А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Следует ли из условия Р (5 +... + Ь ~ х) = Р (ц~ +... + ц, ~ х) для каждого х совпадение функций распределения г"(х) и с (х)г 4.93. Изменится ли ответ на вопрос предыдущей задачи, если дополнительно потребовать, чтобы Р(!$~ + ... $32 ... + $~( ('") = 1 и характеристическая функция распределения $1 нигде не обращалась в нуль1 4.94. Показать, что если характеристическая функция 1(г)= Мзо' удовлетворяет условиям 1(11) 1(12) 1~ то при любых целых т, п = О, ~1, ~2, ... У(тт, + пЦ) = 1, 4.95*.
Характеристическая функция ~(1)= Меоз дифференцируема при 1 = О, Верно ли равенство М$= — '. Г (0)у Рассмотреть случай, когда $ имеет плотность раопределения р(з), причем р (х) = р ( — х), р (з) =, (з -' со). Г+ о(0 зз 1и з 4.96". Характеристическая функция 1(1) Мсо' удовлетворяет условию 1) (0) ! ~ . Показать, что Мьз — Р (О).
4.97, Показать, что если характеристическая функция )(1) Мсог дважды днфференцируема при 1= О и )1 (О)) (зо, то 31'(1)) (у(У" (О)) при любом Х. 4.98. Являются ли характеристическими функциями вероятностных распределений следующие функции: а) е'(' '); д) ! сов г('~з; б) соз(1з); е) з —,-(1~0), 1 (1 = 0)р в) созз0 ж) е м(1)0), —., (1(0); 1+~ (П(мз) з) -о1) 4.99. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины $, характеристическая функция у(1) = Ме'" которой равна: 1 а) — в|п а1 (а ~ 0),. 4 4 б) —, соз1з1п' —, в) —, е" зи1' —,, г) г' 2 е зппз з)п~ — + =) (а)0) 3 133 д) (1 — гг) е(1+ В) с (р, с 0), Йгсз1п (ос ) агсс1в 9 4.100. Случайные величины фп фи ...
независимы и имеют одно и то же нормальное распределение с параметрамн (О, 1). Распределение случайной величины Хг $1 + ь2 + + $г называют т'-распрсдслснисм с г степенями свободы. а) Найти функцию распределения и характеристическую функцию тс-распределения с двумя степенями свободы. б) Найти характеристическую функцию и формулы для моментов й-ге ()с 1, 2, ...) порядка т'-распределения с г степенями свободы. 4.101. Исходя из формулы для плотности гамма-распределения (см.
введения к гл. 3 и 4), проверить, что если случайные величины с1 и $а независимы, с1 имеет гамма-распределение с параметром а, а $т — гамма-распределение с параметром б, то Ц~+ $а имеет гамма-Распределение с параметром а+ (1, Используя зто свойство семейства гамма-распределений, найти характеристическую функцию )„(Г) и формулы для моментов тв (й 1, 2, ...) й-го порядка гамма-распределения с ла(ю раметром а) О.
4.102. Случайный вектор ("ь ..., $,) имеет многомерное нормальное распределение в В~ с вектором математических ожиданий а =(аь ..., а,) н матрицей ковариацнй В. Найти распределение случайной- величины = с)~1+... + СДА, где сь ..., сз — действительные числа. 4,103. Случайный вектор (~ь ..., й„) имеет многомерное нормальное распределение в В" с вектором ма« тематических ожиданий а (аь ..., а,) и матРицей ковариаций В; матраца С вЂ” 1со1 ~(1 = 1, ..., т; 1 = 1, ... ..., 4) состоит из действительных чисел.
Найти Распределение случайного вектора (~ь ..., ~ ), где ~;.= с~4~ +... + с,.~м 1= 1, ..., т. 4.104. Случайный вектор $ =(~п ..., $„) имеет мно» гомерпое нормальное распределение в В" с вектором !зс любомг 0,1,...,У Р(В„),'Р ( — 1)" "С;Я„, где Я =1, 8а= ~ч', Р(А;А, ...А~ ). ~м1,~с,~...<е,~п 4Л09*. Случайная величина $ принимает только целые неотрицательные значения. Доказать, что если т«=М$'ю=М$(й — 1)...Ц вЂ” й+1), й 1, 2, ..., и для целого Н ~ 1 величина ты, (, то ы «И-1 ,'~', (- Ц"-' —,', -Р (1 - О) ~ ~~', ( — 1)" ' —,,".
ь ь=1 4Л10. Пусть выполнены условия задачи 4Л09. Дона- вать, что «+«а-1 »~ы Х ( — 1) С„(Р(в=я)( Е ( 1) Сь ь» в» если я=О, 1, ... и т.+ы-1 с' ° 4Л11, Пусть выполнены условия аадачи 4,109. Доказать, что прн любом п 1, 2, ... »+та-1 »+ел ( — 1)" " С„":,' —" ~~ Р (5 ~~ п) ~~ )'„(- 1) "Сь- ~ й, ~ ь» ь « если т +ы-~ ( ' ° 4Л12. Метод моментов. Пусть ~ь $ь ..— последовательность неотрицательных целочисленных случайных величин и ть"~ = М$»"~ (и, й 1 2, ...). Доказать, что если существует такая целочисленная неотрицательная случайная величина $, что при любом й=1,2, ...
Пт т'„"' = М~~ы т„ »-~о и т, о(й! й '), й-~. сО, для любого т( «», то 1йп РД» й) РД й)„й = 0,1, 2, 4Л13. Пусть $6 ~ь ...— последовательность неотрицательньгх целочисленных случайных величин. Докааать, 636 что если при любом /< = 1, 2, ... и МЯ»<=Л», О )« то Иго РД„= в<) = е для любого и< = О, 1, 2, ..., <т » ао т< т.
е. распределение ~„ сходится к распределению Пуас- ,сона с параметром Х при п - с, , 4.114. Пассажирский поезд состоит из /У вагонов по е мест в каждом вагоне. В момент отправления в поезде находилось и пассажиров. Обозначим символом <<; <<~(п, <<<, е) число вагонов, в которых при отправлении поезда находилось ровно < пассажиров, < О, 1,, е, Предполагая, что все п)Сьч (Л<е)РО вариантов разме- щения пассажиров в поезде равновероятны, найти фор мулы для факториальных моментов величин ра, «<, «,. Проанализировать поведение математических ожиданий <», при изменении и от 0 до Л<е.
4Л15. Пусть выполнены условия аадачи 4Л14. Найти явное выражение для Р(«,(и, <«, е) а). 4.116. Пусть выполнены условия задачи 4.114. Пока- вать, что если е и < фиксированы, а и, Ж- так, что М<»<(п, Д<, е)- Х ы(0, ее), то я любом й 1, 2, ... »/ е))<»< 7„» Вывести отсюда, что тогда для любого <и О, 1, ... ьт Р(<»<(п,У,е) т) — ~ —,е ь. 4Л17, Пусть и частиц размещаются по Ж ячейкам, прячем каждая частица независимо от остальных с одинаковыми вероятностями (равными 1//ч) может попасть в любую нз <т' ячеек.
Обозначим через р (и, Ж) число ячеек, в которых находится ровно по г частиц. Найти формулу для М«„(п,<<<)и доказать, что если г 0,1,2,... фиксировано, а и Ф- с так, что Мр„(п, У)- Х, О<А<, то Р1«„(п, Л') !<и)- —,е», т О, 1, ... 7т 4Л18. Пусть частицы последовательно и независимо друг от друга размещаются по )т ячейкам так, что <-я (< 1, 2, ...) частица попадает в /-ю (/=1, ..., Ф); ячейку с вероятностью 1/У. Положим ч,(/У)=<п(п(п< <»,(и, /У))О), г 2, 3, ..., <37 где (г,(я, Ж) — число ячеек, содержащих после размещения и частиц ровно по г частиц. Найти такую последовательность чисел Ьь Ьь ..., что распределения случайных величин т,(У)/Ь„при У- > и фиксированном г сходятся к невырожденному закону, и сам предельный закон.
4.119. Пусть и частиц незавпсимо размещаются по Ут ячейкам, расположенным в виде квадратной таблицы размером ЖХ)т'. Назовем ячейку свободной, если после размещения я частиц ни в нее, пи в ячейки, находящиеся с пей в одной строке или в одном столбце, не попало ни одной частицы, Найти предельное распределение числа я(п, У) свободных ячеек, когда и = 11'(йэ И+ о(1) ), Ж- й 5. Приме)зенмя центральной предельной теоремы и метода характеристических функций 4Л20 (см. 4.2).
Случайная величина г)„ равна сумме очков, выпавших при п независимых бросаниях симметричной игральной кости. Используя центральную предельную теорему, выбрать п так, чтобы Р~~ ~„" — 3,51==0,1) «0,1. 4.121. Складывается 10' чисел, округленныт с точноствпо до 10 . Предполагая, что ошиоки округления независимы и равномерно распределены в интервале ( — 0,5 10 , 0,5 ° 10 "), найти пределы, в которых с вероятностью, не меньшей 0,99, будет лежать суммарная ошибка. 4Л22. Случайные величины 5ь сь ... независимы и одинаково распределены: р~$,= 11 $ зФ1, 1=1,2, а) Найти пределы математического ожидания и дисперсии случайной величины ц„(с,...
$„)д~" при Д -~ СО б) Доказать, что при и - распределение г)„сходится к логарифмически нормальному распределению (см. задачу 3.233), Найти параметры а, от предельного логарифмически нормального распределевия. $38 в) Сравнить найденные в и. а) значения 1(пт Мт(„и к Ию Об„с математическим ожиданием и дисперсией слу о чайной величины тт, иметощей логарифлтически нормальное распределение из и. 6). 4Л23о. Случайные величины $ь 5н ... независимы и одинаково распределены: Р($т — 1,25) = Р($; = 0,8) = — т 1=1,2, ...т и т(„=5~...$„. а) Найти Мт~~ооо, От(~ооо, М1пт(ппо, 01пт(~ооо б) Пользуясь асимптотической нормальностью 1и т)„ при и —, найти приближенные аначения Р (т(~ооо ~ ~ 0,001), Р (т(~ооо < 1), Р (т(кос < 1), Р (т(~ооо < 10т).
в) Пользуясь формулой Стирлинта, найти Р (т)юоо «$ ( 11, Р (ч~ооо ~ 1). 4.124. Случайные величины $ь $т, ... независимы и одинаково распределены: Р Д, = 1,25) Р Дт 0,75) —, 1 = 1, 2, ..., и Ъ-$~ "$" а) Найти Массо 0т) нос, М 1п т) нюо, 0 1п т(тооо б) Пользуясь асимптотической нормальностью 1п т( при и — , найти приближенные значения Р (т(юоо < 10 то) Р(т(иве ( 1 25оо~ . 0 754оо 1 б ' 10 то) Р (т(юоо 'Я 1,25зо' ° 0,75тоо), Р (т(тооо < 10 Ч.
в) Пользуясь формулой Стирлинга, найти Р (т(юоо к 1,25оо~ . 0 754оо) Р (т) ксо ~ 1 25оот 0,75тоо) 4Л25. Случайные величины $ь ст, . „независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Распре деление случайной величины х'- Я+'"+ К называется распределениезт )(з (хи-квадрат) о и степеня ми свободы. а) Доказать, что Ипт Р ~ — — 1 ) з 0 при любом 1х' и а е> О. б) Найти 1пп Р " "«х с — со(х сю. [ Уйхс я 4Л26.
Случайпаа точка $ =($с, ..., ь„) си Л" имеет равномерное распределение на единичной сфере в Й", т. е. на множестве точек Б ~ [(хм ..., х ) е- =В: х,'+ ... + х,', — 1). Найти Мсс и М~Д, при 1 < 1, 7 ( и. 4Л27. Случайный вектор Ц (Цс, .„., С„)си В" имеет сферически симметричное нормальное распределение с пулевым вектором средних и единичной матрицей ковариаций. Равенство $ ре, р=(з(, з= — $, 1 где ~ с( У~, '+ ... + с,', — длина вектора ь, дает представление 4 в виде произведения скаларной случайной величины р и вектора е. Доказать, что р и в независимы и что в имеет равномерное распределение на единичной сфере в Л" (см. задачу 4Л26). Найти распределение, математическое ожидание и дисперсию рз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
