А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 27
Текст из файла (страница 27)
5.25+, Независимые случайные векторы 9.-Д.з, ..., $„,,)~нВ', я=1, 2, ..., имеют независимые комяонен- 1 ты яр($„д=Ц=РД ~ — 1) = —,,1 '-1«з, и=1, 2, ... Положим Я„=5~+...+$„, п=1, 2, ..., и обозначим через т число таких и, что 8. =(О, ..., 0). Показать, что Р(т )=1 при а=2 и что РЬ = )=1 при з=-"3. 5.26. (Тождество Вальда.) Пусть случайные величины К фн ... независимы, М$<=а, М~5<! «С«'з (1 > 1) .
Пусть В~ с В', Вз с Вз, Вз с Вз, ... — произвольиая последовательность измеримых множеств, и случайная величина т определяется равенством т= 1п1(н: Яь ..., ~„)ФВ„) (т ', если (5н ..., 5„) мВ„при любом и«). Используя равенство Х Ь=Х Ьу(.~1)-Х ~;(1 — Х( ~)) (где у(А) — индикатор события А), доказать, что если Мтс, то М ~~ з$~ = аМт. ~=-1 5.27.
Проверить справедливость установленного в задаче 5.26 равенства в следующих случаях: а) Р($< 1) Р(Ь вЂ” 1)=1/2, т=ш!п(и>0: 5~+... ...+$„1), б) РЦ, 1) РЦ~=-2) =1/2, т=ш1п(пР-0: $~+... ... + ~„ 1). Объяснить реаультаты. 5.28. Случайные величины $ь 9з, ... независимы и одинаково распределены, а М$~ ) 0 и Р()5~~ = С) = 1 при некотором С« ° . Пусть ро О, р =5~+...+$ (п>1) и )У, 1п1(в~О; Б„~ г). Доказать, что при любом 1 0 Ф ««аМ/У~ «Ф+ С. 159 5.29. Случайные величины рн рт,, при любом целом н > 1 удовлетворяют условию М(р„„[рп ..., р.) > р.. Доказать, что при любых целых )г, п «» 1 М(ра~-В~рь ° ° у рв) «» р» 5.30».
Неотрицательные случайные величины рн ри °, при любом целом и > 1 удовлетворяют условию М(рпм[рь ° ° ч рп) >» р ° Доказать, что для любого б «О и любого целого п>1 мр„ '( "'(р "'~-»б)~ ь". 5.31. Случайные величины фн $ы ... независимы, М5~=0, 1=1, 2, ...
Доказать, что для любого б>0 и любого целого и > 1 Р( тпах [$д -', ... + $ь[~~Ь~~~ м[$, + ° . ° +1„[ ~~ь~а б 532. (Не раве иство Колмогорова ) Случайные величины ~ь $и ... независимы, М5~=0, ()Ь = а~ ~-со (1-1, 2, ...). Доказать, что для любого Ь> О н любого целого и > 1 Р Г тпах ~ 5, + ... + Ь! [)~ 51 ~ (',т Пчьа $2. Нуассоиовские процессы 5.33 . Найти сочЯо $,+,) при 1, г > О, если: а) 5,— пуассоновский процесс на [О, ) с интенсивностью А, б) $,— пуассоновский процесс на [О, ° ) с интенсивностью Х(1).
5.34. Пусть (ть)ь" ~ (0(т~ ~ гт(...) — положенияточек пуассоновского потока на [О, ) с интенсивностью Х. Доказать, что при любом Т > 0 ~ Р(ть:- Т) ХТ. а=1 5.35. Пусть выполнены условия аадачи 5.34. Найти Мть От, и плотность р„(х) распределения т,. 160 5.36. Пусть выполнены условия задачи. 5.34. Найти: а) плотность р(хь .. „х„) совместного распределения случайных величии т„т», ..., т„, б) Р(т1 < х)т»> Т), 0 < х< в) Р(т~~х(т~~Т(т»1, 0<х<Т. 5.37. Пусть выполнены условия задачи 5.34. Найти условную плотность ру(хь ..., и») совместиого распределеиия случайиых величин т|, . „т„при условии, что т„~ Т < г„ь Сравнять р, (хь ..., х„) с плотностью ду(хь ..., х,) сОвместного распределения членов варпациоивого ряда с<п ~ с» <...
< з<„„построенного по неаависпмым случайным величинам $ь ..., 5», имеющим равномерное распределение на отрезке (О, Т). 5.38'. Найти математическое ожидание числа точек пуассоиовского потока с интенсивностью Х, принадлежащкх интервалу (О, Т) и таких, что справа от каждой иэ них в интервале длины Л пет других точек этого пуассоновского потока. 5.39'. Найти математическое ожидание числа точек пуассонозского потока с интенсивностью А, принадлежащих интервалу (О, Т) и таких, что расстояния от каждой из них до ближайших точек пуассоиовского потока не меньше Л.
5.40'. Пусть(т»)» — положения точек пуассоиовского потока иа ( —, ) с иитепсивностью Х. Переиумеруем случайные величины т, так, чтобы они удовлетворяли условиям О» !т~е,( <! т»и( ~ .. ° а) как можно описать последовательность ((т<ю ()А=ор б) Что »южно сказать о последовательности 0„ т,в/!т,в,(, й = О, 1, 2, ..., знаков чисел т,в>Р 5.41'. Пусть 0 ~ т~ (т»(...— положения всех точек пуассоновского потока иа (О, «) с интенсивностью Х. «Йроредим» этот поток, исключая из него каждую точку иезависимо от остальных с вероятиостью р, гдо р — данное число, 0 ( р(1.
Доказать, что прореженный поток является пуассоиовским. Чему равна его интепсивностьг 5.42 . Пусть р (х) — кусочно-непрерывная фуикция, прииимающая зиачеиия из отрезка (О, 1), а 0 »Я т1( ( тв(...— положения всех точек пуассоповского потока иа (О, оо)' с интенсивностью Л(з). «Проредим» этот поток, исключая из него каждую точку т, независимо от остальных с вероятностью р(т„).
Доказать, что прореженный поток является пуассоновским. Чему равна его ингенсивностьу Н А. и, зубков в к». 5,43'. Моменты поотупления требований в систему массового обслуживания образуют пуассонозский поток на ( —, ) с интепсивностью Х. Каждое требование независимо от остальных находится в системе олучайное время т с Р(г~з) г'(я), Мт» ~. Найти распределе. ние числа Ь требований в системе в момент Ф, 5.44.
Для системы массового обслуживания, описаннои в задаче 5.43, найти Функцию )(Г)* РЦ» ° О!$з О). Убедиться в том, что )(Г) монотонно не возрастает по 1. 5.45. Случайно расположенные на плоскости точки образуют пуассоновское поле с интенсивностью Х, т. е. число точек в любой квадрируемой области 8 имеет пуассоновское распределение с математическим ожиданием Х!Я, где !Й вЂ” площадь области Я, и числа точек в непересекающихся областях независимы.
Пусть р~ < » рх ~...— упорядоченные по возрастанию расстояния от начала координат до точек етого поля. а) Как можно описать последовательность (рх)х „7 б) Найти плотность р„(х) распределения р, точную формулу для Мр„и асимптотику Мр„при л-+ оо. 5.46. Случайно расположенные в пространстве Вз точки образуют пуассоновское поле с интенсивностью т. е. число точек в любой измеримой области У имеет пуассоновское распределение о математическим ожидавием Х(У!, где !У! — объем области Р, а числа точек в непересекающихся областях независимы.
Ответить на те же вопросы, что в задаче 5.45. 5.47. Автобусы прибывают на остановку в случайные моменты времени т~ »тз(... Случайные величины тз, ... независимы и т„имеет равномерное распределение в интервале (и — 1, п). а) Найти плотность р(х) распределения интервала б„= т„+~ — т„между автобусами. б) Йайти плотность р,(хь хг) распределения двумерного вектора (б, б„+з) при й 1, 2, ... в) Моменты $~ и $з прихода двух пассажиров на остановку независимы и имеют равномерное распределение на интервале (О, 1).
Найти вероятность того, что онл поедут па одном и том же автобусе. г) Моменты $~ и $з прихода двух пассажиров нв остановку независимы, $~ имеет равномерное распределеаве на интервале (О, 1), а $з — на интервале (1, 2). Найти вероятность того, что зги пассажиры поедут на одном автобусе, 162 4 3. Цепи Маркова 5 ,43. Цепь Маркова $, имеет множество состояний 1 — 6, -5, ..., О, 1, ..., 6). Переходные вероятности ре Р(4,„, =/)$, = д при 1~ 0 определяются соотношениями 1, если / = 1+ 1(О нли / 1 — 1' О, О в остальных случаях. Маркова и множества ее Провести классификацию цепи состояний, если: а) раз=1, ра~=О (/ч'*6), б) раз ра-в=1/2, рц~ О в) раз = ра-з = 1/2, раей =О 5.50.
Матрица вероятностей (!1! чь 6), (/чь — 5, 1Ф 6). перехода цепи Маркова имеет вид /О,! 0,8 0,4'1 Р = ~ 0,0 0,2 0,2) 0,8 0,4 0,8 Распределение по состояниям в момент времени 1 О определяется вектором (0,7; 0,2; 0,1), Найти: 1) распределение по состояниям в момент 1 2, 2) вероятность того, что в моменты 1=0, 1,.2, 3 состояниями цепи будут соответственно 1, 3, 3, 2; 3) стационарное распределение. 5.51. Пусть $, — номер состояния в цепи Маркова в момент времени 1; Р(йо = Ц= 1, и матрица вероятностей перехода имеет вид < 8/7 8/7 1/7 т 1/И 2/И 8/11 1/11 4/11 8/11 положим )1, если $,= 1, (2, если $~ чь 1. д) Пассажир приходит на остановку в случайный момент в, имеющий равномерное распределение на интервале (О, 1).
Найти математическое ожидание, дисперсию' и плотность 9(х) распределения времени ожидания автобуса. 5.48. Решить задачу 5.47 в случае, когда последовательность т~ ( тз ~ ... моментов прибытия автобусов на остановку образует пуассоновский поток с интенсивностью 1. Сравнить полученные результаты с результатами решения'задачи э.47. Показать, что последовательность и, является цепью Маркова. Найти ее матрицу вероятностей перехода. 5.52.
Случайные величины $о 1= 1, 2, ..., независимы и Р ($ - 1) = р. Р(Ь = — 1) = 1 — р - д Положим цс 0; г~,~~ =т~,+$„ь Является ли последо- вательность т~~ цепью Марковами Найти Р(ц т), и О, 1, 2, 5.55. Пусть фо 1 1, 2, . „— независимые случайные Яелнчнны, Р(ь, = 1) 1 — Р(ф =.— 1)= р являются ли це- пями Маркова последовательностн случайных величин: а) т~ $4,+~', б) Ч~-$Дз".$; в) 0, = <р(5о ф,~~), где <р( — 1, — 1) = 1, <р( — 1, 1) = 2, 1') 5 "(1 '1) ='41 Для цепей Маркова найти вероятности перехода за один шаг. 5.54.
В )У ячейках последовательно независимо друг от друга равновероятно размещают частицы. Пусть ро(я) — число ячеек, оставшихся пустыми после разме- щения н частиц. Показать, что последовательность рс(л), и = 1, 2, ..., является цепью Маркова. Найти всроятно- сти перехода. 5,55.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
