А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 18
Текст из файла (страница 18)
3,235 . Некоторая категория людей имеет средний вес т кг и среднее квадратическое отклонение веса 3 кг. Для случаев т = 60 и т 10 определить вероятность того, что вес случайно взятого человека отличается от т не более чем на 5 кг; если: а) вес имеет нормальное распределение; б) вес имеет логарифмически нормальное распределение.
3.236'. Для случайных величин г)ь Чм определенных в 3.229, найти Мт~"„М~", 3.237 . Случайная величина $ имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Найти М$ соз $, М вЂ” „М з(п $. г+ ь' 3.238. Случайная величина $ имеет нормальное рас пределекие с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Найти М соз $, Р соз з. 3.239. Случайная величина $ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперси ей 1. Что больше: 0 з(п $ или 0 соз ь»1 3.240. Случайная величина $ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1/2, Найти М соз($'), М з1п($т).
3.241'. Случайные величины $п $з независимы и нормально распределены с параметрами (О, 1). Являются ли независимыми величины тп = $~ + зз, цз = $~ — зз? 3.242'. Случайная величина $ нормально распределена с параметрами (О, 1). Ноложим т, если ($(~1, — $, если ) $(~ 1. а) Найти закон распределения т). б) Имеет ли величина $+ ц нормальное распределение? 3.243'. Случайные величины 5 и ц независимы и имеют нормальное распределение с математическим ожиданием О и дисперсией 1. Найти Р(~~ — ц! ~ 1). 3.244'. Случайные величины $ь выл зз независимы и нормально распроделены с параметрами (1, 1), (2, 5), (О, 7) соответственно.
Найти: а) Р(2ф~ — ьз с О), б) Р(-3( 2В~ — $з(5), в) Р(1(2з„— $з+5з(4). 3.245. Случаиный вектор Дь $з) имеет сферичесии симметричное нормальное распределение с 0$~ = 0ьз = о'. Найти распределение вектора (~ь ьз), если ~~ = $~ соз ~р+ $зз(п ~р, ьз = — $~ з(п ~р+ $д соз ~р, 3.246. Случайный вектор (5п сз) имеет сферически симметричное нормальное распределение с 0$~ 0сз = 1. зсз зз Доказать, что случанные величины «Дз н -~- ($~ — ьз/ одинаково распределены. 3.247'.
Случайные величины $! и Зз независимы н имеют нормальное распределение с параметрамп (О, 1). Найти совместное распределение случайных величин ~~ = а$~ + Ьсп Ьз = а~~ — ЬСз при а, Ь Ф О. 3.248'. Случанный вектор (т)ь цз) имеет нормальное аспределение с Мвп Мт)з = О и матрицей ковариаций о', , . Найти распределение вектора (с~ць сзцз) при ;у оз( сь сзФО. 3.249.
Случайный вектор ($о $з) имеет нормальное распределение с М5~ = Мзз = О и матрицей ковариаций о( у Случайные величкны ~~ и ьз независимы и нмепз з 101 ют нормальное распределение, М~, М~з О, 0~1 = В~з = 1. Доказать, что случайные величины $4т и ~ (гы (п,п, + у) — за (а,п, — у)) одинаково распределены. 3.250. Случайпые величины 3~ и $з неаависимы и име. ют нормальное распределение с математическим ожида кием 0 и дисперсией п~. Случайные величины ц~ н цт определяются соотношением А+4з)' Я~ т ~цз г а+4змь-тнзз 1 з) где 1= У вЂ” 1, а' й ~ 0 — целое число, Найти совместное распределение величин т), и цм 3.251. Случайные величины фь фз независимы и имеют нормальное распределение с параметрами (О, 1), Найти математическое ожидание величины Ч =- с(а+5')/ (1 + Ы + 4з) 3 3.252.
Случайные величины ф, ц независимы и нормально распределены с параметрами(0, от), (О, оз) соответственно. Вычислить при п~ = 1, от = — 2 вероятность попадания случайной точки ($, ц) ж Лт в следующие области: а) прямоугольник !х! < 1, )у! =-2; б) прямоугольник 0 < х < 2, )у! < 2; в) прямоугольник 0 < х < 2, 0<у<4; г) трапецию х+р<0, )х)сз1, у~-2; д) обх д пасть — з + —, ~ (1, ограниченную эллипсом, вписанным а 2 3 в прямоугольник )х! < 1, !у! ~ 2; е) область —, + — з 1з в с ограннченпую эллипсом, описанным около прямоугольника !х! < 1.
)у! < 2. 3.253. Моет через реку представляет собой прямоугольпик, координаты которого в декартовой системе координат удовлетворяют неравенствам: )х! - 10, !у! < 100. При артиллерийском обстреле моста точка попздзпня снаряда (С, т)) в той же системе координат имеет двумерное нормальное распределение с пезавискмыми координатамп и со средними квадратическими отклонениями а~ = 10, и„= 40.
«Точкой прицеливания з назовем (М$, Мц). Определить вероятность попадания в мост прп одном выстреле, если точка прицеливания раппа: а) (О, 0); б) (10, 0): в) (5, 20). 3.254. Случайные величины С, ц имеют сферпческп симметришое нормальное распределение с Оз= Вц 4. 102 Найти вероитность попадания точки Д, ц) в -прямоугольник с вершинами (О; 3), (4; 0), (1,8; 5,4), (5,8; 2,4). 3.255.
Случайные величины 4, т) имеют двумерное нормальное сферически симметричное распределение с М4 = Мт) О, (7$ = 0ц — -- 1. Найти вероятность попадания случайной точки (5, ц) в: а) треугольник с вершинами (О; О), (1; 1), (2; 0); б) треугольник с вершинами (О, 2), (2, 0), (2, 2); в) треугольник с вершинами (2, О), (1, 1), (1, 2). 3.256. Случайная точка (С, ц) имеет сферически симметричное нормальное распределение с 0ь = Оц 1.
Найти совместную плотность распределения ее полярпыи координат. 3.257, Случайная точка ($, з)) имеет сферически симметричное нормальное распределение с зать — ззз) — 1. Найти вероятность попадания ($, з)): а) в квадрат С ((х, р): !х~ < 3, !у~ -= 3); б) во вписанный в С круг; в) в описанный около С круг.
3.258. Случайные величины г, ц независимы и нормальпо распределены с М» = Мц = О, 0$ = 0з) = и. Найти вероятность того, что случайная точка (Ц, ц) попадет в. а) кольцо ((х, д): 2 < 'з'х'+ уз ~ 3) „ б) область ((х, р): 2 ~ шзп(~х1, 1у!), птах(~х(, )у!) с 3); в) область ((х, р): 2:- =~х! + !у! ~ 3). 3.259. Случайные точки А~ =(зю, пл) и Аз =йз, Чз) на плоскости Л' независимы и имекю сферически симметричное нормальное распределение с единичной матрнцей ковариаций. Найти функцию распределения длины отрезка А о4г.
3.260». Случайзные точки А~ =(зь з)~), А =($з, з)з)~ Аз=($з, цз) на плоскости Вз независимы и имеют нормальное распределение с нулевым вектором математическнл ожиданий и едияпчной матрицей ковариаций. Найти функцизо распределения длины медианы А~М~ треугольника А~А»Аз. 3.26!*.
Доказать, что в условиях аадачи 3.260 длина стороны АзАз и длина медианы АзМз треугольника А~АзАз — независимые случайные величины. 3.262», В условиях задачи 3.260 найти вероятность того, что треугольник А,АзАз — тупоугольпый. 3.263. Случайные точки Ао Аз, 4з независимы в имеют равномерное распределение на окрузшзости Единичной 103 длины. Найти вероятность того, что треугольник А~АоАо — тупоугольный. 3.264'. Случайный вектор 3 ($п $о)шло имеет двумерное нормальное распределение с нулевым вектором математических ожиданий, область А — угол с вершиной в начале координат н раствором а. Докаоать, что если область А' симметрична области А относительно начала координат, то Р($ ю А'1 РЦ ж А).
3.265. Случайный вектор $ -(фь $о) ж Во имеет двумерное нормальное распределение с нулевым вектором ма(ао о 1 тематических ожиданий и матрицей ковариаций (О а,'1' Найти Р()о1! ) а!оо)1, а) О. 3.266. СлУчайный вектоР $ ($ь 3о)ж Во имеет невы- рожденное двумерное нормальное распределение с пулевым вектором математических ожиданий и матрицей коваРиаций !! ап)!;-и )а|о!о С амаль Найти роо - Р($1 ~ О, фо > 01, ро1 РЦ~ ~ О, йо с 01, р~о Р($~ (0, йоРо01, рп РЦ~ «О, со(01.
3.267. Случайный вектор $ ° ($ь $о)~и Л' имеет двумерное нормальное распределение с нулевым вектором /а а'1 математических ожиданий н матрицей ковариаций ~ ~ оо а'(' а ! ( а'. 1!айти Р(0( ~1 (хам), х) О. 3.268'„Случайный вектор 3 (йь $о)ш У имеет не- вырожденное нормальное распределение с нулевым вектором математических ожиданий и матрицей ковариацнй Найти: а) Р($~ > алло), — оо ( а ( 6)' РЦ, ) афо + Ь),- — ( а, Ь ( оо. 3.269. Случайный вектор '(3п $о) имеет нормальное распределение с нулевым вектором средних а ковариа/ао Р ционной матрицей ~ о ).Покаоать, что функпия лг(х) р а', М(3~Цо х1 лилейпа, а о(х) ЮЦуЦо х) постоянна. 3.270.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
