А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Найти вероятность того, что впервые «б» появляется при й-м бросании, /« — 1,2,3,... 274'. Двое по очереди бросают монету. Выигрывает тот, кто первым получит «герб». Найти вероятности событий: а) игра закончится до 4-го бросания; б) выиграет начавший игру (переый игрок); в) выиграет второй игрок, 2.75. В схеме Бернулли р — вероятность исхода 1 я д = 1 — р — вероятность исхода О. Найти вероятность того, что цепочка 00, состоя»цая пз двух нулей подряд, появится раньше цепочки 01. Б частности, вычислить вту вероятность при р 1/2. 2.76.
Пусть выполнены условия задачи 2,75. Найти вероятность того, что цепочка 00 (дзз пуля подряд) появится раньше цепочки 10, В частности, вычислить зту вероятность при р 1/2. 277. Пусть выполнепы условия задачи 2.75, Найги вероятность Роояп того, что цепочка ОО появится раньше цепочки 111. В частности, вычислить зту вероятность при р = 1/2. 2.78. Движением частицы по целым тачкам прямой управляет схема Бернулли с вероятностью р исхода 1: если в данном испытаняя схемы Бернулли появилась 1, то частица из своего полон»епяя переходит в правую соседяюю точку, а в противном случае — в левую.
Найти вероятность того, что за а шагов частица пз точки 0 перейдет в точку т. й 5. Полиномиалькая схема 2.79'. Отрезок (О, 10) тачками 1, 2, 3, 4, 7 разделен на 4 отрезка длины 1 и 2 отрезка длины 3. Пусть 4ь ..., А» — незаакспмые случайные точки, имеющие равномерное распределение на отрезке (О, 10). Какова ве- 43 роятность того, что нз атих точек в два каких-либо отрезка длиной 1 попадет по 2 точки, а в каждый из оставшихся отрезков — по одной точкег' 2.80. Прн прохождении одного порога байдарка не получает повреждений с вероятностью р<, полностью ломается с вероятностью рь получает серьезное повреждение с вероятностью рв (р<+рв+рз=-1). Два серьезных повреждения приводят к полной поломке.
Найти вероятность того, что прн прохождении и порогов байдарка пе будет полностью сломана, 2.81. Сообщения,. передаваемые по каналу связи, составляются нз трех знаков А, В, С. Из-за помех каждый анан принимается правильно с вероятностью 0,6 и принимается ошибочно за любой из двух других знаков с вероятностью 0,2. Для увеличения вероятности правиль ного приема каждый анак передается 5 раз. За передан нын знак принимается знак, который чаще всего встречается в принятой пятерке знаков.
Если наиболее частьгх знака два, то иа них выбирается равновероятно один. Найти вероятность правильного приема знака при ука ванном способе передачи, 2.82. Пусть с,< — число появлений исхода г в и первых испытаниях полпномиальной схемы (см. введение к гл. 2). Найти Р($„< -тг). 2.83. В схеме, описанной в задаче 2.82, найти услов ную вероятность Р(ь,в гав< ' < яп, к лг )ь,< гпг) 2.84. В <)г ячейках, разбитых иа две группы по <«'г и дГв ячеек соответственно (<к<+ <Чв - <в<), независимо одну от другой раамешают и частиц; пусть ро (1 1, 2; 1 1, 2, ..., <г',) — вероятность попадания частицы в 1-ю <к ячейку Г-гг группы, а г) — число частиц, попавших в 1-ю ячейку г-й группы после размещенная частиц.
Найт<и а) Р (г)«',"' г<я г 1, 2, 1 1,, Л'), б) Р(Чл + ° ° ° + Чьг< = "а)< в) Р(т)п = ггг<< ) = 1, ...,<г',~т)ы+ ... + ц,в< = ив), 2.85. В Л' ячейках независимо размещают и частиц. Верон гность попадания каждой частицы в б-ю ячейку равна 1/)«', 1= 1, 2, ..., )г'. Обозначггм (го(и, М) чис ло ячеек, оставшихся пустыми, Найти Р (Ра(п, гу) <т). 2.86. Игральную кость бросают до первого появления на яей меньше пяти очков. Какова вероятность получить прн последнем бросании не меньше двух очковУ 4 ь, и, зубков в аР, г'<9 2.87. Исходы Ои Оа, ... последовательиости испытаний с М = 3 возможными исходами 1, 2, 3 и вероятяостямп исходов рь ра, рв объедикязотся в тройки (Овз+н Озз»а, Ов»«з). Из первой тройки (Оз,+и 9»+а, Ом+в), в которой все исходы различны, выбирается 6»+ь Найти Р(6»,«в = В. 2.88.
Испытания в полипомиальяой схеме с исходами 1, 2, 3, иввеаощими верояткости рь ра, рз соответственно, закакчиваются, когда впервые пе появится исход 3. Най ти вероятпость того, что испытакия закокчатся исхо дом 1. 2.89. Игрок А подбрасывает 3 игральные кости, а иг рок  — 2 кости. Эти испытаяия ояи проводят вместе и последовательно до первого выпадения «6» хотя бы па одпой кости. Найти вероятности событий: а) А = (впервые «6» появилось у игрока А, а ке В); о) В = (впервые «6» появилось у игрока В, а пе А); в) С = (впервые «6» появилось одновременно у А и В).
Глава 3 СЛУЧАИНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Нусть задана вероятиостяое пространства ((в, Ф, Р). Случайной величиной иазывается действительная функция от элементарного события $ $(ю), ы и(), для которой при любом действительном х множество (ио $(ю)< х) прииадлсжит Ф (т. е. является событием) и для него определеяа вероятность Р(ан в(ы)~х), ааписываемая кратко РЦ~х). Эта вероятность, рассматриваемая как функция х, пазывается функцией распределения случайной величины $ и обозначается обычно либо г"в(х), либо с(х) (иногда фуккцией распределсиив называют вероятяость РЦ ( х)). С помопаью функции распределекия г'в(х) заоявяо одяозвачпо определить вероаткости Р($ ви В) для борелевских множеств В яа числовой прямой (определеяие борелевских множеств см.
в (5], с. 32, или в (2), с. 28 — 29). В частпости, борелевскими множествами явля»отса интервалы вида (хь ха], (хи ха), [хи ха), (хи ха), их кояечпые и счетные суммы. Вероятность Р($«и В), рассматриваемая как функция от борелевского множества В, казывается распределением вероятностей случайной вели гипы $ и ео обозначается Рг(В). Иногда Р;(В) называют законом распределения случайной величины ~~ нлн просто распределением $. Таким образом, распределение вероятностей Р~(В) можно аадать функцией распределения Е~(х). Важным классом распределений вероятностей являются абсолютно непрерывные распределения, аадаваемые плотностью вероятности р:-(х) = р(х), т. е.
такой неотрицательной функцией р(х), что для л1обого борелевского мйожества В Р Д ен В) = ) р (х) дх; в общем случае рассматривается интеграл Лебега, который совпадает с интегралом Рнман» (собственным или несобственным), если последний существует. Другой класс составляют дискретные распределения, задаваемые конечным нлн счетным набором вероятностей РЦ = ха), для которых Х Р (« = хз) = 1 Функция распределения р~(х) в этом случае ступенчатая и задаетси суммой «'т(х) = 2~ Р(1= хз).
и хзк« Ясли распределение случайной величины абсолютно не-. прерывно или дискретно, то говорят также, что сама слу- чайная величина нли ее функция распределения соответ ственно абсолютно непрерывны нли дискретны. Пример 3.1. Пусть точка А =(и, о) равномерно распределена в квадрате 1з =- ((и, о): 0 < и < 1, 0 ( о ч ( 1) (см. формулу (1.8) нз введения к гл. 1). Положим в1=$1(и, о)=и, -! 1 при и «о, 5 = з, (и, п) = — 1 при и~ г.
Найти: а) функцию распределения и плотность распределения вероятностей случайной величины й~,' б) функ цню распределения н вероятности значений дискретной Величины аз. Решенно. Событие ($~ <х) ((и, о): и~х, (и,п)ю ~и й) при х 1 совпадает с И, а при х с Π— с И, При О(х ( 1 множество точек, определяющих событие ($~ я„"х), образует прямоугольник со сторонами 1 и х. 4з 51 Таким образом, 0 при х(0, Р1 (х) = Р($д(х) = х при 0(х(1г при х' «1. Производная г (х) в ее точках непрерывности совпада- 1 ет с плотностью распределения: ( 0 при хф (О 1)г п) (О, 1).
Функция распределения $г находится аналогично. Если х~1, то ($г<х) (); ($1<х) И при х<-1, а прн — 1<х<1 Цг<х) =((и, о): и<о, (и, о)гнИ. Значит, 0 У"ь (х) = Р ($г~~х) 1~2 1 при х( — 1, при — 1( х(1„ прн:с' -1. Случайная величина Ьг днскретна; ее распределение сосредоточено в двух точках: -1 и 1. Действительно, РЦг = 1) =- Р((и, о): и ) и, (и, о)ы Й) = 1/2, РЦг = — 1) = Р((и, о): и < о, (и, о) ы О) = 1/2. А В задачах обычно говорится о случайной величине $ и о ее распределения Рг( ) без явного указания того вероятностного пространства, на котором она определена.
Зто означает, что соответствующее утверждение или вычисление справедливо для любого вероятностного пространства ((г, .~е, Р), на котором монгно определить случайную величину Ь = $(а) с ааданным распределением Рг( ); в частности, таким вероятностным пространством можно считать (Л, Я, Рг), где В (х) — числовая прямая, Я вЂ” борелевская о-алгебра ее подмножеств, Рг— распределепне вероятностей случайной величины $, которая задается функцией с(х) = х.
Если на одном и том же вероятностном пространстве (Й, лз, Р) определены случайные величины ьь ьг, ° , $„ то иногда говорят,что задан случайный вектор с =(Ь1..., $,). Многомерной функцией распределения (или совместной функцией распределения) ~н $г, ..., $, называется вероятность Р($1-= хь ..., $, < х,), рассматривае- 52 мая как функция от точки х =(хь ..., х„) г-мерного евклидова пространства Л" и обоаначаемая Е;,, д„(х„... ..., х„) (кратко г>(х)) или Г(х>, ..., х,) (кратко г'(х)). С помощью функции распределения однозначно определяются вероятности РЦ >иВ) для г-мерных борелевскнх множеств В. Функция множеств Р>(В)=Р($>иВ) называется г-мерным распределе>сием вероятностей $. Абсолютно непрерывное гмерное распределение вероятностей аадается г-мерной плотностью рт(х) = рт (х>, ..., х~), з>""л т.
е. такой неотрицательной функцией р>(х), что для любого боредевского множества В ~= В" Р Д ~ В) = [ ... 1 р (х„..., х„) т(х> ... >(х„. в Дискретное г-мерное распределение задается с помощью конечного нли счетного набора вероятностей Р(з=х(й)), х(й)~Л", так что для любого борелевского множества В Р Д ен В) = ~ Р Д = х ()т)). юмюее П р и м е р 3.2. Найти распределение величины =-К, где случайная величина $> та же, что.в приме- ре ЗА. Решение, Функция распределения ц при О~х<1 определяется следующей цепочкой равенств: В.(.)= (ц~ )= а;<.)= [-) х==~,~У.)- =-- р,,()у'*) — рз,( — )у.) = )~*, Очевидно, что Р„(х)=0 прн х~О и Р,(х) 1 при х~1. При 0 х.С1 рч(х) = р; ( М ..) = — '; 2 )>>х р„(х)=0 при х( 0 и при х) 1.
Таким образом, величи- на ц абсолютно непрерывна и ее плотность распределе- ния определяется формулой рт(х) = 1/(2Ух) прн х>и(0, Ц, р,(х)=0 при хй(0, 1), >ь Прям ер З.З. Случайпан величина $ имеет плот- ность распределения р:(х) е " (х) 0), рз(х) =0 (х ~ ~ 0), Найти распределение случайной величины = т)(ф) = [Цз, где [з) обозначает целу>о часть з. Я Решение. Так как (О йз) «(я е$<)е+1), то вероятность Р(Ч = /е') определяется равенствами Р(О = й') Р(й $~й+ 1)- ьы а+1 ) р (л)Ил= ~ е "дл=е ~(1 — е '), й=0,1,2,,„ А При и е р 3.4. Случайная величина $~ принимает аначения 0 и 1, а случайная величина $з — значения — 1, 0 и 1. Вероятности Р($1 1, $з=/) аадаются следуюшей таблицей: М 1/16 ив 1/4 Найти распределение случайной величины ц = $4з Решение. Произведение $4з равно нулю, если равен нулю хотя бы один из сомножителей: ,(ц 0) = ($~ О, $з -1) 0 О ($~ — $з = О) О ($1 = О, $з 1) О ($у = 1, $з = О); Отсюда 1 1 1 $5 Р(ц-О) — — + — +-+ — - —.
$8 4 46 4 В' Оставшиеся два значения (1, — 1) и (1, 1)' пары величин ($1 $з) приводят к двум значениям ц: — 1 и 1. Следователько, Р(ц = -1) 1/16, Р(т~ = 1) = 5/16. Таким образом, величина ц дискретна; ее распределение сосредоточено на значениях -1, О, 1, н вероятности зтнх значений равны соответственно 1/16, 5/8, 5/16.
а Если е-мерный случайный вектор 0 ° д($) есть функция от г-мерного случайного вектора $, т. е. л($ь . „$), В=1, ..., е, д( ) (я1( ), ..., 6( )), то Р(О ю В) Р($ = д 1(В) ), (3.1) где д-1(В) — прообраз борелевского мяоязестез В прн отображении е. В частности, если г =а =1, а функция 64 у у(х) непрерывна н строго возрастает, то г„(у)= рь(у-~(у)). Если, кроме того. у(х) дифферепннруема и распределение $ имеет плотность р,(х), то распредоление и имеет плотность Рч0) Рс Ю ~ (У)) -гМ Если г г, отображейпе у=у(х) ваапмпо однозначно и в (вт' ' ' ' ' с") якобнан Вв(х) = пе обращается в нуль, то д (с .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
