи 5.1'. Случайные величины $, (! =О, М, ~2, ...) независимы, М$~ =а, 0с, о', По действительным числам со, сь ..,, с„, удовлетворяющим условию сз + ст +... ...
+ с„= 1, построен случайный процосс Ч =со$ +сД, ~+...+сть, „, !=О, ~1, ~2, ... Нанти МЧо 0Чо сот(Чо Ч.). Показать, что сот(т)о Ч,) = Л(!з — П), т. е. зависит только от ~з — П. 5.2. Пусть выполнены условия задачи 5.1. а) Доказать, что последовательность случайных величин ь = — „(Ч,+ "+Ч) прн и- сходится ро вероятности к а=МЬ. б) Сходится лн ь к а с вероятностью пря и — ? 5.3. Пусть выполнены условия задачи 5.1 и, кроме того, а=О, М$4, = с(оо, а) Доказать, что для любого целого з 3-О последовательность случайных величин (о ! = †„ (ЧтЧт+.
+ Ч~Ч~+ + + Ч»Ч + ) при и о сходится по вероятностл к г!(з). б) Сходится ли ~~' к В (з) с вероятностью 1 при и- т 5Л'. Случайный процесс $о ! =О, ~1, ~2, ..., определяется формулой 5, = а в!в (А !+ 5)+ вь где и, 5, (вф" .. — независимые случайные величины, Ми=О, 0л=1, 5 имеет равномерное распределение на отрезке [ — л, л), Мв, = О, 0е, = о'. Найти Мь,„0$„ соч(ь„, $„).
5,5 . Случайный процесс 2ь — ( Г (, задан формулой $, = в!п(г+ лЧ~)+ в!ил(1+ т)з), где Ч1 н Чз незавкснмы н имеют равномерное распределение на отрезке ( — 1, 1]. Найти М2о 0$о сот($ь 5,). 5.6. СлУчайный пРоцесс $о — о ( Г ( о, задан фоР- мулой Ь ь1 в!пг+ ьзв!плГ, где ~г и ьз независимы и имеют равномерное распреде- ление на отрезке [ — 1, 1). Найти плотность распределения случайпой величины Ч впр тьг 5.7*.
Случайные величины гхг, аз, ... независимы и одинаково распределены, Миг = О, ьгаг = 1. Случайные величины ()г, 5м ... пезавнснмы, не зависят 'от аг, ам ... и нмегот равномерное распределение па отрезке ( — я, я). Последовательность случайных процессов г)г(г), г)з(т), определяется равенством Ч (Г) =- = иь СОВ(г + РЬ). г у У.,=, а) Найти предельное.распределение г)„(1) при л - о, 1= сопвк б) Доказать, что ц.(1)= О„сов(1+ (.). Найти предельное распределение вектора (7., О„) при и†"'. 5.8 . Случайный процесс е„0 ~1(, с вероятностью 1 имеет непрерывные траектории, Ме, = О, Овг ~ ас, сот(во в,)=П(П вЂ” в!) при любых г, в>0.
Пусть цг = ~ в,ди, г» О. Найти Мдо (гцг, сот(цо ц.). о 5,9'. По траектории случайного процесса 5г, 1 > О, определяется случайная величпна т„=гп1(г ~ Ог 5г ~ Ю. Найти функцию распределения Р (х)= Р(т ( х) при гг' ) 0 в следующих случаях: а) $г = ьг, где Р(~(х) = 1 — (х~О, я~ 0)г (г +*)~ б)' Вг =1в — 2ф где РЦ <х) 1 — е ' (хР-О), в) 5г= Ье"г, где а~О и Р(~<х) =1 — е "" (х:нО).
5.10. По последовательности 5и $г..., независимых одинаково распределенных случайных величин построен случайный процесс г)„=$, г — $м я О, 1, ... Положим тг =гп1(й>0: ц,~О), тг = гп((й ~> 0: г)г 0). Найти Мтг и Мтз в следующих трех случаях: а) РЦв 1) РЦо 2) =1/2, б) Р($о 1) РЦо=2) =...=Р(Ь=г()='Пг(, в) фе имеет равномерное распределение на отрезке (О, 1), 5Л1. Найти распределение корня т случайного уравнения ~х+ ц О, где з и ц — незавяспмые случайные вели~ивы, имеющие стандартное нормальное распределение. 5Л2.
По последовательности ьб ~м ... пезавпскмыл случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределенно, строится траектория случайного процесса зь (Г»О)' Ь О, $а ~~+ ° ..+~~ при любом целом й» »1, а прн Гю(й, й+1), я=О, 1, ..., графиком траектории $, является отрезок, соедпнямиаий точки (Й, $~) и (в+1, $„~~), т. е. 2, =(й+ 1 — Г)$~+(à — й)$~ы прп й < Г' 5+ 1. Найти математическое ожидание числа р„нулей процесса ~~ на полуивтервале [О,з) (й»1 — целое) н асямптотвку Мр, прв я— 5.13. Случайный процесс $„(х)', — <х <, определяется равенством $„(х) ьз+ ~~х+ азха+... + ~„х", где случайная величина ьз пе зависит от случайного вектора (~ь ..., ь ) и имеет непрерывную функцизо распределения. Доказать, что при лзобыл фиксированных х и а Р($„(х) — а) О.
5.14. Доказать, что если выполнены условия задачи 5ЛЗ, то с вероятностью 1 все действительные корни мпогочлепа $„(х) — простые. 5Л5. Случайный процесс $„(х)', — ь <х< в, определяется равенством $ (х)= ~а+ ~~х+...+ ~„х", где ьо, ьь ..., ь„— незавнсвмые случайные величины, имеющие нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию.
Найти М5„(х), 0~„(х), сот($„(х), 3„(в) ). 5Л6. Доказать, что если выполнены условие задачи 5.15, а случайные величины ьз, ~п ..., ~„независимы к имеют стандартное нормальное распределение, то при любых действительпьгх хь ..., х, вектор (ч.(х~), ..., е (хз) ), имеет многомерное нормальное распределение. 5Л7'. Случайный процесс $„(х), — сх<, определяется равенством $,*(х)= 1о+ 1~х+... + ~„х", где го, 1о, ~. — независимые случайные величины, $56 пмеипцие стандартное нормальное распределение. Используя результаты задач 5.15, 5.16 и 3.266, доказать, 'по Нт — Р ($„(х) $ (х + Ь) ( О) = о о На рис.
6 приведены графики функций у~о(х), боо(х) уоо(х). Доказать, что при п1 функции 6,(х), монотонно возрастая, стремится к функции 6(х) -1 — —,г. я~1 — г ! г Рис. С 5.18, Случайные величины $ь ао, ... независимы и имеют одно и то же распределение ва множестве ( — 1, О, 1, 2, ) с производящей функцией 1(г) мЬ. по случайному блужданию Ро О, Р„=- $, +...
+ $„(и ав 1) построим случайные величины тп тм ..., чо !шрп(п р ь) если 1п1 Р и-', — и', ~~о со в противном случае. а) Доказать, что производящие функции грд (г) = Мг'" связаны соотиошенвями ~ро (г) = и1 (г), а производящая функция ~р~ (г) является-решением уравнения г/(~р~ (г) ) = 1. б) Найти функцию (р1(г), если РЦ~ я) (1 — р)р'+', й= — 1, О, 1, ... 157 в) Найти функцию ~р~(а), если РЦ~ =1)=р, Р($~=-1)=1 — р, 0(р -1.
5.19. По случайному блужданию р, определенному в аадаче 5.18, построим случайную величину р = (п(р„. »>о а) Найти распределение р. б) Допевать, что Р(р) — ) 1 тогда и только тогда, когда М5~ ) 0 пли РЦ~ = 0) = 1. 5.20. Покааать, что если ро = О, р Ь + ° ° ° + $»вЂ” случайное блуждание, построевиое по неаависвмым одинаково распределенным случайным величинам $ь ет, ...,' Р($1) = Р($ — 1) 1/2, п 1, 2, ..., то справедливы следующие соотношения: а) Мр„= 0 Эр„= л, Р(р,»+, О) О, Р,р.,„=О)= » — 2»» = С„2 — — и-э оо' 'г' » — 1 б) М)р„! = )' Р(рь О) ~/ —, и-~-со. 'г В 5.21. Случайные векторы 5ь $и ... в Н-мерном евклидовом пространстве независимы н при любом В 1, 2, ... Мед О, М!$,!'=аь(оо, где )в»! — евклидова длина $».
Построим случайное блуж дание ре О, р ы+...+ 5„( л ~ 1). Докааать, что Мр„- О, М ! р. !а = оа -, ~- ов 5.22. Случайные векторы В» ($», ь ° ., Вх, а) (в 1,2, ...) в й-мерном евклидовом пространстве независимы.в ямеют равномерное распределение на единичной сфере Б~ ' ((х„., „ха)еп В~: х, '+ ... + х»» = 1!. Пусть р„= 5~ + ...
+ 5. и !р„! — евклидова длина вектора р» Найти М!р„!', 0)р»!'. 5.23. Пусть выполнены условия задачи 5.22. Доказать, что прн любом а ) 3/2 Нпт — 0 = 1. )о ! »-»»» в и 5.24е. Случайные величины $п $т, ... веаависимы, принимают апачения 1 и -1 с вероятностями р и о !58 = 1 — р соответствеяно, н Во=О, Б =Ь+...+1„, н=1, 2, Обозначим череа т число таких п, что Я„О. а) Показать, что если р ть о, то РЬ «1 1; б) показать, что если р = о = 1/2, то РЬ = 'а) = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
