А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Найти: а) Р(э>+... + зг = т[$> +... + Ь = и); б) М(Ь + ° ° . + $а[$> + ° ° ° + йз = и). 3 198, Из урны, содержащей М белых и Л вЂ” М черных шаров, сначала извлекается без возвращения выборка объема и, а затем иэ этой выборки извлекается беэ возвращения выборка объема иэ ~ и. Найти закон распределения числа $ белых шаров во второй выборке, Зависит ли этот закон от и? 3.199, Случайные величины $> эг $г независимы и распределены нормально с одинаковыми параметрами $>-> $,6,, а О, о = 1; положим» = --т= —. Найти распределе- 1+ йг ние О. 3.200. На отрезок [О, а) брошено три точки, их координаты $>, 5, $г независимы и равномерно распределены на отрезке [О, а[.
Найти двумерную функцию распределения зг, $э при условии, что $> г а пип ($г, $з), 0 ( Сг < а. 3.201*. Пусть.$> (з», $>г), ..., $„($„>, $„>) — независимые случайныв точки, имеющие равномерное распределение в квадрате 0 ь х>, хг ( 1. Назовем точку $> = =Яс>, й,,г) граничной, если для любого >' = 1... и вы- полняется хотя бы одно из условий 2я ~во $т<$а и обозначим через к„число граничных точек. Найти Мк„. 3,202.
Пусть вь 2т,,— последовательность невависнмых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием а) 0 и дисперсией от < случайная величина т не аависит от фь $т, ° ° . и принимает целые положительные вначения, Мт ' Ь, а т=Ь+Ь+...+2,. Н айти Мт и (при дополнительном условии 0т бс) От. 3.203. Случайные величины $, ц независимы. Дока- вать, что при любом л РЦ > пзах(ц, л)) > РЦ > т))РЦ >х). 3.204.
Случайные величины $, ц, ~ неэависнмы. До казать, что РЦ Рь мах(т), ь)) > РЦ > Ч)Р(ь=--ь) 3.205. Случайные величины $ь $т, ... неэавксимы и имеют равномерное распределение на отрезке (О, 1). Пусть б~ = 1, и если и > 2, то 1 при $» ( ппп Кы... » $ — Д, б„- О в противном случае, Построим последовательность т, моментов появления ми- нимальных вначений $„ н последовательность их величин т)„т.
е. положим тю О, Ос=1, т, пип(п: п~ т, „ б» 1) ц»=$» Ь=1 2, а) Доказать, что при любых й > 1 и х ж [О, 11 услов- ное распределение ц, при условии ц», л является рав- номерным на (О, л]. б) Найти математическое ожидание и дисперсию слу- чайной величины ь» = -1п цп в) Найти условное распределение, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Л» т»вЂ” — т»-~ пря условии ц, ~ = л. г) Найти Мт» при Ь > 1. д) Доказать, что случайные величины б„бп ... не- 1 зависимы и Р (б„1) = — „, и = 1, 2, 3.206.
Пусть ~п ~ь ...-независимые случайные ве- личины, имеющие покааательное распределение с пара- метром Х: РЦ~<1) =1 — е ", и Яс=О, Я~ ~ь 8я= Яб ~~ + ьм .., Пусть, далее, случайные величины $ь $ь „з„независимы, имеют равномерное распределение на отрезке 10, а], а>0, и ф,п <фм> - ...(ф<., — их вариационный ряд, т, е. перестановка ~ь ..., $„в порядке неубывания. Докааать, что условное совместное распределение (Яь Ям ..., Я„) при условии Я„(а(Я„.„~ совпадает с совместным распределением Й<п $0ь ..., $оо) ° 3.207. Случайная величина $ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией а'.
Показать, что при любых х) О, С ~ 0 Р~$ — х ) — ~ $ х~ ( е ~~~~, 3.208. В схеме Бернулли с вероятностью р исхода 1 и вероятностью й 1 — р исхода О найти математическое ожидание числа таз испытаний до первого появления цепочки яз двух кулек. В частности, вычислить Мтзо при р 1/2. 3.209.
В схеме Бернулли предыдущей задачи найти математическое ожидание числа т~п испытаний до первого появления цепочки из трех единиц. В частности, вычислить это математическое ожидание при р =1/2. 3.210. Б схеме Бернулли аадачи 3.208 найти математяческое ожидание числа тм испытаний до первого появления цепочки 01. В частности, вычислить это математическое ожидание при р =-1/2, 3.211.
Точки Аь Ап ..., А независимы и имеют равномерное распределение на окружности единичной длины. Найти вероятность того, что длина наименьшей дуги, содержащей все эти точки, не больше х < 1/2. 3.212. Точки Аь ..., А„независимы и имеют равномерное распределение на окружности 5 с центром О. Найти вероятность того, что О лежит внутри выпуклого многоугольника с вершинами Аь..., А.. 3.213. Точки Аь ..., А независимы и имеют равномерное распределение на окружности с центром О, а случайная величина т равна наименьшему и, при котором выпуклый многоугольник с вершинами Ап ..., А„ содержит О. Найти Мт и 1зт. 3.214. Точки Аь „-А„независимы и имеют равномерное распределение на окружности радиуса Л. Найти вероятность того, что выпуклый многоугольник с вершияамв Аь ..., А, имеет непустое пересечение с окружностью радиуса г = Л/2, концентричной исходной окружности.
3.215. Точки А<, ..., А„'(н> 2) независимы н кме ют равномерное распределение на окружности радиуса г. Пусть А«, = А<, А<з„А<з„..., А<„, — точки А<, ..., А„ расположенные в том порядке, в котором они встречаются при обходе окружности по часовой стрелке.
Найти закон распределения длины $ дуги А<пА,з, и значения м~, о1. 3.2!6, Пусть выполнены условия задачи 3.215 и й<— длина дуги А<„А«+<в Найти совместное распределение я коэффициент корреляции з<, $з. 3.2!7, Пусть выполнены условия задачи 3.216. Найти закон совместного распределения $<, ..., $, при << зла, 3.2!3. Пусть выполнены условия задачи 3,216. Показать, что совместное распределение ь<<, ь<,, ° ° °, Ьз с 1 < !< ~ <з <... 4 = п совпадает с распределением Ь,, $' 3.219. Пусть выполнены условия аадачи 3.2!6 и т— число дуг Л<оА,«,., длины больше Л, 0 ~ <з < 2яг, Найти Мт, 0» и аснмптотические формулы для них при г = и«2Ы, и- 3.220. Пусть выполнены условия задачи 3.216.
Найти закон распределения случайной величины =к<ах($<, ..., $„). 3.22!. Пусть выполнены условия задачи 3.220. Найти Мт( и асимптотическую формулу для Мц„кри и 3.222. Точки А, В, С независимы и имеют равномерное распределение на окружности единичного радиуса. Пусть 3 — площадь ттАВС, р — его периметр, г — радиус вписанного круга.
Найти МВ, Мр, Мг. 3.223. Стороны прямоугольника АВСВ параллельны осям координат. Найти математическое ожидание площади а прямоугольника АВСВ в следующих случаяхз а) координаты (а<, аз) точки А фиксированы, 0 (аь аз~1, а точка С имеет равномерное распределение на диагонали единичного квадрата, соединяющей его вер. шины (О, 0) и (1, 1); б) точки А и С независимы; точка А равномерно распределена в единичном квадрате (О, ЦХ [О, 1), а точка С имеет то же распределение, что в и. а). 3.224*.
Батарея из н орудий производит залп по цели, находящейся в точке аю(-, ). Если 1-е орудие наведено на точку 6,<и(-, ), то вьшущенный нз него снаряд попадает в точку ()<+ з, + ь, где з< — естественное 98 рассеяние для (-го орудия, а ~ — одинаковый для всех орудий снос из-за ветра. Цель оказывается пораженной, если хотя бы один снаряд попадает на отрезок [а — з, а+ з!. Пусть $ь ..., $, ~ — независимые случайные величины, $, имеет равномерное распределение на отрезке [ — с, е), а Ь вЂ” равномерное распределение на отрезке [-й, оь 0 < с < А Найти и сравнить вероятности поражения цели (и их пределы при л Оо) в следуЮщих случаях: а) зсе орудия точно наведены на цель (3~ = рт = ° ° . б„=а, с+в~0); б) точки прицела выбираются случайно (Рн ..., р,— независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение на отрезке [а — Ь, а+ Ь), Ь ) с+ И+ з).
й 4. Нормальное распределение 3.225'. Случайная величина $ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Какое из двух событий; (!$! «0,7) или (!$! >0,7)— имеет большую вероятность? 3.226'. Случайнан величина $ имеет нормальное распределение с параметрами (О, 1), Что болыие: Р( — 0,5($( — 0,1) или РИ~~(2)? 3.227', Случайная величина ф имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией от.
Найти М$', й = 1, 2, ... 3.228. Случайная величина $ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсиен оз. Г!оказать, что при любом х ~ 0 х з х 1 я с — е зч" ~" "з~(РД)х)( е зе ~/Зл х х'~ ~/Зя 3.229'. Случайная величина й распределена нормально с параметрами (а, от). Найти: а) плотность распределения величины 7(1 = $~ при а=О; б) плотность распределения величины 7(т ез при произвольных а, о. 3.230'. Случайные величины $~ и $з независимы и имеют нормальное распределение с параметрами (О, от). Найти функцию распределения случайной величины т! =В~+$а 7* зз 3.231.
Случайные величины фо ..., $ независимы и имею~ нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, Распределение случайной величины т|» = 5~ + ... + Ъ» называется ут-распределением с и степенями свободы. Найти плотность распределе ния Ч„. Какое из распределений, перечисленных в конце введения к гл. 3, при соответствующем выборе параметров совпадает с распределением ~„3 3,232'.
Случайная величина п„имеет т'-распределение с и степенями свободы (см. задачу 3.231). Найти Мд„, оц.. 3.233'. Найти М3 и 0$, если 1п $ имеет нормальное распределение с параметрами (а, от) (в этом случае говорят, что З имеет логари4иически нормальное распределение). 3.234'. Для случайной величины ф, определенной з задаче 3.233, найдите точку, в которой максимальна плотность распределения $ (эта точка называется модой распределения). Найдите отношение математического олгидания $ к ее моде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
