А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 10
Текст из файла (страница 10)
.., х ) плотность р„(х) можно вычислить по плотности рг(у) с помощью равенства р (у)=р.(у-г(у)) =рс(у-1(у))!Ув,(у)! '1 (3.2) В общем случае, как правило, удобнее сначала вычислить функцию распределения г) по формуле (ЗЛ), а за* тем найти плотность распределения г) дифференцированием. Случайные величины $ь ..., $„ называются независимыми, если для любых борелевских мноясеств Вн ..., В, кмеет место-равенство Г Р(е,=В„..., В, В„)-ЯРД, В„). (З.З) ь 1 Следующие определения независимости равносильны определению (3.2): в общем случае: для любых хь ..., х,юй г ,д (хм ° 1 хг) = Ц ~'Ьь (хь)ю ь-т для абсолютных непрерывных распределении; для любых х=(хн ..., х,)юВ' (кроме, может быть, точек, об.
разующкх мнонгество меры нуль) рт ~ (хм ...,х„)=Цр (хь); ьА двя дискретных распределений для всех х (хн, х,)ыЛ' р(е - . "*ъ = '.)=ПРА-хь). л=г Если случайные величины $„.. ч ~, независимы, то функции от них п„=л„Д„), й= 1, ..., г, также будут пеаавксимыми случайяыми величинами. П р и м е р Э.5. Случайные величины $с и фз независимы; их плотности распределения определяются формулами 1 при хек (0,1), — при хен (0,2) р, (х)- 1 р (х) = 2 0 при хф(0,1], О при хес(0 2).
Найти функцию распределения и плотность распределе ння величины Ч $4ь Р е ш е н н е. Так как величины ф~ н $з независимы, то двумерная плотность распределения вектора (зь $з), есть рз з,(и, и) рь (и) р, (о) Найдем скача,ча функцию распределения т): Р, (х) - Р (Ч < х) = Р ЙЛз -=х) = ( ) р (и) р (и) с(и с(ос "и с с 0 прн х(0, —,* ~1 — )п-,') прв 0(х -2, 21, з) 1 прп х) '>. ~ч(х) = где П.= ((и, п): ив(х). Отсюда г'ч(х) —,) ) с(и сЬ 1 (' о„ где Є„()((и, о): О~~и ~~1з 0(~о~ 2).
Очевидно, что О"„= ° йу при х ( О и 0 = ((и, и).' 0 ~ и » (1, О ( в ~ 2) при х) 2; следовательно, Р(ц~х) 0 (х<0), Р(ц ~х) =1 (х)2). При 0 х<2 (рис, 5) 1 — 1.— ж ( х х ) сси сЬ = 2 ° з + ) — с(и = х — х )п —.. 3' ь кс'3 к Таким образом, (8.5) '(последний интеграл в общем случае надо понимать как инз еграл Лебега — Стилтьеса) . П р и и е р З.О. Найти плотность распределения величины ц = ~~ + $и где фи $з иазависимы и каждая из них равномерно распределена на отрезке [О, 1[. Р е ш е н и е. По формуле (3,4) 1 р„(х) = [ рз (у) рг (х — у) г(у = [ рз (х — у) Ыу.
Подынтегральная функция Рз, (х — у) положительна .и равна 1, если О ~х — у ~ 1. Отрезок интегрирования [О, 1) в отрезок [и — 1, х) значений у, при которых рз,(х — у): ->О, не пересекаются, если х < 0 нли х> 2, В втих случаях р„(х) О. Если 0<х~1, то [О, 1]0[х — 1, х) = [О, х) и р„(х) = [ Ну х. а Если 1 » х < 2, то [О, 1[0 [х — 1, х[ ° [х — 1, 1[ и 1 р„(х) = ) Ыу 2 — х. а-1 Отсюда находим плотность распределения 0 при хф(0,2), р» (х) — — 1п — ', ири хек(0,21. и Если $ и ц — независимые случайные величины, то по плотностям рг(х), р„(х) можно вычислить плотность рг+„(х) их суммы с помощью формулы композиции (или свертки): рз+»(х) = ) рз(у) р„(х — у) г(у ) р„(х — у) р»(у)ф.
(3.4) Полезны также формулы композиции для функций распределения Ез+.(х)- „~ Рз(х — у) р.(у)(у, рз.»(х) = ~ Гг(х — у) др»(у) Таким образом, О, если х(0 или х) 2е рч(х) х, если О~х(1, 2 — х, если 1~х 2. А Математическим охеидаиием случайной величины называется число МС = [ $ (ы) Р (ды),.
М$ ~ хр (х) дх, (3.6) Для случайной величины $ с дискретным распреде- лением Ме ~ хар (е = хе), (3,7) если ряд (3.7) охотятся абсолютно. В общем случае Мй- '[ дР,()„ (3.8) М где интеграл понимается как интеграл Стилтьеса. Если ц д'Д), то для вычисления Мц=Мл(2) можно применять следующие формулы, аналогичные (3.6) —. (3.8) (также с оговоркой об абсолютной сходимости): МЛ-Мд($) ) д(х) р,(х) Их, (3.9) Мд — Мд ф-2„'д(х,) Р (~ = хд), (3.10) и Мд = Мд (Е) 1 л(г) иг (х) (3.1 1) (в формуле (3.11) в общем случае интеграл понимается как интеграл Лебега — Стилтьеса).
Формулы (3.9)— (3.11) оообщаются на случай, когда ц = а(чи ..., ~.), где л — функция, отображающая 77' в 77', В частвостп, ьв если интеграл Лебега, стоящий в правой части этого равенства, существует (см. [5), с. 60, или [2], гл. 4, $ 1). Если е имеет плотность, то Мс может быть вычислено по формуле 'формула (3.9) в этом случае превраптается в Мл(з„..., 1„)- ~ я (хт, ..., х,) р (х„..., х,) атхт ...
ттх„. (3.12) Для действительной случайной величины $ математическое ожидаяне М1' называется тс-м лтоментом яли моментом й-го порядка, М(1(т называется абсолютнтям моментом тс-го порядка, МД вЂ” М$)' — центральным моментом к-го порядка, МД вЂ” Ме(" — абсолютным центральным моментом й-го порядка. Факторттальньтм момен том й-го порядка называется М$'"' = М$ Д вЂ” 1)... Д— — й+ 1). Второй центральный момент называется дисперсией н обозначается 0$= МД вЂ” М$)т. Еорень квадратный из дисперсия называется средним квадратическим отклонением. Пример 3.7, Для случайной величины т), определенной в примере 3.2, найти Мд я Отр Р е ш е н и е.
Коли плотность распределения известна, то для вычислении Мтт удобно воспользоваться формулой ~(3,6), а для вычисления От) формулой От) ~ (х — Мп)гр (х)с)х которая является частным случаем (3.9) с д(х) =(х — Мт1)г. Подставляя в зти формулы плотность распределения р„(х), вычисленную в примера 3.2, получим 1 1 Мц ) х — т(х = —,„0т) = ) (х — — ~ — дх в ~/~ 5" .) (, 3) 2-р", 45' г г Можно было также воспользоваться формулами (3.9)' прв е(х) х", е(х) (х — Мп)т с заменой рт(х) на плотность р:, (х), определенную в примере 3.1: т Мт) = МЦ = ( хзр (х) т(х ( хгг)х Зг 00 о 09 М(ст — — ) (х — — ) Р (х) Ых 1 4 -"( --~"-- 51 45 о 59 Ыатематичесное ожидание М$ц произведения двух случайных величин $ и») называетсв смен»анным вторым моментом. Сметанный пентральный второй момент МД вЂ” Мь) (ц — Мц) называесся ковариацией случайных величин $ и ц и ооозначается сот($, »)).
Коэффициентом корреляции б и ц называется отношение р(6, ц) . сьт Я, т) —; всегда !р(с, й) ( -: 1. Случайные величины T»э$рв * $ и ц некоррелирова»»ы, если р($, ц) О. Ковариационной матрицей случайного вектора ь =Я», ..., В„) называется матрипа С = С($) =(сот(с» с»)»»». Матрица СЯ) неотрицате»»ьпо определена. Отметим важные свойства математических ои»пдапий: 1. Свойство аддитивности: длв любых с и ц с конечными М$ и Мт) МЯ+ ц) = М$+ Мт). ',(3.13)) 2.
Свойство линейности; для люоого числа с М(сЦ = сМь. '(3.14)' 3. Свойство мультилликотивноет»»л для любых независимых $ и ц с конечными М" и Мц М$ц = МйМгг (3.15)' С помощью этих свойств легко получа»отса следухлцие формулы для вычисления дисперсии и вовариацип: 0й-Мйх-(М„-) =Мй»»+М,-(Мй)», сотД, ц) =- М~»1 — М$М»); для неаависимых $», ..., ь„ ь 0(ь»+ ... +$э) = л.» 0$д, сот(ь» 4) О (зч»=»).
(3.16) ь» В общем случае 0 ($, + ... + ~ь) = л", 0$ь + 2 ~Э~ сот ($ь, с»), ь-1 »ль<»кь ..., ь'„"») независимы и С(с"~), ..., С($» ~) — соответствующие им матрицы ковариаций, то Сф»» +... + ~"») ° СЯ»»')+... + С(ф»'»). (3.17) Если имеются две дискретные случайные величины $ н ть то условная вероятность события ($ = хт) прн условии т) ут определяется равенством РЯ=хт[(=-ут)=,, " ' . (3.18) Совокупность условных вероятностей (3.18) при всех 1 задает условное распределение случайной величины при условии тт = уь Условное лтатсматичеспое ожидание и при условии т( = у, определяется формулой МД~)) у,)=~,тРД= т[т(=тГг) х,н (4 = хо ч = уз) .йаай г (ч = у,) Формулы '(3.18) н (3.19) определяют условные вероятности н условные математические ожидапая при условии тт = У,.
Условные веРоатности Р(ьь =х,[т)) и Условные матемапвчсские ожидания М(ф~ц) при условии т( определяются как случайные вегшчнпы, припнматощие на каждом множестве (он т)(от)=у,)~тз значения (3.18) н (3.19). Общие определенна условных распределений н условных математических ожиданий можно найти в книгах А. А. Ьоровттова [2), А.
(Ь Колмогорова [5), Б. А. Севастьянова [10). Вычттсляя математическое откядание от условного математического откпдання М(3|ц), получаем полезную формулу Мь = М[М(ь!т(Ц. ',(3.20) Б частности, Р(В'=- х,) = МР(Ц =- х,!т)). [(3.21) Для вычисления 0ь монтно использовать формулу 0% М[0(Цт)))+ 0[Мбит))1, (3 22) где условная дисперсия 0(ь)т)) определяется формулой 0 Д)т)) = „«~т(хт — М Д ! т())зР [с = хт) тд). (3.23) Аналогичные формулы верны и для абсолютно непрерывпых распределений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
