А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 5
Текст из файла (страница 5)
1.81. Однородный прямой круговой конус с высотой Ь и радиусом основания г случайно бросается на гориаонтальную плоскость. а) Найти вероятность того, что он упадет на основание; б) вычислить эту вероятность при г = Ь; в) при каком отношении г/Й эта вероятность равна 1/4? 1.82, Однородное тело, ограниченное сферой и плоскостью, проходящей через центр сферы (полушар), случайно бросается на горизонтальную плоскость. Найти вероятность того, что полушар упадет на плоскую часть своей границы.
1.83. Длинный однородный орус прямоугольного поперечпого сечения размера аХ Ь, Ь > а, случайно бросается на горизонтальную плоскость так, что его ось параллельна етой плоскости, а угол поворота относительно этой оси равномерно распределен в (О, 2л». Най. ти вероятность того, что он упадет на более широку<о грань. 1.84*. На плоскости проведено и окружностей Яп ... ..., 5„с обгцвм центром О; радиус окружности Ь"„равен Й (й 1, 2...„и), Случайная точка А имеет равномерное распределение в круге, ограниченном окружностью Я.; АВС вЂ” правильный треугольник, одной из вершин которого является А, а центром — точка О. Найти веровтность Р того, что граница треугольника АВС пересекает ровно лг окружностей, лг ° О, 1, ..., и.
1.85. Найти вероятность Р„того, что случайная точка 5 * $„..., $,), имеющая равномерное распределение в и-мерзок кубе К„= ((хм ..., хз) ~ Л": шах ! х;! ~(1), «<м прнпадлежнт и-мерному шару В, ((х„..., хз) еБ й: х1 + ... + х„'~~1), вписанному в К„, Ьычнслить Р„для п = 2, 3, 10, 20. Глава 2 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТАНИИ В построении математическом модели последователь. ности испытаний важную роль играют попятив независимости событий и условной веронтпости.
Условиал вероятность Р(В)А) события В прн условии, что событие А произошло, определяется формулой Р(В!А) = — '~, Р(А) >О. (2.1) Это равенство может быть записано в ниде «теоремы умножения» Р(АВ) = Р(А) Р(В! А ). (2 2)' Обобщением (2.2) является формула Р(А~Аз...А )= Р(А~)Р(Аз(А1)Р(Аз)А~Аз) ° .* ... Р(з! !А~Аз... А -~). (23) Равенство Р(В!А) = Р(В] (2.4) естественно интерпретировать как независимость события В от А, В качестве определения независимости двух. событий А и В принимается более симметричное условие Р (АВ) =- Р(А) Р(В), (2.5) эквивалентное (2.4), если Р(А) ) О.
Из (2,5) следует независимость (см. задачу 2А8) еще трех пар событий: зб зз 'Л и В, А и В, А и В. События Аь Аз, ..., Л„порываются взаимно пезавиеимьизи (или незовиеимььми е созокузе ности, или просто независимыми), если для всех комбипацпи нпдексоз 1 ~ ь1(зз(... (зь ~ л (1= 2, ..., л) пмеем Р(Аз А, ... А, ) == Р(А, )Р(А, ) ..
Р(ЛН). (26) Если (2.6) зыполняетсн только прн й = 2, то события Аь ..., А„ваэывают локарно независимыми; о связи попарпой и взаимной независимости см. аадачи 2.22 и 2.23. Многие важные модело серии опытов со случайными исходами часто оппсывазотся либо условными вероятностями, либо предположением ьь о пезавпспмости исходов различных опытов и зада- л,ж пнем безусловных вероятностей исходов. В таких слу- „",ззу чаях по формулам (2.3) илн ~А (2.6) можно, используя заданные условные вероят- 6'ь т ности пли независимость, ез вычислить вероятности эле- ьвсз ментарных событий.
П р и м е р 2.1. Возмож- Рие. 3 ные превращения радиоактивного ядра палладпя ",'ьрд можно представить в виде графа, приведенного на рис. 3. В обозначениях ядер нижний индекс равен числу протонов в ядре, верхний индекс — сумме числа протонов и числа нейтронов. Буква лз в верхнем индексе означает возбуязденное состояние ядра.
Дугами обозначены возможные превращения ядер; рядом с дугами указаны вероятпости соответствующих превращений. Найти вероятность того, что ядро палладил ",зьР6 пРевРатнтсл в ЯдРо кадмиЯ ~ь~зС4. Решение. Обозначим А н Аз, Аз сооытия, состоящие в том, что в превращениях участвовали ядра,'зро, 1И ыь яь „,Ак, 4зСо. Тогда условия задачи можно записать в виде Р(А~) 1, Р(Аз~А~)=073, Р(Аз!А~Аз) -0915. Нужно найти р Р(А~АзАз).
По формуле (2.3) находим р = Р(А~)Р(Аз)Аз)Р(Аз~А~Аз) = 073 ° 0 915 = 0 66795. ь Схема случайного выбора беэ возвршцепия (см. гл. 1) естественно определяется в терминах условных вероятностей; если известен результат первых к испытаний, то 27 при (й+ 1)'-м испытании с равными вероятпостямн может появиться лгобой нз оставшихся злементое.
Модель слу- чайного выбора, сформулированная е терминах условных вероятностей, совпадает с определением из гл. 1. В тер- минах пеааеиспмостн и равновероятности результатов от- дельных испытаний может быть описана и схема случай- ного выбора с возвращением; определенная е гл. 1. П р имер 2.2.
Иа урны, содержащей 3 белых н 2 чер- ных шара, по схеме случайного выбора без возвращенка последовательно извлекаются шары, Найтп вероятность р, того, что черный шар впервые появится прн )с-м испы- тании (й — 1, 2, 3, 4). Решение. Обозначим С~ событие, состоящее в том, что в бм испытания появился черный шар.
Тогда со- бытия В„= (впервые черный шар появился при й-м испытании), й = 1, 2, 3, 4, можно выразить через С, и Са В~ См Вз С~Се Вз = С~СхСз~ В4 616зСзС», По формуле (2.3) Р(В~)=Р(С~)', Р(Вз)=Р(С1)Р(Сз(С~)', Р(В,)- Р(С,) Р(СЖ) Р(Сз(С,Сз), Р(Вз) Р(С1)Р(Сз(С1)Р(Сз(С1Се)Р(С (С1СзСз) ° По классическому определению вероятности 2 — 3 — — 3 — 1 Р(Сг) —, Р(Сх) = 3, Р(С;+~)С, ... С;) Р(С+!С,... С)= ~,, з 123. В результате получим р -Р(В ,) — — 0,4, р, Р (В,) — — 0,3 2 3 2 3 2 2 р,-Р(В) = —. —,— б,г„ 3 2 х 2 = Р(В) ~.. 3 —, — О1.
5 З 3 2 Дадим определение последовательности испытаний. Пусть йп=((!ь !з, ..., ! ): 1„ш(1, 2,, %), 3=-1, 2, ..., и). (2.7) 28 Элементарное событие «) (11, 1з, ..., 1„) интерпретируется как цепочка исходов в и последовательных испытаниях, каждое из которых имеет )г' несовместных исходов: 1, 2, ..., У. Если положить (~) = ~, Р! р Р,„р,),..,1„, Ю !!=1 1, !н (1, ..., Ж), 1 ( Й ге), то на подмножествах множества 0 однозначно определяется веронтность Р(А) = ~,' Р(ю), А с=О„. Построенное вероятностное пространство является мате- матической моделью последовательяости я испытаний.
Последовательностью независимых однородных испы- таний является частный случай приведенной общей мо- дели, в которой формулу (2.8) надо заменить формулой Р(ы) = р! р, ... р, (1ье= (1,..., йг), 1:с й~~н)х (2.9) где р)+рз+...+р„=1, р,~О, 1=1, 2, ..., У. Определение последовательности независимых испы- таний маятно дать в форме произведения вероятностных 'пространств. Положим 1)е (1, 2, ..., )!); тогда Я„в (2.7) можно записать в виде и„=а„Х и, Х ... Ха,=а," и длн любого А =А)ХЛзХ...ХА, где Аь ..., А ~()е, имеем Р(Л ) = Р(А)) Р(Ле)... Р(А„). Здесь Р(ЛО = р + р! + ... + рг,еслн Л! —— (!), 1з,...,1,). Обозяачим А';,) событие, состоящее в том, что в 1-м (!) испытании наступил исход !.
В модели (2.7), (2.8) Р(А"))А")А")... А)! 1 ! .. ) р а в модели (2.7), (2,9) (Л',",Л'"Л"'... Л'-"1 — ., )! 1 1, !! ° ° )! 11 = Р!!' Обозначим Ве,. событие, состонщее в том, что в 1-м !) испытании исход принадлежит множеству Я! = (11, ... ..., 1)„! ). Для независимых испытаний события Вз, )1) 29 ° з,, ° °, йе„являются взаимно независимыми при лю. .бом выборе Яь . '., Я„.
Если в (2.8) положить р р(0)0, ри1+... $у)й„..л~, ц° ° ° + рф = 1, то получится последовательность независимых (неоднородных) испытаний, в которых вероятности исходов аависят от номера испытаний (ко не от реаультатов предыдущих испытаний). Вероятностную модель, определенную формулами (2.7), (2.9), называют также полиномиальной схемой. Обозначим через ~„, число появлений исхода 1 в и испытаниях полиномиальной схемы. При решении задач полезна формула Р6, =т,6., = „...$л -тн)- где т,)0 (1=1, 2, ..., Ж) целые и п-т~+тт+'..; ...+т . Последовательность исходов полнномнальной схемы с гч =10, в каждом испытании которой каждый из исходоа О, 1, 2, ..., 9 появляется с вероятностью 1/10, нааывают случайнъьки числами.
Пример 2.3. Найти вероятность того, что среди 10 однозначных случайных чисел ровно 4 четных числа и 2 нечетных числа, кратных 3. Р е ш е н и е. Однозначное случайное число четно с ве- 5 1 роятностью р, — = — печатно и кратно 3 с вероятте В' в г пастью р, = — = —. Вероятность остальных исходов 10 5' в ра = 1 — р, — р, = 10. Если $1 — число четных чисел среди 10 случайных чисел, $т — число нечетных чисел, вратных 3, то число остальных чисел фе= 10 — $~ — $е, и по формуле (210) с И = и =10 находим Р Д, = 4, $„=- 2) = Р (~, = 4, $е = 2, $,-'=',4) = 4 45 4 Я (~) ~р) 0,083782...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
