А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Найти совместное распределение О и т. Являются ли случайные величины О и ч аависимыми7 3.52'. В !У ячеек независимо бросают частицы; для каждой частицы вероятность попадания в 1-ю нчейку равна р! 1//!' (! 1, 2, ..., Ю). Обозначим через (тт(...(тм номера бросаний, при которых частицы попадают в пустые ячейки; положим т! = т! 1, тг =т„— т, ! (Й~2) к обоаначим через О, номер ячейки, в которую попадает частица при т„-м бросании. Найти: а) совместное и одномерные распределения величин 'ги тз~ б) совместное и одномерные распределения величин тя тм, тм (являются ли эти величины независимымн1); в) совместное распределение 6!, Ои ..., Ом. 3.53'. В схеме размещения частиц, описанной в аадаче 3.52 (с р, ча 1/М), найти совместное распределение О„..., О..
3.54'. Из урны, содержащей М белых и М вЂ” М черных шаров, по схеме случайного выбора без возвращения вынимаются все шары. Пусть 5! — число черных шаров, иавлеченных до появления 1-го белого шара, Ь вЂ” число черных шаров, иавлеченных между (! — 1)-м и !-м (1 2, ..., М) белыми шарами, 5м+! — число черных шаров, появившихся после последнего белого. Найти: а) Р(3! й); б) Р(5! й, 3т Я; в) Р($! =*й!э $2 йт ..г ам+1 йм+!). 3.55'.
Дана функция распределения Р(х, у) пары случайных величин 5, ц. найти Р(х!(а(хм у! ( ц ~ уг), х! ( хи у! (уь 3.56. Двумерное распределение случайных величин $, ц вадано функцией распределения Р (с а:, х, т) ( у) г' (х, у) О, если т1в(х, у)(0, и!1п(х, у)! если 0(пип(х, у) (1„ 1, если шгп(х, у) . 1. Найти Р(($ — 1/2)т -(-(ц — 1/2)т с, 1/4). 3,57. Построить пример пепрерывной в точке (хо, уз) двумерной функции распределеяия Р, „(х, у), для которой одиомерные функции распределения Р<(х) и Р„(у) разрывкы в точках хе и рз соответствекно.
3.58. Построить такой пример непрерывной во всех точках двумерной функции распределения Рь,(х, у), чтобы функция распределения Рг,,„, (х, у), где в< = $+ <1 ц< = $ — гь имела точки разрыва. 3.59. Доказать, что двумерная функция распределения Рз в<(х, р) непрерывна в точке (хз, уз), если соответствующие одномеряые функции распределения Р, (х), Р„(р) непрерывны в точках хз и уе соответственно.
Пусть $<, см „й„— независимые одинаково распределенные случайные величины. При каждом а«ий расположим числа 5~(<о), 1< 1, ..., п, в порядке возрастапия и перевумеруем кх заново: $«, ~ $<з< <... < $«Полученная последовательность случайяь<х величии называется варка«иоянык рядом, з сами случайные величины $<м — членами вариационного ряда. Таким образом, в частности, с«< п<1п ~м С<<о = гаах сю Задачи 3.60- <е«е< < <А е<< 3.66 связаны с вариационпым рядом. 3.60.
Случайные величины 5<, 5и ..., $„(п ~ 2) независимы и одинаково распределены с функцией распределения Р(х), Найти: а) фупкпию распределения й«<', б) функцию распределения ч~<„,; в) двумервую функцию распределения $«<, $<,. 3.61. По независимым одияаково распределекяым случайныы величинам 5<, ..., $„, имеюгдвм функцию распределения Г(х) и плотность р(х), построен зариациокный ряд $«< < $<з< ~... < $<., Найти: а) плотность распределения $<,; б) совместную плотность распределения $«< и $с,< (1< ( я<), 3.62. Случайные величины $<, ..., $м $~+< независиь<ы и имеют одну и ту я<е непрерывкую функцию распределения.
Пусть $«< ~ 5<з, <... < з<„, — вариационный ряд величин $<, ..., $„, Найти РЦ<~ (5ю, 5 д,)), 1 1, ..., й — 1, Р(3<<< ( $«<1, Рйа+! > азы<1. 3.63. Случайяые величины $<, ..., 5. независимы и имеют одинаковое распределение с плотностью р (х). Найти л-меряую плотность р„(х,, ..., х ) распределения члеиов вариациоиного ряда $«<, $<з„..., ь<.< 74 3.64».
Случайные величины $ь ат ..., $ независимы и имеют показательное распределение с параметром см РЦ,<х)=1 — е "*, х~О, 1 1, ..., и, а $и, <$,и <... <$,., — значения ~ь ..., $„, расположенные в порядке неубывання (вариационяый ряд). По кааать, чтс случайные величины Л!=$ие Л =Ь вЂ” $п-и, 1=2, ..., и, независимы и что Р(Л,(х) =1 — е "' '+"*, $ 1, "., и.
3.65з. Случайные величины йь $и ..., 3„независимы и имеют одно и то же показательное распределение с параметром Х. Доказать, что случайные величины '~з) '~1+ г + З +*" + —. 4, 4з $„ одинаково распределены, 3.66. Пусть ~„-Д„,и ..., $.з), и 1, 2, ...,— после- довательность независимых векторов, у которых коорди- наты $„. и ..., $..» — независимые случайные величины, имеющие одну и ту же непрерывную функцию распре- деления Р1х). Положим А„(5,л~ ш1п $,,ь1 1, ° „,й~. зе~в<з Доказать, что при х~-"2 Р 0 "4" <ауеу-' 3.67. Случайные величины фи 3и .., независимы и имеют одну и ту же непрерывную функцию распредале.
ния. Доказать, что события В„(й„итп1п($и,„ф„~)),' и 2,3, ...; независимы. 3.68. Пусть выполнены условия задачи 3.66. Найти 3.69, Случайные величины а и ц неаависимы. Дока- вать, что если функция распределения $ непрерывна, то фуркция распределения 6+ и тоже непрерывна. т5 3.70». Случайван величина 31 распределена по аакопу Пуассона с параметром аб Р($, "й)= — ~з ', й — 0,1,2, ° ° ° г 'а-случайная величина $д распределена по закону Пуассова с параметром )и)4. Доказать, что при любом целом й РЦ, ~ й) =. Р($з а й). 3.7). Функции распределения Р~(() и /гу(()' удовлетворнют условию Р'~(() <Рз(() для любого Ф. Показать, что можно так задать на одном вероятностном пространстве случайные величины $~ и ат с функциями распределения Р~(ц и /гз(г) соответственно, что РЦ~ > $з) 1.
3.72. Случайные величины $ и ц независимы и имеют равномерное распределение на отрезке (О, 1), а случайная величина Ь удовлетворяет условиям Р(~ = 3) РЦ 0) 1/2. Найти максимально и минимально возможные аначення 1 Р'ць — -~-~( (г)и укааать, при каких совместных распределениях $, ц в Ь эти значения достигаются.
3.73. Случайные величины $ и т( неаависимы и имеют одно и то же распределение с непрерывной функцией распределения Р(х), а случайная величина Ь удовлетворяет условиям РЦ а)=РЦ=О)=1/2. Пусть т,-зпр(ал Р(~(л) <1/2) — медиана распределе- ния ~. Найти минимальное и максимальное значения т, и указать, при каких совместных распределениях 3, ц и Ь зти значении достигаются. 3.74. Пусть Х, г' — неаависимые целочисленные слу- чайные величины, Я =Х+ г, а пип(ьн Р(Я п))0), Ь тах(я: Р(Я п))0). Доказать, что ппп (Р(Я = а), Р(Я = Ь)) < 1/4, 76 й 2. Математические ожидания В задачах 3.75 — 3.1$2 используются прямые способы вычисления математических ожиданий; задачи ЗЛ 13— 3.13$ иллюстрируют возможности метода индикаторов (см.
введение к гл. 3)'. Задачи ЗЛ32 — ЗЛ38 содержат по- лезные формулы для математических ожиданий различ- ных функций от случайных величин. Разными методами решаются задачи ЗЛ39 — ЗЛ88. 3.75'. Распределение дискретной случайной величины с определяется формулами Р(5 д =1/5, ( — 2, — 1,0, 1,2. Найти математические ожидания величин ц~ = — 3, чэ !5!.
3.76'. Распределение дискретной случайной величины 5 опРелелнетсн фоймУлами ! (Х й) Ь (Ь ! 1) (а 2~ й $, 2, ... Найти математическое ожидание случайной ве- личины 5, 3.77 . Плотность распределения случайной ве. личины $ задана формулами рз(х)= О прв х ( 1, рз(х) = = 3/хз при х > 1. Найти математические ожидания и дисперсии случайныт величин ь и т( = 1/5. 3.78'. Найти М5, 05, М5'м (й 1,2,...), если; $/з а) Р Д ° т) = —, е-ь, т = О, 1, 2, ...; б) Р(5 = т) С~р~д, д=1 — р, О, 1, 2, ...,и.
3.79'. Плотность совместного распределения р( Л,(и, о) величин $„$з опРеДеллетсЯ Равенствами Р(.Л, (и, г) и + + о при 0(и ~ ~1, 0(о( $; рэ л,(и, о)=() в остальных случаях. Найти М5„Мс„Оь,, Ос„сот (ь„ь,). 3.80 . Совместное распределение эь ээ определяется условиями Р(5Дэ=О) =1, РЦ<=1) =РЦ~= — 1) =1/4, 1= 1, 2. Найти Мфн Мьь 05ь 0$э, сот($~ 5э). 3.81'. Случайная величина а равномерно распределе- на на отрезке (О, 2я); т(~ = сова, т(э =э(п5. Найти Мт(ь Мт(ь сот(т(о г(э).
Являются ли ц~ и цэ неэависиьгыми? 3,82'. Случайная величина ь равномерно распределе- на на отрезке (-я, я!. а) 11айти Мэ(п 3, М сов 5, 0 э(п 5, Осовев. б) Найти М ып "ь, М соэ '5 при любом целом й ~ 1 и асимптотику М э(п "5, М соэ "э при я- 3.83'. Случайная величина 5 равномерно распределена на отрезке (О, я]. а) Найти Мэ!п3, Мсоэ5, Оып(:„Осоэ5. б) Найти М э)п "$, Мсоз "$ при любом целом й Р-1 и их аснмптотпкн при Й вЂ” а. 3.84'. Плотность совместного распределения случай- пых величин $>, $з определяется равенствами рз«т,(и, ») = 2 ,, при из+от~1 к р> л (и, и) = 0 в осталья (и + зз)з ных случаях. Найти М )~ ~> + за. 3.85'. Случайная величина 3 имеет показательное рас- пределение: РЦ > х) =е-* прн х ~ О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
