А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 21
Текст из файла (страница 21)
— независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения Р(х), а к„ = гоах (~ь ..., а„). Найти такие последовательности чисел а» и Ь„, что последовательность а„к + + 6, сходится по распределению при л — »» к невырожденной случайной величине х, и найти функцию распределения к в случаях, когда: а) Г (х) = 0 (х ( 1), Р (х) = 1 — — (х' з 1, гг ) 0), б) Р(х)=шах(0, 1 — !х)»1(х(О„а)0), Г(х) 1 Г(х ~ О) в) Г(х)= пзах(0, 1 — е *1. 4.33. Последовательности $ь $з, „.
и дь Чг, ° ° ° случайных величин таковы, что 1пп Р((»з»('» е) = 1 для любого з» О, »» И существует функция распределения г"(х), для каждой точки непрерывности которой выполняется соотношение Доказать, что при любом характере зависимости между $„и т(„для каждой точки непрерывности Е(х) справедлквы равенства: а) 1пп Р (»(„+ $» ( х) = Р (х); » б) 1(ш Р(г)„(1+ $„)(х) К(х). »- ° 4.34. Случайные величины ~к ьз, ... независимы, Р(~< 1) р, Р(1,=01 1 — р, 1 1,2,, (!в Положим $( *= ь((1 — ь(+(ь(+2... ь(+ь), т)„42 + ... (ю (ь) (А) ... + $(~).
В случае когда 0(р(1( !!щрм") у'я=О, Ф-РФ найти 1 Ч(МРР)) — ар 1, Р( ° — (.( РР ~ ')РРпр (1 — р) 435 Пусть еь(, 2ьт, ° .. и ()1, 2)2, ...— такие последова тельности случайных величин, что для некоторых чисел а, Ь для любого е >О Нт Р()4„— а!) е) О, 1!и) Р() т)„— Ы) е) О.
2 И-Р Доказать, что при любом характере зависимости между $ и 2(„для любого е ) 0: «) !1щР((ь — а! е, )ׄ— Ь) -е) РР Р б) если функция 1'(х, р) непрерывна в точке (а, Ь), то для любого е ) 0 !ип Р ( ~ 1 (~„, ))„) — 1(а, Ь) ) ~ е) 1. 4.36. Пусть.ь|) (Рьь(~~, 5зво), 1= 1, 2, ...,— независимые одинаково распределенные векторы в ()(2, М4((о а)) О, М421) а ) О, 1 1, 2, Доказать, что последовательность случайных величин 4(1) ( 4(2) + ( Рь(РР) 4(п+„(ю+ +.(„) 2 = Р Р ° ° 2 я=1 2 РР ° 42 сходится по распределению к а)/ат, если либо а) 0$)о ( «" оо, 2)$(2о "оо, либо б) м~ в(12) 1(1+2 оо м~ $(о!1+2( 2 са для некоторого е»О.
4.37'. В последовательности случайных величин $1, $2, ... случайная величина 4„при любом и = 1, 2..., имеет геометрическое распределение с параметром ()„, д„- 0 (п - 2). Найти предельное распределеяне случайных величин дД„прн и — РР. 4.38'. Время 3 безотказной работы прибора имеет математическое ожидание а)0 и дисперсию о2 г; . При кая(дом отказе прибор подвергается ремонту (и тогда время до следующего отказа не зависит от предыстории и распределено так же, как 4), после Й-го отказа прибор 120 списывается как негодный.
Пусть ть — суммарное время, которое прибор проработал до списания. а) Найти Мт„, Оть б) Показать, что для любого а ~ О 4.39. Пусть $п Ь, ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием а )0 и дисперсией о'( °, случайная величина т не зависит от $п $и ... и прппимает целые положительные значения, Мч — Ь и Найти Мт и предельное распределение случайной величины т/(Мт), когда распределение т изменяется так, что Мт- я существуот непрерывная функция распределения г" (х), удовлетворяющая условиям Г(0)= О, Р~ — ~ ~=Р(), О~ ~ 4.40.
Время $ безотказной работы прибора имеет математическое онгидание а>0 и дисперсию о'< . Каждый отказ прибора независимо от предыстории и длин периодов безотказной работы с вероятностью р является несущественным (прибор требует только наладки), а с вероятностью д = 1 — р — существенным (врибор нужно ремонтировать). Пусть т, — время от начала работы прибора до его ремонта. а) Найти Мто От,. б) Найти предельное распределение случайной величины т,~Мт„когда параметры а)0 и оз( ~ фиксированьт, а д-~ О.
4.43". На одном вероятностном пространстве заданы событие А, Р(А) = р, и случайная величина $, имеющая математическое ожидание а и дисперсию оз( . доказать, что прн зпобом характере зависимости между З н А Р(з)л)А)(, х>а, р (з — а) ) М Я ) А) — а ~ о пни 1 У~ — Р) .) Р" ° ! 121 4.42 .
Последовательность ($ь з~)', Яз, ез), ... состо. ит из независимых пар случайных величин (внутри пар случайные величины могут быть зависимыми), МЬ=а, 0з ~от, Р(е~ = 1) = 1 — Р(е, ° О) ° д. Положим у = гп)п (1 «~ 1: ес = 1), т~=й+" +з, ~ (т~-0 при ч-1), тз $~+ '+Ь Найти предельные распределения случайных величин ать дтю когда параметры а) 0 и ос ~ ю фиксированы, а д-'О. 4.43. Процесс работы прибора состоит из независимых одинаково распределенных циклов; длина ч цикла имеет математическое ожидание а)0 и дисперсию оз< . Вероятность того, что за один цикл прибор не сломается, равна р, вероятность поломки прибора на любом фиксированном цикле равна д = 1 — р (поломка прибора может завнсегь от длины цпкла).
Пусть т — время до первой поломки прибора. Найти предельное распределение случайной величины дт/а, когда о - О, а- аа)0, о'- озе се. 4.44. В бункер помещается ве более ДГ= 150 деталей. Ежемпвутво в бункер поступает случайное число деталей, имеющее распределение Пуассона с параметром й = 2; числа деталей, поступающих в бункер в непересекающееся интервалы времени, независимы. Через каждый час все находящиеся в бункере детали перегружаются в тележку и отправляются на дальнейгпую обработку. В начальный момент времеви бункер свооодек.
Пользуясь предельпымн теоремами, указать приближенное значение вероятности того, что за врезгя Т = 100 часов пе произойдет ви одного переполнения бункера, 4.4б. Показать, что если последовательность случайных величин $ь зм ... сходится к $ с вероятностью 1 илн в среднем квадратичном, то опа сходится по вероятности к по распределению. Привести пример последовательпости $ь $ю ..., сходящейся к 5 по вероятности, по не сходящейся ни в среднем квадратичном, ви с вероятностью 1.
4.46. Последовательность случайных величин $м ..., сходится к ь по распределению. Показать, что можно аадать на одном вероятностном пространстве слу- 122 я чайные велнчины $г, $„... и $ так, что для всех х Р,($'<х) Рфк-.х~, Р)$„<х) = РД (х), л 1,2,..., и последовательность $п зг, ... сходитсл к $ с вероят- ностью 1, 4.47. Пусть 1(х) — непрерывная функция, х ы( —, ), а последовательность случайных величин $п Йг, ... схо- дитсн к случайной величине 4 (с вероятностью 1, по вероятности или по распределению).
а) Сходится ли (в тех же смыслах) последователь- ность Д$1), /($г), ° .. и 1($)7 б) Сходитсл ли (в тех же смыслах) последователь- ность 1(4г), 1(чг), ... к )(з), если /(х) кусочно-непре рывна (имеет конечное число раарывов на любом конеч- ном интервале), а функцил распределеннл 4 непре- рывна у 4.48.
Последовательность ьп зг, ... случайных вели- чин удовлетворяет условинм Р($„+, «$„) =1 длн любого и 1, 2, ..., 1пп М$„а(со. Доказать, что существует случайная величина $, для которой Р(11щ $„= $~ 1. щ-мо Верно ли равенство М$ ас 4.49. Последовательность точек $ь $г, ... на отрезке (О, 1) строится по следующему правилу: ~~'имеет равномерное распределение на (О, 1), и если значепия $ь ... ..., $д ~ (л» 2) определены, то точна $„имеет равномерное распределепие на минимальном по длине из Й отрезков, на которые (О, 1] разбивается точками $ь ..., $,, а) Доказать, что сугдествует случайнаа величина удовлетворяющая условию Р(Пщ зе $) = 1.
б) Найти Мз, 0з. 4.50. Последовательность точек за, $ь зг, ... па отрезке (О, Ц строится по следующему правилу: $с = О, $~ имеет равномерное распределение на )О, 1), а $„при любом л>2 имеет равномерное распределение на интервале, образоваппом ф„-~ и $ -г. 123. а) Докааать, что существует случайная величина $, удовлетворяющая условию Р(11ю $„= 5~ =* 1. б) Найти М$, Р$. 4.51~. Последовательность случайных величин $з, ..., последовательности чисел (а„), (Ь„) и случайная величина З удовлетворяют условиям 1пп а„а, 1а)<оо, 1пп Ье О, Р(!31<со) 1, »»» »»»» 11»п Р~ ~ <х = Р(ф<х) а-»»» ~ »» в каждой точке непрерывности функции р'(х)= Р(з «х). Функция д(х) непрерывно днфференцируема в окрестности точки а и л (а)чьО.
Доказать, что в каждой точке непрерывности р'(х) Н Р~," " - -Р(). (з (4„) — з (а„) »»- »» (»») 4.52. Последовательность случайных величин $и ..., последовательности чисел (а„), (Ь„) и случайная величина $ удовлетворяют тем же условиям, что в задаче 4.51. Функция л(х) имеет й ~ 2 непрерывных производных в окрестности точки а и л (а)=у (а)=... д" "(а) О, у'м(а)чьО. Доказать, что 1 (4)-л( ) ь„"з<~> (,„) в каждой точке непрерывности функции р'»(х) Р(з" «х). 4.53. Случайная величина д„ равна числу успехов в и независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р, О«р«1. (вв "р) а) Найти Нпз Р( <х . ( ар (1 — р) б) Пусть О «з «1, з-ь р.
Найти такие последовательности чисел А„(з) и В„(з), и 1, 2, ..., для которых Ню Р1 " В ( <х =Ф(х), ( (в„— вз) з — А„(з) е"»»» в (*) 4.54~. Случайная величина р„равна числу успехов в и независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р; функция л(х) определяется соотношениями х1пх+ (1 — х)1п(1 — х), 0(хс 1о а (х) О, х О или х=1. а) При р = 1/2 найти !пн Р~л~д~ — а)+ 1п2)(х)о Х вО. б) При О(р 1, рт" Ц2, указать такую последовательность В (р), я 1, 2...а что Ив Р Во(р)(д ~ — а) — л(р)) ч..х) = Ф(х)„ — оо С Х ( оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
