А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Найти МЭ(1 — е "). 3.86'. Случайная точка А имеет равномерное распре- деление в круге радиуса В. Найти математическое олзи- данке к дисперсию расстояния $ точки А от центра круга, 3.87 . Случайная величина ь имеет равномерное рас- пределение на отрезке [О, 1). Найти коэффицнент корре- ляции случайных величии т», >7з, если: а)»> а(, т>т (>ь (а, 6) 0), б) т» =аь, т>з )>ь (а~О((>), ~з г) т> =-ь — —, т~ х,) д) 9,=..( — ", ~), Ц,= .~+~). 3.88'. Пусть (ь, т)) — координаты случайной точки, имеющей равномерное распределение в области 0 ~Лз.
Найти коэффициент корреляции р(3, т>), если: а) ь> — часть еднничного круга, лежащая в первом квадранте: х'+ р'< 1, х) О, у ~0. б) 1> — треугольник: х+ 9 ~1, х >О, у ~0, 3.89. Пусть $„эп ..., 3„— независимые случайные велнчлны, имеющие равномерное распределение на от- реаке [О, 1[, а 5<» ~ $,7> ~... = $,„> — построенный по э» ..., э варнацнопный ряд, т. е. значения э>, ..., э, расположенные в порядке неубывання. Найти плотность р,(х) распределения э» М$ц> (з = 1, 2, ...), Щп>.
3.90. Пусть ь»> - ь,з> -Я... ~ э,,> — вариационнык ряд, построенный по неаависимым случайным величинам $» эз, ..., $., нмеющвм равномерное распределение на от- резке [О, 1) (см. задачу 3.89). Найти ковариацию и коэф- фициент корреляции р(3«„ 3,я). При каких условиях ) ж р(:<о, йп>) — 07 и 3.91'. Доказать, что.
если случайные величины $ и т> пезаввсимы, М3 Мй = О, М!3[з( зз, М[ц[з< з, то М(Э+ ц)' = М3з+ М»'. 78 3.02'. Случайные величины $ и г1 яекоррелированы. Доказать, что МУ,г1= МЗМг1. 3,93. Случайные величины ф, г( и ~ попарно некоррелнрованы. Верно ли равенство М3ць = МЗМт(Мь? 3.94. Случайные величины З, г1, Ь имеют нулевые математические ожидания, дисперсии ог и попарно некоррелированы. Чему равны минимальное и максимальное значения МЗЧ(,7 3.95'. Найти ковариационную матрицу случайного вектора $ = До 3г, $з), если: а) $0 $г, $з независимы и имеют стандартное нормальное распределение; б) вектор $ имеет равномерное распределение в кубе ((х„х„хз): гпах (хг((» ~/3); гхгха в) вектор $ с верятностью Яб принимает каждое из 6 значений (О, О, ~УЗ), (О, ~УЗ', 0), (~УЗ, О, 0).
3.96'. Какие из приведенных ниже матриц могут, а какие не могут быть ковариацноняыми для случайного вектора 3 =(Ь, $г, Ь): а) 010 б) 101 г) 111 з д) 234 1 — 1 ж) — 1 1 — 1!7 — ) 3.97. При каких значениях х существует случайный вектор 3 (Ь, Фг, 3з) с коваряационной матрицей: а) 1 * , б) 1 3.98. Случайный вектор ($0 $г, $г) имеет ковариз- Ргг Ры циоиную матрицу Р„1 Р,г .
Доказать, что Ргэ Ргз ! Ргз РггРгз ! «~ г (1 — Р(г) (1 Ргг) 3.99. а) Показать, что если распределение случайного вектора (ьь 4г) совпадает с распределением вектора 70 ( — ~п — ~т) и М~~+ М~',(со, то сот(ьь ~з) 2М(~~ шах(0, ьз))'. б) Пусть (ьь т1~) и (~з, цз) — независимые одинаково распределенные векторы, М(ь', + ц',) (оз. Доказать, что сот($п Ч,) М((п~ — йз)шах(0, $~ — фз)). ЗЛОО.
Случайные векторы ь ($„..., $ ) ен В и' $з = ($'„..., с,',) а= П" независимы, М$ — (т„..., т„) = яз,, М~$* (т,'... „т„') ° т*, матрицы коварнаций $ и ьз равны и= [о;;[ н оз [[о;,[ соответственно. Найти: а) математическое ожидание и дисперсию случайной величины ь $, +... + $„; б) математическое ожидание н дисперсию случайной величины ц =(Ь, а) = = а~~~+ ... + а„$„, где а =.(аь ..., а„) — данный неслучайный вектор; в) математпческне ожидания н коварнационные матрицы векторов $+ $в, ф — Сз, а$+ Ьв* (а, Ь вЂ” постоянные).
ЗЛ01'. Пусть [х[ обозначает наиболыпее целое число, не превосходящее х (цслую часть х), а (х) х — [х]— дробную часть х. Доказать, что если случайная величина ь такова, что распределение (Ь) равномерное на отрезке [О, 1), то М [Ц М~ — 1~2. ЗЛ02 . Случайные величины фь $ь ... независимы и РЦ,— П =РЦ, — 1) 1/4, Р(Ь 0) 1/2, 1 1,2, ... Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Б.
$~+ ° ..+ ь ° ЗЛОЗ . Случайные величины еп еи ... независимы н одинаково распределены: Р(е, О) Р(е, 1) — 1/2, 1= 1, 2, ..., а 6, е,— е<,и1-1,2, ... а) Показать, что случайные величины бь 6,, ... распределены так же, как случайные величины $ь Сь ... в задаче ЗЛ02, и что при любом 1 1, 2, ... случайные величинзз 6„6ьм независимы, если 1) 0 — целое, ) ть 2. б) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Н„б~ +... + 6„, и > 2. ло ЗЛ04'.
Случайные величины $), $з, ... независимы и имеют равномерное распределение на отрезке (О, 1!. Найти математическое ожидание случайной величины Ч = Х !111- — $)!. 1-» ЗЛОЕ . Найти дисперсию случайной величины Ч„, введенной в вадаче ЗЛ04. Сравнить ее с л»з(фз — »») ! С)(!йз — Ь ! + ! Ь вЂ” Ъз! +... + !Ь вЂ” Вз»-) !).
3.106. Случайные величины $~, ..., $., Ч)... » Ч. независимы. Положим 1 -$»+ ." + $», ~'- $»Ч, + ... + $»~ . Найти М»„, Мь», 1»ь», !зь„, сот (ь„, ь„), если Мй»=а, Щ»=а, Р(Ч»=1) =Р, Р(Ч»=0) а 1 — р (4=1,2.. »и). ЗЛ07'. В зкспедиции, рассчитанной на и дней, ежедневно от запаса продуктов нужно отделять соответствуюшую часть: в 1-0 день — 1/я-ю часть, во 2-й день— 1!(и — 1)-ю часть от остатка и т. д.
В деиствительности нужная часть продуктов отделяется с ошибкой. Пусть Ч» (Й= 1, 2, ..., н — 1) — часть от остатка продуктов, которая отделяется в й-й день, Предполагается, что величи- 1 пы у)„независимы, МЧ» — л» = .Найти математи» вЂ” Ь+ 1" ческое ожидание случайной величины ~, равной части продуктов, оставшейся к последнему дню: ~ - (1 — Ч ) (1 — Ч )" (1 — Ч.- )'. 3.108'. Случайные величины $), фз, ... независимы и имеют одно и то же математическое ожидание о и одну н ту же дисперсию аз„Положим Ч»,=$»-$). Найти математическое ожидание и дисперсию случайных величин 1») ь» Ч! 3 + Чз» + Ч»,з + ' ' ' + Чз» ) д»з 1») »» Ч!,з + Чз.з+ Чз.» + ° ° ° + Ч»л ь»з 1») »» Ч)л + Ч),з+ Ч1л + ° ° ° + Ч»,»+»» (») 1» = Ч) л + Чз,з + У)з,» + ° ° ° + Ч»-»,» + Ч»л ЗЛ09'.
Случайные величины $), $з, ... независимы и имеют нулевое математическое ожидание и дисперсию 8 ь, м. зубков и кр. 81 от. Найти математические ожидания и дисперсии случайных величии ь», ь», ь», ь„, определеияых в задаче <и оя (з) со 3.108, если ць ~- ЬВь ЗЛ10. Решить аадачу 3.!09 в случае, когда $ь йз, независимы и имеют равномерное распределение ва отрезке [О, 1).
ЗЛ11'. Решить задачу 3.!09 в случае, когда эв $э, ° независимы и имеют математическое ожидание а и дисперсию о'. ЗЛ12. Случайные величивы $ь $в ... независимы МЬ=О, Щ~=оз(, 1=1,2, ... Найти математическое ожидание и дисперсию случайных величин 8» = ~г + ~, + ... + $» и Т = $», + $т. + + Ь „, где тп тв ...— независимые и яе зависящие от $п $в ° ° ° случайные величины, имеющие равномерное распределение на множестве (1, 2, ..., й).
3.113'. Обозначим через 6, число циклов длины г в подставовке, случайно выбранной из множества всех и! подстановок степени и. Найти: в) МОь 00~, б) МОз, в) МО, (г~1). ЗЛ14'. В урне содержится М~ шаров с номером 1, !1з шаров с номером 2, ч М» шаров с номером (»'. По схеме случайного выбора без возвращения выбирается п шаров. Найти математическое ожидание числа кепоявившпхся вомеров. 3.115'. Из урны, содержащей т( белых и )У вЂ” М черных шаров, по схеме выбора без возвращения извлекается выборка объема и. Число белых шаров $ в выборке имеет гипергеометрическое распределение: Р ($ т) " СМСч:м м.
Найти Мэ и !У$. См ЗЛ16'. В Ф ячейках случайно размещаются п частиц. Каждая частица везависимо от остальных с вероятностью 1/М может попасть в любую фиксировавную ячейку. Обозначим через рз(в, Ф) число пустых ячеек. Найти Мро(в, Л'), Оро(п, Ж) и асимптотические Формулы для них при и, )У ', вlХ- аш(0, ). 3 117'. Пусть выполнены условия задачи ЗЛ16 и р,(п, Ф) — число ячеек, в которые попало ровно г частиц. При г= 1, 2, ... найти МО„(п, У) и асимптотические формулы для Мр,(в, Ф) при г= сопя!, и, Ф вЂ”, и!Р7 — аж 'м(0, '»).
82 3.118". В группе учится 25 студентов. Предполагая, что двв рождения студентов независимы и равномерно распределены по 12 месяцам года, найти математическое ожидание числа р, тех месяцев, иа которые приходится г дней рождения, для всех таких г, что Мр, ) 0,01. ЗЛ19. По У ячейкам случайно размещаются и яераз- личимыл частиц (см. аадачу 1.52). Все размещения пред- полагаются равновероятнымя. Обоавачям череа р, число ячеек, содержащих ровно г частиц, Найти Мр, и аснмп- .
тотические формулы для Мр, при и, )у- ', я/М- аж ж(0, ~ ). Сравнить с реаультатами задач ЗЛ16 и ЗЛ17. 3.120'. Пусть 5. ~ — число появлений 1-го исхода в и независимых испытаниях с г/ несовместными исходами и вероятностью р~ появления /что исхода в г-м испытании (/ 1, ..., Ф; а=1, ..., и; р~+...+уь=1). Найти: а) М$.,,; б) 0$„,,; в) сот($„„5„,) (1Ф/), ЗЛ21. Сопоставим описанной в аадаче ЗЛ20 последо- вательности п неаавпсимых нспытаний процесс раамеше- ния и частиц яо Ф ячейкам, интерпретпруя появление у-го исхода в й-м испытании как попадание Й-й частицы в )-ю ячевку.
Обозначим черев р, = р,(я; рь ..., ра) чис- ло ячеек, в которых после размещения" я частиц окааа- лось ровно по г=0, 1, ... частиц. Найти: й) Мро; б) МР~~ и) пйв Мк (и; р„..., рл). Фг, ° Рк ЗЛ22'. В Ф ячейках последовательно размещают ча- стицы.
Каждая частица неаависимо от остальных попа- дает в любую фиксированную ячейку с вероятностью 1/Х Обоаначнм через т, минимальный номер частицы, после раамещения которой число занятых (т. е. не пустых) ячеек станет равным я. Найти Мчь От„и асимптотнче- скую формулу для Мт» прн Ф оо. ЗЛ23. По маршруту ходит Ф автобусов без кондукто- ра, В каждом автобусе имеется касса, в которой перед выходом в рейс было г билетов. Всего ати автобусы пере- везли и пассажиров. Найти математическое ожидание числа $ пассажиров, которым не досталось билетов, пред- полагая, что каждый пассажир неэависимо от остальных может сесть в любой из автобусов с одной и той же ве- роятностью 1/Ф.
ЗЛ24'. Из 30 чисел (1, 2... 29, 30) по схеме равно- вероитного выбора беа воавращения отбирается 10 чисел. Найти математическое ожидание суммы выбранных чисел: ЗЛ25'. В схеме Бернулли р — вероятяость исхода 1 и и 1 — р — вероятность исхода О. Будем считать, что и» 83 при 1-и испытанив' (13ь2) появилась цепочка ОО, если при (1 — 1)-и и прн 1-м испытаниях исходами были нули. Найти формулы для математического ожидания идисперсик числа цсз появлений цепочен 00 в я испытаниях (я - ). Сравнить нх с формулами для математического а ожидания и дисперсии числа р„появленнй исхода 0 в я — 1 независимых испытаний Бернулли, когда вероятность исхода 0 равна дз. 3.126'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
