А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 28
Текст из файла (страница 28)
В Ж ячейках независимо друг от друга разме- щаются комплекты, состоящие из ш частиц. Частицы одного комплекта размещаются в ячейках по одной, и все возможные выборы т мест из )У имеют одинаковые ве- роятности. Обозначим через рс(и) число ячеек, остав- шихся пустыми после размещения и комплектов. Пока- зать, что последовательность рс(в), и 1, 2, ..., является цепью Маркова. Найти вероятности перехода. 5.56. Урна вначале содержит Ф белых шаров. За 1 шаг из урны по схеме случайного равновероятпого выбо- ра вынимают 1 шар и заменяют его новым, который— независимо от предыстории процесса — является черным с вероятностью р и белым с вероятностью д 1 — р.
Обо- значим через $ число белых шаров в урне после и-го шага. а) Найти Рс=РЦ„+~ 1($„1), 1, (ж(0, 1, ..., (У). Является ли последовательность $„цепью Марковаг б) Найти 11шР(С„= к) =ям йе=(0, 1,...,Ж). з 5.57. В бесконечной последовательности занумерованных шаров каждый шар независимо от остальных явля- 164 ется черным о вероятностью р и белым с вероятностью о — 1 — р. Будем считать, что в момент времени и ж »и(0, 1, ...) урна содержит шары с номерами я+1, я+2, ..., н+1У, и обозначим через $„число белых шаров в урне в момент я. Ответить на те же вопросы, что в задаче 5.56.
5 о3 Матрица Р = ( Ря)~"; » о неотрицательными элементами называется дважды стохасгичвсяой, если ро+ + рм+...+ рж =рп+ рн+ ° ° ° + р и~ 1 для любого 1, 2, ..., )У. Показать, что если цепь Маркова $, с состояниями 1, ..., У имеет дважды стохастнческую матрня цу вероятностей перехода Р ) рн)ьт=н то равномерное распределение на множестве (1, ..., Ф) является стационарным для цепи $о 5.59. Пусть ~», ~ь ...— цепь Маркова с множеством состояний (1, 2, 3), матрицей вероятностей перехода 1рц!! и стационарным распределением яь Показать, что если рн =рж= р»»=0 и л» я»=я» 1/3, то рм рж р»~ и р1» = р»1 р»2 5.60.
Пусть нь цн ... — последовательность неаависимых одинаково распределенных олучайных величии, п 1(х, у) — функция, принимающая значения в множестве 11, ..., 1»). Является ли послвдовательнооть случайных величин В, ( р (з - й) - РГ) В + = / (ь ц + )» г = О, 1, 2, ..., цепью Маркова) 5.61. Пусть т)е, ць «)ь ° ..— последовательность независимых случайных величин, имеющих равномерное распределение на отревке [О, 1). Показать, что для любого начального распределения ров (ром, ..., рд~~) идлялюбой матрицы переходныхвероятноотей Р— ~рм~яь1» можно указать такие функции Дл, у) и я(у) (хж (1, ..., У), у»и (О, 1)), что последовательность $е у(т~о), Ь+» -)(5„»)+»), » О, 1, ..., будет цепью Маркова с начальным распределением р'о' и матрицей вероятностеб перехода Р.
5.62. Игральная кость последовательно перекладываетси с одной грани равновероятно на любую иа четырех соседних независимо от предыдущего. К какому пределу стремится при г оо вероятность того, что при т-и перекладывании кость окажется на грани «6», если сначала она находилась в этом же положенииГ 5.63. Цепь Маркова $, имеет два состояния: 1 и 2— и матрицу вероятностей перехода ( о ~ /. Пусть т ш(п (1 > 1: $, 2). а) Найти условное распределение т при условии ьо 1 б) Как изменится ответ, если матрица вероятностей перехода будет равна л 1 — л О <р„ $ — Р.з Рзз 5.64. Матрица вероятностей перехода 1рз!( цепи Маркова $~ с и+1 состояниями имеет вид; ре 1 — и, 1, 2, ..., и+ 1; рз= а/и, 1чь).
В процессе, начавшемсн из состояния Й, Й ч" и+ 1, обозначим через т„момент первого попадания в состояний и+ 1. Подобрать последовательность А„(А - при п- ) так, чтобы существовал предел )(ш Р (т„/А, :. х) „ и найти его. 5.65. Матрица вероятностей перехода цепи Маркова ь~'~ с множеством состояний (1, 2, 3) имеет вид — о 1 — р — з л з где 0(р с1 — ез1.
Предполагая, что .$~~;~ 1, рассмотрим случайную величину т,(з) = ш1п(и~~1: а,",~ 1)— время возвращения в состояние 1. а) Доказать, что при любом а "1, 2, ... Р (т, (з) = ~) - Р (т, (0) - Ц. е з б) Показать, что Мт~(0)(, но Ншаатт(е) = со.. в с в) Найти производяшую функцию гр,(г) — Мз'~'"'. 5.66. Цепь Маркова $„имеет начальное состояние ьз 0 и переходные вероятности Р(3„, Й+ 1($ Й) р, РЦм Й($ Й) = 1 — р, где Й„п О, 1, ...
и 0~ р ( 1. Найти распределение $„, математическое ожидание и дисперсию ь„. ьсб 5.67. По цепи Маркова 5„, описанной в задаче 5.66, построим последовательность случайных величин те=О, т,=ппп(в: 5„Ус), й 1, 2, ... а) Доказать, что (тх)х=з — тоже цепь Маркова. Найти ее переходные вероятности. б) Найти Мтю От,, ср„(з) = Мз'". 5.68. Цепь Маркова 5„имеет начальное состояние $о = О и переходные вероятности Р($„„с = Ус + 1!$„ = Ус) = р, РЦ„ю = 0(й„ Ус) = 1 — р где й, пш (О, 1, ...
) и О < р(1. Положим со О, тх=щ(п(я~1: В„=Ус), й=1, 2, а) Найти производящую функцию сзь (з) = Мг'х и Мты б) Найти предельное распределение случайной велись чины с(ь = — при ус- сх, пользуясь результатом п. а) х н методом характеристических функций. 5.69. Переходные вероятности цепи Маркова $ при любом н = О, 1... определяются равенствами Р(.„,с =1 ! ч.
=0) — р, Р($.с.с =О!$.=-0) =-1 — р, Р(г„„- й+1(й„= й) - р, РЦ„+с — — й-1!$;,- Ус) 1 — р, й=1, 2, ... Пусть т,,— время перехода цепи $ из состояния 1 в со- стояние у; Р(т,, = Н = Р(ппп (я ~ 1: $„= у) = у!йз = у), у 1, 2..., а) Найти производящую фупссцию срр с (з) Мзсза и Мто, ь б) Найти рекурреитпые формулы, связывающие производЯщие фУнкции сухи+с (з) Мг'х "+с (й О, 1, ...). в) Используя результаты пп. а) и б), составить и решить рекуррентные уравнения для Мт...~с, й О, 1, ... Найти асимптотические формулы для Мте, при й- ас. 5.70. Пусть сс, Ь, ...— независимые одинаково распределенные случайные величины, Р($с = 1) Р(ас -1) =1/2; гс О, г,=г„с+5ь й=1, 2, ... Положим т„= ш(п (и ~ 1: ! г. ! = йУ).
Найти Мтс, М хм Мтз. 5.71. Пусть последовательность г,, гь ... определена как в задаче 5.70. Показать, что Мтл Лс'. 5.72. Движение частицы по целым точкам отрезка (О, Л') описывается цепью Маркова с )т'+1 состояниями и вероятностями перехода за один шаг рм = р <г 1; р« +, р, р« ~ =1 — р <1 (1=1, ..., Ф вЂ” 1). Пусть $(<)- положение частицы в момент 1 и т ° шрп (1: $(1) = Л'). Показать, что т„= М(т(~(0) = й) = ~Р9 <( Ч )в ~ я )") (Л7 — й) (Л" + й) (Р = <7 1«2). 5.73. Движение частицы по целым точкам отрезка (О, Л~) описывается цепью Маркова с Л'+1 состояниями и вероятностями перехода за один шаг роз = Рвв 1, р«+< — — р, р... <7 (1=1, ..., <"<'-1). Пусть $(1)— положение частицы в момент 1, ре(г)= Р($(г) у!В(0)= В.
Найти вероятности поглощения частицы в точках 0 и № пь = Ппт Ры К), пь *= )гш Рая(1). 5.74. Вероятность появления брака при изготовлении изделия равна д, При каждой проверке в ОТК налнчве брака обнаруживается с вероятностью о; в случае обнаруже1гня брака изделие возвращается на доработку. После доработки изделие независимо от предыстории может окаваться бракованным с вероятностью г. Доработанное изделие снова поступает в ОТК, и цикл повторяется до тех пор, пока ОТК не пропустит изделие как бездефектное. Построив цепь Маркова, соответствующую описанному процессу, найти: а) распределение числа $ рав прохождения изделия через ОТК; б) вероятность того, что изделие, призванное ОТК бевдефектным, в действительности является бракованным.
5.75. В городе У каждый житель имеет одну из трех профессий: А, В, С. Дети отцов, имеющих профессии А, В, С, сохраняют профессии отцов с вероятностями 3<<5, 2/3, 1/4 соответственно, а если не сохраняют, то с равными вероятностями выбирают любую из двух других профессий. Найти: 1) распределение по профессиям в следующем поколении, если в данном поколении профессию А имело 20 % жителей,  — 30 ев, С вЂ” 50 $," 2) предельное распределение по профессиям, когда число поколений растет; 168 5.77. Матрица веровтностей перехода Р и распределение (/ по состояниям в момент 1 0 цепи Маркова $, имеют вид 1/12 3/12 1/12 2/122 3/12 1/12 4/12 2Д22 3/4 1/4 0 О 1/2 1/2 0 О 0 О 1/3 2/3 0 0 2/3 1>3 1/2, О, О, О, 0).
а/12 2/12 1/12 1/12 0 0 0 0 0 О О О а =(1/2, Найти: а) несущественные состояния; б) математическое ожидание времеви т до выхода иа множества несущественных состоявий; в) вероятвости р(, р( попадания в классы состоя- (а) ф) вий а=(3; 4), р (5, б), если начальным состоявием является 1 ю И, 2); г) предельное при 1 — распределение по состояниям, т. е. величины вь ))ш Р(в( й). ( ао 5.78. Цепь Маркова $. имеет начальное состояние зс = 0 и переходные вероятности Р 6 + - й+1 ( ь. - й) - — 4 д+ - д -й)- 1 гле й, лев (О, 1, ...) и а) 1. Составить рекурревтвые ураВНЕНИя дЛя ВЕЛИЧИЙ рь Р(зв Й) И С ИХ ПОМОЩЬЮ (в) найти Матч и Оа(", 5.79. Показать, что если все собственные числа Е), ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
