А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 2
Текст из файла (страница 2)
ни 5[[и' = М (Л' — 1)...(М вЂ” п + 1). Упорядоченныэ цепочки ач а, ... а,„, ооразованныз из различных элементов Л', называют раэмещенияэ[и. (Раамещениями являются, в частности, элементарные события [» =([н ..., [,) в схеме случайного выбора беэ возвращения (1.4). Число размещений иэ Д[ элементов по и, т.
е. число различных упорядоченных цепочек длины и из Д[ элементов Л', обозначают Ля. Для Ай имеем формулу Лн = М[" [. Размещения с н — )ч' называют перестановками. Число различных перестановок, образованных из Ж элементов, равно М! При мер 1.2. В урне лежат пять карточек, занумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5. По схеме случайного выбора с возвращением нз урны трижды вынимается карточка. Какова вероятность того, что ровно в двух случаях из трех будут вынуты карточки с нечетными помереми? Р е ш е н и е. Вероятностная схеме определяется формулой (1.3) с М 5, п 3; элементарное событие ю (1„[т, [з) соответствует номерам вынутых карточек. Так как 1[, [т, [зж(1, 2, 3, 4, 5), то существует ровно 5 5 5 5э = 125 различных элементарных событий ю =([[, (и [э)ж Я.
Значит, !й! 5э= 125. Далее, В (ровно в двух случаях из трех'вынимаются карточки с нечетными номерами) =-([з =([п [г, [а)ы Й: ровно одно нз чисел [[, [и [з четное) = В[ [[ Вт 0 Вэ, где события В„([е =([~, [з, [з)'ж ьз; число [, четное, а остальные два числа нечетные), й=1, 2, 3, попарно не пересекаютсн. При любом й = 1, 2, 3 число различных [э ([и [и 4)жВ, равно 2 ° 3 ° 3=18 (й-ю карточку можно выбрать двумя способами, а каждую из двух остальных — тремя), Поэтому )В! — !В[ [[Вэ О Вз! = !В[! + + (Вэ! + )Вэ! = 3 18 54 и р (В) = 1 — — = О 432, (в! эе ТЩ 125 А Пример 1.3. Найти вероятность того жв события, что в примере 1.2, для схемы выбора без возвращения, Ре п«е ни е. Вероятностная схема определяется формулой (1.4) с М 5, и-3. В отличие от примера 1,2 элементарные сооытия ь« =(««, «т, «е) являются теперь размещениями, т.
е.)П( А 5 4 3 60. Используя те «ке обозначения, что з примере 1.2, находим, что В В«ИВ«0Вз, В„ПВ«Я«при ЙФ1, и что)В,( А,' ° А«232 12 при любом й 1, 2, 3 (й-ю карточку можно выбрать А', 2 способами, а пару остальных — А', 3 2 способамн). Поэтому теперь ( В ! ) В«) + ) Вз(+ ) В,) = 3 12- 36 и Р(В) = — —, 0,6. «««~ зс ) $2! нн а Часто оказывается полезной следу«ощая класснче. окая формула, известная как уточненная формула Стирлинга (см. (1Ц, т. 1, с. 73, (9.15)): ет~ и) $~2ли и"е-"е"", В формулировках некоторых задач используется выражение: «целое число а сравнимо с целым числом Ь ао модулю тэ (т — целое), нли, в символической записи, ан Ь(шо«1 т).
(1.7) Сравнение (1.7) эквивалентно утверждению: существует такое целое число 1, что а — Ь = 1«и (т. е. а н Ь при делении на т дают одинаковыв остатки). В частности, запись а аз 0 (шо«( т) означает, что а делится беа остатка на т. Целую часть действительного числа х (наибольшее целое число, не превосходящее х) будем обозначать [х), Рассмотрим второй класс вероятностных пространств (ье; М, Р). Пусть ье — множество в и-мерном евклидовом пространстве, объем 1«(П) которого поло«кителен и конечен; о-алгебра «й состоит из всех измеримых (т.
е. имеющих объем) подмножеств А «х И. Вероятность Р оп. ределяется равенством Р(л«А и Ф (1.8) Определение вероятности (1.8) называют зеометричв. скин определением вероятности. Пример 1.4. Коля и Петя договорились встретить- ся па остановке автобуса между 9 и 10 часами. Каждый, придя ва остановку, хсдет другого 15 минут, з потом уходит. Найти вероятпость встречи Колк и Пети, пред полагая, что моменты пх пря- о хода авляютсп координатамв зочки, имеющей равпомерпае распределепие в квадрате [9, 10) Х[9, 10), Решение. Пусть Коля приходит на остановку в 9 ч и мип, а Петя — в 9 ч.
о мкп. В качестве множества злемептарпых событий выберем й-((и, о): 0( и~60, 0 < о < 60). Приведем формулы, которые часто используются при решении задач, Пусть А обоаначает событие, противоположное событию А. Для любых событий Ан Аи ... имеем ([ Ао- П Аа» П Ап- 0 Ач (19) »» х»» 1»» 1 »» х При любых А и В верна формула Р(А О В) Р(А)+ Р(В) — Р(А и В), в частности, при А О В )З) имеем Р(А О в) Р(А)+ Р(в). (1ЛО) (1.11) И Тогда событие А = (встреча Коли и Пети происходит) соответствует множеству А ((и, о): )и — о)-"=15, О~и~60, 0<осЯ60)~Я, иаображеппому па рис. 1.
Так как )х (а) 60 Р (А) 60 45 60 ф ~ 4 ) ) те 60 то по формуле (1.8) находим Р (А) В (А) 60 708 7 и и(и) зоз,тс ' м Пгроятюн'ть обзз1дип< ивя произвольных и событий находи ~гя ио 4(юрззуло Р (А, () А, () . „() А„) =,", Р (Аз) ч' Р (Азт П Аз )+ л з злз (А,зз + Х Р(Аз, ПАз,П Аз,) —, ° з~зз~зз~"г~» ... + ( — 1)" 'Р(А, П А„П ... ПАз) = з Х ( — 1)~ з ~ Р(Аз П ... ПАз,). (1,12) з-з ззз,~...~з~зи П р и м е р 1.5. Четыре поздравительных открытки случайно разложеяы по четырем копвертам с адресами, Найти вероятность того, что хотя бы одна открытка попала в свой конверт. Р е гп е н и е.
Множество элементарных событий й состоит из всех расположений открыток по конвертам: (зз! = 4! = 24. Событие А =(хотя бы одна открытка попала в свой конверт) можно представить в виде А А~ Б Аз() Аз О Аз, где А~= 0-я открытка попала в свой конверт). По классическому определению вероятности З1 ~ г! Р(Аз)= 4! 4, (А1ПАз) — ы Р(4з ПАз П.4з) Р(4з П 4з П.4зП.4,) = —, Нетрудно проверить, что пря любых попарно различ.
ных 1, 1, Й Р(Аз) Р(Аз) т Р(АПАз) = Р(АзПАз) Р(А,ПА;П Аз) Р(А, П А, ПА ) = —,-, Не формуле (1Л2) находим Р (Аз 0 Аз 0 Аз () Аз) з ~ з т з т 5 4 —,— С, — „+С вЂ”.— С, —, 4 12 ' 24 ' 24 В ' Во всех задачах 3 1 давпой главы предполагается, что элементарные события равновероятны; слова «слу- 12 чайное», «случайно выбирается» нужно понимать кзк предположение о равиоверояткости элементарных событии. В т 2 выражение «точка равномерно распределена па множестве Й» означает, что вероятности нужно вычислять по формуле (1.8). й 1.
Классическое определение вероятности 1.1'. Иа ящика, содержащего три билета с номерами 1, 2, 3, вынимают по одному все билеты. Предполагает- ся, что все последовательности номеров билетов имеют одинаковые вероятности. Найти вероятность того, что хотя бы у одного билета порядковый номер совладает с собственным. 1.2'. Колода из 36 карт хорошо перемешана (т.
е. все возможные расположения карт равновероятны). Найти вероятности событий; А (четыре туза расположены рядом), В = (места распевал«ения тузон образуют арифметическую прогрессию с шагом 7). 1.3. На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится трехтомникА.С, Пуш- кина. Найти вероятность того, что зти тома стоят в по- рядке возрастания слева направо (но не обязательно рядом). 1Х. Брошено трн монеты.
Предполагая, что элемен- тарные события равновероятны, найти вероятности событий: А = (первая монета выпала «гербом» вверх), В (выпало ровно два «герба»), С (выпало не больше двух «гербов»), 1,5'. Из множества всех последовательностей длины я,состоящих нз цифр О, 1, 2, случайно выбирается одна. Найти вероятности событий: А (последовательность начинается с 0), В = (последователькость содержит ровно и»+ 2 ну ля, причем 2 нз них находятся на концах последовательности), С = (последовательность содержит ровно ш единиц), й (в последовательности ровно я»с нулей, я»~ единиц, и»» двоек).
тз 1.8', Из 28 костей домино случайно выбираются две. Найти вероятность Рз того, что из пнх можно составить «цепочку» согласно правилам игры. 1,7", В записанном телефонном номере 135 — 3.—.. три последние цифры стерлись. В предположении, что все комбинации трех стерптихся цифр равновероятны, найти вероятности собьггни: А = (стерлись различные цифры, отличяые от 1, 3, б), В (стерлись одинаковые цифры), С = (две иа стергнихся цифр совпадают). 1.8'. Какова вероятность того, что четырехзпачпый номер случайно взятого автомобиля в болыпом городе: а) имеет все цифры разные? б) имеет только две одинаковые цифры? в) имеет две пары одннаковых цифр? г) имеет только три одинаковые цифры? д) имев~ все цифры одинаковые? 1.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
