А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Обоапачнм р, = р„(и, У) число ячеек, содержащих ровно по г частиц после размещения и частиц по Ф ячейкам. Найти вероятности следующих событий: 1) ро(и, й)» О (прн и = (У); 2) ро(и, Л)=.0 (прн и Ж+ 1); 3) ро(п, Ь')= 1 (прн и= И+ 1); 4) найдется ячейка, садеряоащая хотя бы две части- цы (при апобых соотношеянях между и и Л'). 1.51. (см. 1.50). Найти Р(ро(п, М) 0) при произ- вольных и, Ю, 1.52.
Па У различимым ячейкам размещается слу- чайно и нераалнчимых частиц. (Элементарными событи- ямн являются наборы чисел (гь го, ..., гв), где г,— число частиц в (о-й ячейке, й=-(, 2, ..., Ж.) Найти ве- роятности событий: 1) ро(и, Ж)) 0; 2) ро(и, (У)= 1. 1.53. В первом риду кинотеатра, состажцем иэ У кресел, сидит и человек, Предполагая, что все возмож- ные размещения этих и человек в первом ряду равно- вероятны, найти вероятности следующих событий: а) А„в = (нвкакие 2 человека не сидят рядом); б) В„„=(каждый иэ п человек имеет ровно одного соседа); в) С„в = (из любых двух кресел, расположенных симметрично относительно середины ряда, хотя бы одно свободно).
1.54. В зале кинотеатра в первых двух рядах, каж- дый из которых состоит нз Ж кресел, сидит п человек. 11айти вероятности следующих событий: а) в первом ряду никакие 2 человека не сидят рядом; б) во втором ряду каждый человек имеет ровно од- ного соседа; в) в первом ряду из люаых двух кресел, расположен- ных симметрично относительно середины ряда, хотя бы одна свободно. 1.55'.
Из всех отображений множества (1, 2, ..., и) в себя случайно выбирается отображение. Найти веро- ятности событий: 20 а) выбранное отображение каяюдый из и элементов переводит в 1; б) элемент ю имеет ровно й прообразов; в) элемент ю переводится в И г) выбранное отобраяюепие элементы 1ю, йь ° °, юю "(1 ( юю ( ююс... ( ею~ и) переводит з элементы )ю, )т ..., 1» соответственно. В задачах 1.56 — 1.60 рассматриваются взаимно однозначные отображения множества (1, 2, ..., и) на себя. Такие отображения называюот подстаююосксэюи степени и.
Мнояюество всех подстановок степени и обозначают Я . Если элементы юю, юз, ..., ююж(1, 2, ..., и) различны и подстановка о из Я„ююереводит юю в юю, юю в юз, ° ~ юю-ю в юд и Ю» в юю (ю! ~ 1з ~ 13 ~ ... ю,-ю юю 1ю) то Гово)пп что элементы юю, юь ..., юю образуюот ююипл длины й. 1.56'. Из множества Ю„случайююо выбирается подстановка: Найти вероятности событии: а) выбрана тождественная подстановка (1 2...п) б) выбранная подстановка элементы юь "(й ( ью (... (ю,) переводит в элементы )ю, )з, ° °, )ю соответственно; в) элемент 1 в выбранной подстановке образует единичный цикл, т, е. ю - Н г) элементы 1, 2, 3 образуют цикл длины 3; 1- 2- 3 1или1- 3- 2- 1; д) все элементы образуют олин цикл.
1.57. Найти вероятность Р„того, что в случайно выбранной подстановке степени и найдется хотя бы один цикл единичной длины. Найти 1пп Р„. «-~ 1.58'. Из множества Я„случайгюо выбирается подстановка о. Докавать, что если ) ю — длина цикла кодстановки и, содержащего элемент 1, то Р(йю й) = — при'любом й = 1, 2..., и.
1.59*. Из множества Я„сююучайио выбирается подстановка. Найти вероятность того, что элементы 1 и 2 леягат в одном цикле. 1.60. Обозначим символом 11"ю2"ю... >г "~ (см. [91) мнояюество подстановок, у которых а, циклов длины 1,... ..., а„циклов длины и.
Из множества [1"ю2"ю... и"") 21 случайно выбирается одна подстановка. Найти вероятности событий: а) выбрана заранее указанная подстановка из (1"12"э... л""~; б) элемент ( образует единичный цикл; . в) выбранная подстановка переводит ( в у ((*Ф* (), $2. Геометрические вероятности 1.61'. Случайная точна А равномерно распределена на отрезке (О, !! и делит этот отрезок на две части. Пусть ц~ — длина большей части и цг — длина меньшей части. Найти Р(т(~ ~х), Р(цэ (х) прв любом х. 1.62'. Случайная точка А имеет равпомерное распределение в квадрате со стороной 1.
Найти вероятности следующих событий: а) расстояние от точки А до фиксированной стороны квадрата не превосходит х; б) расстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата не превосходит х; в) расстояние ат точки А до центра квадрата пе превосходит х; г) расстояние от точки А до фиксированной вершины квадрата не превосходит х. 1.63'. Случайная точка А имеет равномерное распределение в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. Найти вероятности следующих событий: а) расстояние от А до ближайшей стороны прнмоугольника не превосходит х; б) расстояние от А до любой стороны прямоугольника не превосходит х; в) расстояние от Л до диагоналей прямоугольника не превосходит х. 1.64'. Случайнан точка А имеет равномерное распределение в квадрате со стороной а.
Найти вероятность того, что расстояние от А до ближайшей стороны квадрата меньше, чем расстояние от А до ближайшей диагонали квадрата. 1.65'. Случайная точка Х имеет равномерное распределение в квадрате Л = ((х, у): ~х( ( а, ~у! ( а). Найти вероятность того, что квадрат с центром Х и сторонами длины Ь, параллельными осям координат, целиком содержится в квадрате А.
1.66. Случайная точка Х равномерно распределена в квадрате Л = ((х, у): )х! + 1у! ~ а). Найти вероят- ность того, что квадрат с центром Х и сторонамн длины Ь, параллельными осям координат, целнком содержится в квадрате А. 1.67. Случайная точка Х равномерно распределена в ' правильном треугольнике с вершинами (а, 0), ( — а, 0), (О, аУЗ). Найти вероятность того, что квадрат с центром Х и сторонами длины 6, параллельными осям коорди- нат, целиком содержится в этом треугольнике, 1.68.
Случайная точка Х равномерно распределена в круге Я ((з, р): хт + у' ( Лт). Найти веронтпость того, что параллельный оси аосцпсс отрезок длины Л с сере- диной в точке Х целиком содержится в круге Я, 1.69. Случайная точка А имеет равномерное распре- деление в правильном и-угольнике. Найти вероятность Р„того, что А находится ближе к границе многоуголь- ника, чем к его диагоналям. Найти такие числа С на, что Р„=Сп'(1+ о(1)), п 1.70'. Случайная точка (зь йэ) равномерно распределеяа в единичном квадрате К = ((и, и): 0 < и < 1, 0 - "и:= 1).
Обозначим ц число действительных корней многочлена у „() т„з Найти верояттюстн Р(О=И, 6=1,3. 1.71'. На паркет, составленный из правильных й-угольников со стороной а, случайно бросается монета радиуса г. Найти вероятность того, что упавшая монета не заденет границу ни одного из Й-угольников паркета для; а) 6=3; б) й =-4; в) 1=6, 1.72". Случайно подброшена монета. Будем считать, что толщина монеты равна О. и что вектор нормали, прилом'енный к стороне монетй с гербом, прн вращении образует конус (рис.
2). Ось конуса образует угол 0 '(-я/2 ( 6 ( я/2) с горизонтальной плоскостью, а— угол между образующей конуса и его осью (О ( а < ~Си/2). В момент падения монеты конец вектора нормали равномерно распределен на окружности основания 23 конуса. Найти вероятность р(а, 3) того, что монета упадет гербом вверх. При каких условиях р(а, О) 1/2) 'к, к, Рве, 2 1.73'. Парадокс Бертрана.
В круге радиуса Н случайно проводится хорда, Обозначим $ ее длину. Найти вероятность г)„= Р($) х), если середина хорды равномерно распределена в круге. Вычислить вероятности ч»в и0в»» того, что длина хорды больше стороны пра. вильного вписанного шестиугольника и треугольника соответственно. Результат зависит от того, как понимать слово «случайно». См. задачи 1.74 н 1.75. 1.74 . Решить задачу 1.73, если направление хорды задано, а ее середина равномерно распределена па диаметре, перпендикулярном ее направлению. !.75'. Решить задачу 1.73, если адин конец хорды за креплен, а другой равномерно распределен на окружности.
1.76. На плоскость, разлинованную параллельными прямымп (расстояние между соседними прямыми равно 2а), брошена полуокружность радиуса г с а; точка (~Р, х) (х — расстояние от центра окрунсности до ближайтпей прямой, 0 ( х < а; у — угол между этой прямой и диаметром, соединяющим концы дуги) равномерно распределена в прямоугольнике [О, а) Х ( — и/2, и/21.
Найти вероятность того, что прямая будет иметь /с (/с О, 1, 2) пересечений с полуокружностью. 1.77'. В нптервале времени 10, Т] в случайный момент и появляетсн сигнал длительности Л. Приемник включается в случайный момент в «н(0, Т( на время Предполон«пв, что точка (и, в) равномерно распределе. 24 на в квадрате [О, Т» Х (О, Т» найти вероятность обнарум<епвя сигнала. 1.78'.
Пассажир моя<ет воспользоваться трамванмн двух маршрутов, следующих с интервалами Т<, Ть Момент прихода пассажира определяет на отрезках <<О, Т~», (О, Т<» числа и и и, равные временам, оставшимся до прихода трамваи соответствующего маршрута. Предполагая, что точка (и, и) равномерно распределена на Я ((и, п): 0 ( и < Т<, 0 ( и ~ Тг), найти вероятность того, что пасса<икр, пришедший на остановку, будет ждать пе дольше 1 (О < 1 С пип(Т<, Тт)). 1.79, Однородный прямой круговой цилиндр случайно бросается яа горизонтальную плоскость'.
Найти вероятность того, что цилиндр упадет на боковую поверхность, если его высота Ь, а радиус основания г. Вычислить эту вероятность при Й = 2г. При каких Й и г вероятности упасть на основание н на боковую поверхность одинаковы? 1.80. Неоднородный примой круговой цилиндр случайно бросается на горивонтальную плоскость. Радиус основания цилиндра г, центр тяжести располон<ен на оси симметрии цилиндра на расстоянии а от одного основания н Ь ) а от другого основания цилиндра. Найти вероятность того, что цилиндр упадет: а) на основание, расположенное ближе к центру; б) на основание, более удаленное от центра тяжести; в) на боковую поверхность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
