А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 6
Текст из файла (страница 6)
л' Частный случай полипомиальной схемы с У 2 навывэют схемой Бернулли. Нияге два исхода каждого иснытания в схеме Бернулли будем обозначать символами 1 и О или называть успехом и неудачей, а соответствующие им веронтности — буквами р и о 1 — р. Если р— 80 число успехов (или число единиц) в и испытаниях Бернулли, то Р (р„т) = Р„(т, р) = С„р™е" '", т - О, 1, ...,и. (2.11) Пример 2А. Проводится и независимых опытов, состоящих в одновременном подбрасывании й монет. Вычислить вероятности событий: А =(хотя бы один раз все й монет выпали гербамн), В = (ровно т раз все й монет выпали гербами). Решение. Появление й гербов в одном опыте будем 1 называть успехом.
Вероятность успеха р,— „. Проще вычислить вероятность противоположного события Я- (аа и испытаний все й монет ни разу одновременно не выпали гербами). Положим С~ (в 1-м испытании произошел успехЕ Тогда А = С~Се...С„, и по формуле (2.6) находим и Р (А) П Р (С~) (1 — ' 1=1 2~! Для вычисления Р (Л) можно было также воспользо- 1 ваться формулой (2.11), положив в ней т = О, р= —, т 1 — —.
Таким образом 2ы Р(А) =1 — Р(А) =1 — ~1 — ф". Вероятность события В определяем по формуле (2.11)~ Р(В)-С„н ~1 — — ~ ,„и„~~ ~ Л„М- ЛПпз Р()г„т) Пю С~~~ — ") (1 — — ") —,е ~е В~4 "~н~ ~ н) ед т = О, 1, 2, ... (2 12) 31 Если в формуле (2А1) параметр р р„=Л /и, где Л - Л (О(Л <») при и-, то согласно теореме Пу- ассона Правая часть формулы (212) используется в приложениях как приближенное значение вероятности Р()х„ = т) при больших значениях и и малых значениях р. Известно (см.
(2), с, 124, теорема 9), что при любом множестве В ~(0, 1, 2... ) (зто монзно вывести также нз задачи 4107, см. гл. 4)'. Пример 2.5. В партии из и = 200 изделий каясдое изделие незавцснмо от остальных мояэет быть бракованным с вероятностью р = 0,01. Оцепить вероятность того, что число р„бракованных изделвй в этой партии равно трем.
Р е ш е н и е. Величина нрэ = 0,02 мала. В качестве приближенного значения искомой вероятности можно использовать предельное значение в (2.12) (теорему Пуассока) с Х = яр 2: Р(р„= 3) ж"— е '.По табл. 3 (с. 308) 31 находим числовое значение: Р(9„, = 3) ж 0,18045 . Точное значение вероятности можно найти по формуле (2.11): Р (р„= 3) С1оо(0 01)э (О 99)мо = 0 181355 Приведем формулировки двух теорем Муавра— Лапласа. Локальная теорема. Если и-, р=сопв1, 0(р(1, 0(с,(хь = — '" "Е =сэ с со, то Ь' рв Р(р~ = ш) = охр — — ".' ~11 + 0(= )) (2,13) равномерно но вначенилтв х„ш(сь сэ).
Интегральная теорема. Если и-, р сопв1, 0(р<1, то Р хт( " (х,~ — ~= ) е " йи (2.14) )/нрв )/2н равномерно оо хн хэ (-сс ~ х| ~ хэ -'6 '). Правые часта формул (2.13) и (2.14) дают хорошее приближение, когда и достаточно велико, а р и д не очень близки к нулю. Часто нормальным приближением пользуются прп нрд ~ 20. Ошибка при использовании 32 нормального приблиллления может увеличиваться из-за дискретности допредельного распределения (см. задачи 2.61, 2.62). Эта ошибка имеет порядок 0(ЦУпру). Приведенные замечания очень приблинленны и носят скорее качественный характер. Предельное выранление в (2.14) легко можно выра вить через значения одной пз функций Для вычисления предельных выражении в (2.12)' и (2.14) моя но использовать табл. 3 и 1. В качестве примера, иллюстрирующего использование интегральной теоремы, рассмотрим пример 2.5 с изаленено ными значениями параметров.
Пример 2.6. В партии нз и = 22500 изделий, каж дое изделие независимо от других может быть браковаи« ным с вероятностью р = 1/5. Найти вероятность того, что число лл„бракованньлх изделий закллочено между 4380 и 4560. Р е ш е н и е. Значение пру = 3600 велико, поэтому можно воспользоватьсн нормальным приближением (2.14). Вычтем лр = 4500 из трех частей неравенства 4380 с 1л.с 4560 и лшлучнвшееся неравенство поделим почленно на Упрл7 = 60: р арт Используя (2.14), получим л „а Р (4380с 6„~4560) = Р( — 2< " С 1~ж= ) е ' лЬ. р'сюра ~ р вл / 'Гак как ол а о = ) г ' л)х= = ) е" г)х+ — ) е " л)х=Фа(1)+Фа(2)а — =-„,— о„) .),2 — ) — а 2 о о то (см.
таол. 1, с. 306 — 307). Р(4380 с лл„с 4560) = 0,3413 + 0,4772 = 0,8185. н Иногда в задачах требуется указать отрезок„ в кото ром с заданной вероятностью лежат значения числа ус- 3 А. м, зтаоао о да, 33 пехов )в . В этом случае нужно находить решения ураввений вида 1 — Ф(х)-а и строить по ним приблнжония для искомого отрезка. В табл. 2 приведены величины и, определяемые равенством 1 — Ф(и„) а. При наличии микрокалькулятора для вычисления Ф(х) 'и и можно также пользоваться приближенными формулами*) Рв = 2(1 — Ф(х)) = ) е "Ыв!и ~/2п ~ (83х+ 351) х+ 562 [ 703/в+ 165 ((4у + 100) у+ 205) у х ((2у т.
56) у+ 192) у+ 131«2. 10 '(Р„-1' где р — !пР. В укааанных интервалах значений х и Р„относительная ошибка первой формулы не превышает 0,042 в/е, а абсолютная ошибка второй— 0,00013. Для значений х и Р, лежащих вне указанных интервалов, можно использовать приближенные формулвв ' ° / 2 1 [ х 0,941 Р„н — — ехр! — — — — '~ х 5 5 я * [ 2 ((2у+ 230) у+ 572) у 10 ыв Р 2 0 (у+144) у+ 603 в х ' « В случае независимых испытаний Р [А,'„';„") р;,, р;„, Равенства (2.17) однозначно определяют вероятность на ,в«(см.
[5)). (2.17) «) Смз Вегепво 3, Е. Арргох!ше(!опв !ог Ьвпд са!сп)е1огв п«1пи вшей !и!еиег соей!с1впгв у' Мв(!ь Сошрпд — 1977,-9, 31> М 137.— Р. 214 — 225. где р — 1и Р„. Во многих аадачах приходится рассматривать бесконечные последовательности испытаний. В атом случае полагают 47 ((й 1е, ...): 1««и (1, 2, ... У)) (2,15) а-алгебра событий «е порождаетси событиями вида .4!1„.1„[(1„1«> ...): !Вг= 7„..., !Ьв — !«[. (2Аб) Пример 2.7.
Найти вероятность того, что в схеме 11српулли первый успех появится в й-м испытании, если вероятность успеха в отдельном испытании равна р. Реп1 ение. Событие А,— (первый успех появился в 1-м испытании) определяется исходами в Й первых нснытакиях. Пусть событие С, = (в 1-м испытании наступил успех), Тогда Ае = С1С1 ° ° ° Сл-!Се и по формуле (2.17) находим Р(А1) Р (С1)Р(С2) Р(С1-1) Р(С1) = Д 1!ряведем еще две формулы, полезные в тех случаях, 1; еда заданы или могут быть легко вычислены условные ю роятпостн. Если события В1, Вм ..., В„попарно не совместны и В10 В10... 0 В„= !1, то для любого сабы» опн Л имеем Р(А) = ~ Р(В,) Р(А!В,) !! 1 (2Л8) (!!н1рмула полной вероятности) и г(в )г(л)в ) ~ е(в,)г(л!в,)* т 1,, „и, (2Л9) '(!1)орлсула Байеса). Пример 2.8, В ящик, содержащий 8 исправных иа- долпй, добавлено 2 изделия, взятых со склада; известно, что доля бракованных изделий на складе равна 5 11з, !!айти вороятпость того, что взятое наудачу из попал псиного ящика изделие пе будет бракованным.
Реп1 ение. Определим события А, Вц, В1, Вз. А (изделие, ваятое из пополненного ящика, не бракованное), В„(иа двух изделий, добавленных в ящик, й бракованных), й О, 1, 2. Очевидно, что Во 0 В1 0 Вт = ье и ВАВ1»' (Й чь 1). Можно воспользоваться формулой полной вероятности (2.18): Р(А) = Р(В,)Р(А(В,)+ Р(В,) Р(А(В,)+ Р(Вз) Р(А(В,). 3» ' Зо Если проиаошло событие В„то в ящике иэ 10 иэделий й,бракованных, следовательно, Р(А! В,)- —,„, й- 0,1,2. 10 — Ф При выборе малого числа иэделий из большой партии схемы выбора без воавращения и с возвращением имеют близкие вероятности исходов (см. задачу 1Л8).
Считая поэтому, что каждое из добавленных иэделий независимо от другого может быть бракованным с вероятностью 0,05, находим Р (Во) = 0,95о, Р(В1) = 2 0,95 . 0,05, Р(Вз) = 005о. Таким образом, Р(А) = 0,95о 1+ 2 0,95 0,05 -'+ 0,05' —,.о 0,99. Пример 2.9. Из урны, содержащей 3 белых и 2 чер- ных шара, по схеме выбора без возвращения отобрали 2 шара. Шар, взятый наудачу иа этих двух, оказался белым. Какова вероятность того, что второй шар толов белыйг Р е ш е н и е.
Определим события В, (средн двух отобранных из урны шаров й белых), Й=О, 1, 2, А = (шар, взятый наудачу из двух отобранных, белый). Условную вероятность Р(Во~А), которую требуется найти, можно вычислить по формуле Байеса (2.19): з (в„) г (л ~ в,) 4 ~ 8 ) + Р (л ) г (л ~ л ) + з (ь ) г (л) Вероятности, связанные с извлечением двух шаров из урны, найдем с помощью классического определения вероятности: сй с.',с', С', Р(Во) — ' 0,1, Р(В,) = — ','= 0,6, Р(В,) = —,' = 0,3, Ь Ь Так же определяготся условные вероятности, связанные с извлечением одного шара вз двух отобранных: Р(А(Во) О, Р(А!В1) = 0,5, Р(А(Вэ) = 1.
Значит 0,3 ОА .0 + 0 0,0,0 -1- 0,3 1 и й 1. Условные вероятности В задачах 2.1 — 2.6 вероятностное пространство считается заданным; для вычисления условных вероятностей нужно использовать формулу (2.1). 2.1'. Из множества чисел (1, 2, ..., (») по схеме слу чайного выбора без возвращения выбираются три числа.
Найгп условвую вероятность того, что третье число попадет з инторвал, образованный первыми двумя, если известно, что первое число мепьше второго. 2.2'. Брошено две игральные кости. Предполагается, что все комбинации выпавших очков равновероятны. Найти условную вероятность того, что выпали две пя терки, если известно, что сумма выпавших очков делит ся пз пять. 2.3'. Из 100 карточек с числамн 00, 01, ..., 98, 99 случайно выбирается одна. Пусть»)~ и»)» — соответственно сумма и произведение цифр на выбрапной карточке. Найти Р(тп = П»(» = 0), 1= 0, 1, ..., 18, 2.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
