А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 30
Текст из файла (страница 30)
+ х ), в' = — ге (хь — )'. ~Тогда (см. [7))' Р~х — Га,а « — <а<х+ там « — ') 1 — 2а р (~ — ~)~ е (~ — 1)« Ха,ч-1 Х1 — а,п « Отметим, что в рассмотренном случае (т. е. когда хи ..« ..., х„независимы и имеют одно и то же нормальное распределение) случайные величины х и е~ неаавиоимы. Случайные величины (6.1), расположенные в порядке неубывания их значений: хи> а~ «сь а* ° ~ х(ан (6,2) называют еариационным рядом.
В частности, хи, ш)п(хь ..., х ), хон шах(хь ..„х ). Эмпирической Яункиией распредеяения называется слу« чайная функция Р (х), которая принимает при х ю (хи>,' х„ьц) значение й/и (здесь й О, 1, ..., и и считается, что х<з> —, х<„яц а ). Нетрудно проверить, что Р„(х) является несмещенной и состоятельной оценкой р(х) при любом х. 175 Одним иа методов получения оценок является метод наибольшего правдоподобия. Пусть (6.1) — независимая выборка, соответствующая случайной величине $, которая имеет плотность распределения р1(х;.61 ° °, Оь) йгунк" цией правдоподобия называется функция Л Ь( „..„„;О„...,О„) — Йр,(хбО„...,О,). (-1 Оценками наибольшего правдоподобия параметров Ои ... Ф Ф ь ..., О„называется набор 61 Ог (хы ..,„хн), ..., Оь = = Од (хы..., х„), максимианрующий значение Ь(хи... ..., х„; Ои ..„6„) при данных хь ..., х„.
Если плотность р,(х; Ои ..., 6,) дифференцируема, то О,'... 6„— решение системы уравнений д!и Š— =07'1...Й. дО. При довольно общих условиях оценки наиболыпего правдоподобия являются состоятельныии и, асимптотически нормальными (см. [7)). Аналогично определяется функция Ь для дискретных случайных величия. Другой круг аадач математической статистики свяаан с проверкой рааличных гипотез, Пусть предполагается, что свойства выборки (6.1) соответствуют одной из двух гипотез: Ни х =(хи ..., х )' имеет распределение Рн Нг7 х (х|, ..., х„) имеет РаспРеДеление Рг, где Рь Рг — два известных распределения. Статистический критерий, на основании которого принимается решение о том, какой из этих гипотез соответствует выборка (6.1), определяется множеством В <= Н" и имеет ввд: если (хь ..., х„)аа В, то принимаетея еипотега Нг, в противном случае — Нь Вероятность сг = Р1(х ж В), т.
е. вероятность принять гипотезу Нь ког да в действительности верна Ни называют ошибкой 1-го рода. Вероятность б Рг(хФВ), т. е. вероятность принять Ни когда верна Нг, иазывагот ошибкой 2-го рода. Если множество В задано в виде ((хи ..., х„) гв В) - (г)„- ц„(хи ..., х„) = С), то функцию т)„Ч,(хи ..., х„) называют статистикой критерия. Например, пусть р~(х)' — плотность распределения каждого х, при гипотезе Н~ и рг(х) — соотзетству- 176 юшая плотность при гипотеве Нь Положим », (х,),е, (хе) . " »т (х.) Вх х» (х)» (х)...» (х„) Согласно критерию Неймана — Пирсона при 0„) С (С— некоторая постоянная, определяемая по ошибке 1-го рода) принимается гипотеай Ня а в противном случае— Нь Этот критерий среди всех критериев с фиксированной ошибкой 1-го рода имеет наименьшую ошибку 2-го рода (см.
[7], с. 576, 577). Аналогично формулируется критерий для дискретных распределений. Иногда формулируется только одна гипотеаа о выборке (6.1). Эту гипотеау нужно либо принять, либо отвергнуть. Пусть, например, гипотеза состоит в том, что выборьа (6.1) 'соответствует случайной величине й с Р($ ~ я) = Р(х). Для статистической проверки атой гипотезы испольауется критерий 1('. Разобьем числовую ось па г+1 непересекающихся полуннтервалов Ьп Ам ... г+1 ..., Ь„.гм () йн (- со, со). Положим р, Р(ахеи Л,), й = 3ег = 1, ..., г+ 1. Обоаначим череа т„число яь попавших в Аь Статистикой критерия )(т является величина е~-1 3~В (ж~ е»!)х хее~ и» с г Окааывается, что если элементы выборки '(6.1) неаависимы и имеют функцию распределения р(л) (т.
е. если гипотеаа верна), то (см. [10), 1 57) для любого' л при л- (ц.х~ )- [у:~л). (6,3) По критерию ут гипотеаа отвергается, если г)„,,) С. Величина С выбирается так, чтобы вероятность Р(т) . ) С) = а была мала. Прн таком выборе С в случае ц „> С говорят, что гипотеаа отвергается с у»секем аначимости а. Используя предельное распределение (6.3)', можно по- ложитьС та„, где Р Щ)у'„„) = ее, и тогда в силу(6.3) Р(ц„х )С) - и, л- Если распределение р(л) аависнт от неизвестных параметров 0 ° (0ь ..., 0ь), то вероятности р(0) Р(вша,) вычисляют, аамеояя параметры 0 их оценками (например, оценками максимального правдоподобия).
В этом случае в предельном распределении (6.3) число степеней 12 ь.м. зтехов х хо 177 и» г» вЂ” ~ (х1» — х») а 1 и — 1 'Й »» Является ли оценка х-~ сх„ »» 2+ +2 3 несмещенной оценкой параметра ау 6.5, Пусть х1, ..., х„— неаавнсимые одинаково распределенные случайные величины с Ох~ -» О, Мх»( со. Поло- жим 1 1 'ач х — 7 х» х — 7 (х» х), и — 1 л'1 »1 »» Найти )пп Р 6.6. Пусть (хп рД, «., (х«, у ) — независимая выборка, соответствующая случайному вектору ($, г)), т. е. 178 свободы г должно быть уменьжено начислооценнваемых параметров (см. (7), с 460-463).
6Л. Пусть хь хт... „х„— случайная выборка с Мх„ =а, 0х» от, М(х,— а)».С», й $, ..., и. Найти мате- матическое ожидание величины и ( и » 1 з = — г (х» — х)з и — т х» и — 1 и ль1 »-» »1 Является ли зт состоятельной оценкой отг 6.2, Найти математическое ожидание и дисперсию з»+ ° ° ° + за эмпирического момента и», независимой и выборки, соответствующей случайной величине $ с М$ = а», »» а» й и 2г. 6.3. По неоднородной выборке хп ..., х„, где ха й », ..., и, независимы, Мх» а, 0х» о»(о» известны), найти несмещенную линейную относительно х, (В ~~~ =1, „и) оценку а* параметра а, которая имеет наи- меньшую возможную дисперсию.
6,4*. Пусть х»„...„хж, (1 1» „„1) — независимые нормально распределенные величины с параметра. ми (а, о,); »1 1 'Ю х;= — г х»», 1»» Р(х<<х, р<~р) РЯЯх, т)ар). Покааать, что величина 1 чрез — ~(хь — х)Ьь -р) Вь< где и Х "ь< нч х ~~< хь в з~~< е ивляется несмещенной и состоятельной оценкой сочЦ, <))', 6.7, Пусть р„— число успехов в и испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха р в каьчдом испытании. Найти оценку наибольшего правдоподобия рь параметра р. Доказать ее несмещенность и состоятельность.
6.8. Пусть <<„— число успехов в а испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха р в каждом испытании. Построить для Р асимптотически доверительный интер- вал с доверительной вероятностью 1-2и. 6.9. Используя таблицу случайных чисел, получить реализацию выборки х<, ..., х„где х, равномерно рас- пределены ва отрезке (О, Ц (значения х„взять с тремя знаками; в 50). Найти: а) зариационный ряд х«, < хкв <... ~ х,„„ б) змпирическую фупкци<о распределения (построить ее график и график теоретической функции распреде- ления); в) х = — (х, + ...
+ х„) (сравнить с Мхз); и 1 г) <-' —, г, (х, — х)' (сравнить с 0хь). ь 1 6.10. Используя таблицу нормально распроделенных случайных чисел, получить реализацию выборки х<, ... ..., х„, где х, имеет нормальное распределение с парамет рами а Мх, 0,5< оз Рх< 1; и 50. Найти: а) варка- цнонвый ряд, б) эмпирическую функцию распределении, в) х, г) зз (см. задачу 6,9), 6Л1.
По выборке, полученной в аадаче 6ЛО, построить доверительный интервал для а (считая а и о неизве- стными) с доверительной вероятнотыо 0,95. 6Л2. Используя метод' наибольшего правдоподобия, Л"' найти по выборке х<, ..., х, где Р(хь т)= —,е ', и О, 1...,, оценку Лз параметра Л. Будет ли ета оценка несмещенной и состоятельной? Найти МЛ», 0Лз. $2» <79 6.13. Пусть х<, ли ..., х„— выборка, соответствующая показательному распределению с параметром Х. Найти оценку максимального правдоподобия Х» для )<. Вычислить М— 6.14».
Для оценки параметров а, Ь, с имеются три независимые выборки а<, ..., а„; Ь<, ..., Ь; с<, ..., с . Известно, что с =а+ Ь и величины а<, Ь<, с< распределены нормально с Ма<=а, МЬ, Ь, Мс< с. Дисперсии 0а<— а,', 0Ь< =о», 0с< а„', известны. Найти: а) оценки наиболыпего правдоподобия а», Ь», с» параметров а, Ь, с, нспольауя для каждого параметра только соответствующую ему выборку, а также найти Ма", МЬ", Мс», 0а», 0Ь», 0с*; б) оценки наиболыпего правдоподобия а»», Ь**, с**, используя сразу три выборки и связь с= а+ Ь, и также найти Ма»», МЬ*», Мс*», 0а»» 0Ь»» 0с»".
6.15. Пусть р<ю (ры<, у<~и), й .- 1, ..., п< — независимые нормально распределенные случайные векторы, Му)"~ = а<, 0у~"'= о<, 1= 1,2, сот(р<~~, у<0) ро,о,. Параметры о,, с„р известны. Найти: Ф Ф\ а) оценку максимального правдоподобия (ад, а,) параметров (а„ат) по выборке р«<, ..., р"', б) оценку максимального правдоподобия а<' параметра а< по выборке р'«, .„р(">; в) Ма<, 0а<, Ма<', 0а<*, 6,16».
Пусть ркс = (у<ц, ф")), й 1,..., я,— независимые нормально распределенные случайные векторы, Му<0 а„Му®, а„0у« ~ 1 (1 1, 2), сот (у<,"~, ум~) =ра (й 1,... я). Параметры рь известны. Найти: а)' оценки максимального правдоподобия а<*, а,' параметров а<, аз по выборке у'", ..., р<"', *Ф б) оценку максимального правдоподобия а< параметра а, по выборке р<«,..., р<"<1 в) Ма,", Ма„"*, 0а,', 0а,; г) доказать, что 0а, 0а, .
6.17». Реп<ить задачу 6.16 в случае, когда иавестпо, что параметр оа = Муз~ О. рс 6.16. Пусть $<, ..., Я независимые случайные величины, равномерно распределенные в области 6<пЛ". Для оценизаняя интеграла а ~ ... ~ )(х) <1х< . <. Нх„1л 180 (х, ..., х„)) по методу Монте-Карло используется вели- '% < чина я) = —,~~ 1 ($<).
1 а) Найти МЧ, (Ь<)„. б) Построить несмещенную оценку Ьзг дисперсии Ь~($<) по реализациям Д$<), ..., Щ„). в) Предполагая, что ) ... ) т'(р)ахт».. ах„(оо, о построить прн т- » асимптотически доверительный интервал для а с доверительной вероятностью 1 †2. 6А9, Для величины А сг+ ~За+ тЬполучены оценки А,' = с< + ~г, + угз, А,' = я + ()г + угз, где а, р, т — известные постоянные, г<, гт, гз — независи- мые оценки неизвестных параметров: Мгз Ь, Мг< Мгг а; 1тг<=о<, 1 "1, 2, 3.
Подобрать постоянные э ь с<, сз так, чтобы оценка А =с,А, + сгА, была не- смещенной и имела среди несмещенных оцекок наимень- шую дисперсию. 6.20*. Пусть г<, гь гз — несмещенные оценки парамет- ра а; <»г,=1 (< 1, 2, 3), сот(г<, гг) р, сот(г», гз)=0 (1 1, 2). Найти несмещенную линейную оценку г с<г, +овгз+ сзгз параметра а с наименьшей возможной дисперсией и дисперсию этой оценки. Рассмотреть слу- чаи: а) !р1 ~1, б) р -1, в) р 1. 6.21. Функция р = Ах измерена в точках х<, ..., х .
Пусть результаты измерений являются реализацией не- зависимых случайных величин р» Дз, ", у„, у которых Му< р< ° Ах<, Ор» ог( (< 1, 2, ..., и). Найти: а) оценку Л параметра А, используя метод наимень- ших квадратов, т. е. миннмизнрун по А выражение »» 1(А) ч" ,(у, Ах.)<; < 1 б) МА„', ОА„, * 3 Доказать, что оценка А„состоятельна, если Х„ »< ~~~ ~х»-<-оо прн и-~ос, < 1 6.22*, Проведено и измерений значений функции р Ах и ее аргумента х. Пусть результаты измерений яв- ляются реализацией и независимых двумерных случайпых векторов (х<, р») (< = 1, ..., и), у которых координаты <з< независимы, Мхг =х„Му, у, = Ахп 0хг оз, 0уг оз, Найти: а) оценку А'„параметра А„, минимнаируя по А и хг, ..., х„выражение а а 1(А, х„..., хп) — ~~ (уг — Ахг)з + Х (хг — х;)'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
