А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 20
Текст из файла (страница 20)
(») - ) (») равномерна на каждом конечном интервале значений й 6. (Формулы обращения) Если Функция 7(»)= Месм абсолютно интегрнруема, то распределение случайной величины 5 имеет ограниченную непрерывную плотпость р(х) и ОО р (х) — ~ е 1»г) (г) «)». 1 Г зя 3 Если х и х+ Ь вЂ” точки непрерывности функции распре деления )г(х) = Р(5 хй х), то Г(х+Й) — Р(е)» . в з) $ — е Производящие и характеристические функции векторных случайных величин $ ° (Зь ..., $,)жй' определяют. ыо ся формулами ~З («« ...
«ь) ™ ехр («(З~$~ + ' + М))« 1е «» «р«(з, ...,зь) Мх, ...з«. Их свойства аналогичны свойствам производящих и характеристических функций одномерных случайных велиг~ чин. Например, если М($«( '... (5д( <со для целых г„..., ге~ ~О, то г«т„,-«гь „Й(~«« ..., «и) - «'«4'"'"ьМ$«'... Ь"„"„ ("«) (еь) ««е~« Зеьь « „, е«- — «- Таблицы А и Б содержат формулы для проязводящвх и характеристических функций наиболее часто встречающихся распределений. Отметим, что приведенная в табл. Б формула для плотности многомерного нормального распределения в й' имеет смысл лишь в случае, когда матрица ковариаций В не зырождена (т. е. определитель В отлкчен от О), поскольку распределения с вырожденными матрицами ковариаций не являются абсолютно непрерывными.
Однако формула для характеристической функции многомерного нормального распределения справедлива при любой матрице коварпаций В. Многомерные нормальные распределения. с вырожденной матрицей ковариаций естественным образом появляются как предельные распределения в многомерном еарианте центральной предельной теоремы: если Ьг, ...— независимые одинаково распределен««ые случайные векторы со значениями в й-мерном евклидовом пространстве В, с математическим ожиданием а«иВ" и матрипей ковариаций В (не обяаательно невырожденной), то последовательность распределений случайных величин ~«+'''+~о ~/о при и- «с слабо сходится к многомерному ««ормальномт распределению в Й" с нулевым вектором математических ожиданий и матрицей ковариаций В. й 1.
Закон болыпих чисел. Лемма Бореля — Кантеллн 41'. Пусть функция у(х), х~ О, неотрицательна и монотонно возрастает. Показать, что для любой действительной случайной величины $ справедливо неравенство м: ((з~) 4,2'. Пусть случайная величина ц равна сумме очков, появившихся при и бросаниях симметричной игральной кости, Используя неравенство Чебышева, оценить сверху Р ~~ —" — 3,5 ~ ) е), е) О, 4 З'.
Пусть $ь ег, ..., $,г — результаты и+ 1 испытаний схемы Бернулли (РЦ; 1) = р, Р(ь, 0) 1 — р) и случайная величина ц„ равна числу таких (, 1 -"Я ( ( и, что е, $,+~ =1. Используя неравенство Чебышева, оценить сверху Р)) —" — р'~) е), е) О. 4.4. Последовательности ьь ьг, ... и Ль Лг, ° ..
образованы одинаково распределенными случайными величинами, независимыми внутри каждой последовательности (случайяые величины $~ и цг могут не быть независимыми), М$; Ма~=а, ОШ=0г(,(». Выполняется ли закон больших чисел для последовательности ~ь ьг, . ° ..' ьг-~=5м Ь=г(м 4=1, 2, ... 4.5 . Случайные величины $ь еьг, ...
независимы и имеют стандартное нормальное распределение, $ сое.—, п = 1, 2. си+ 1 Удовлетворяют лн последовательности г(ь г1г, це, ... и г1ь Чг цм ... закону больших чисел? 4.6'. Последовательность 4п йг, ... образована независимыми случайными величинами, имеющими нормальные распределения, М$„-0, 0$„Сй", С>0, а~О, й=1, 2, ... Описать множество тех значений а, прп которых после- В ь, м, агаев в ае, из довательпость $ь $з, ... удовлетворяет закону болыпих чисел. 4.7.
Последовательность $ь зз, ... обравована иезази- спмымн случаяными величинами, М$„=0, 0$,=Сй", С>0, а~О, й 1, 2, ... При каких значениях и последовательность $0 $и может удовлетворять закову болыпих чисел и при каких значениях а мопзет не удовлетворять емут 4.8.
Последовательность $ь зз, ... состоит из незави- симых одийаково распределенных случайных величин, М$д= О, 0$„= па ~, 4=1, 2, ... Удовлетворяют ли за- кону больших чисел последовательности случайных ве- лпчип („мз( 1е 6и + $к~-и т)с = с $и+а~ л = 1, 2, а о 4.9. Случайные' величины фп $з, ...
независимы, Мй, = а, 0$, — а' ( . Пусть ь„=,2; $Д;. Покаы~(~~~~ зать, что последовательность Ь„ удовлетворяет закону больших чисел. для каждого е ) 0 1(ш Р ~' оз )е 0 4.10. Показать, что утверждение предыдущен задачи останется справедливым, если в ее формулировке заменить условие независимости фь $и ... условием их пекоррелированвости: М($,— а) ($,— а)=0, 1-Я((1~ со. 4Л1.
Пусть функция ((х), 0 < х < 1, ограничена н иптегрируема, а ьь $И ...— независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [О, 1). а) Доказать, что при любом е ~ 0 ,)~ам- -;~зс ( и о б) Найти 1 ~~1(й )+ ... +((() р и а ~/п~ о 114 4Л2. Пусть ограниченная интегрируемая функция у(х), — (х "ц, имеет период 1, а случайные величины $ и ц независимы и равномерно распределены на отрезке [О, 1). Построим последовательность случайных величин (($+йц), %=1, 2, ... а) Доказать, что случайные величины Ьц Ьз, ...
попарно независимы и одинаково распределены. Найти М~ь О~ь б) Показать, что для любого в>0 р а [а, Ь] ~= (О, 1), то при любом я = 1, 2, 4ЛЗ. Пусть случайный вектор ~~ю ($~"~, ..., ~ю~) имеет нормальное распределение в В" с нулевым вектором математических ожиданий и единичной матрицей коварнаций, а В... — множество всех таких точек х =(хц ..., х )жВ", что (1 — е) г([х[= (х,'+ ...
+ х~)' '((1+ е) г, Показать, что при любом е > 0 1!а Р [з''о еи В„;„,) 1, » '4.14». Пусть случайный вектор $'"' тот же, что в предыдущей задаче, а Сь.— множество всех таких точек х =(хь ..., х„) ж В", что (1 — е)г< [х|[+...+ [х.[~(1+е)г, е>0. Показать, что при любом е > О Ню Р [з'"' = С„...—,„,) = 1. Сравнить с результатом задаче 4ЛЗ. 3» 4Л5, Случайные величины $ь $з, ...
независимы, одинаково распределены, имеют математическое ожидание а и для некоторого е, О < е ( 1, и, М!$, — а!'+' ~ с . 1!оказать, что для любого 6 ) О Игв Р(!'" " "— а~)6~ О, 4Лб. Лемма Бореля — Кантелли. Пусть Аь Ам ...— события, заданные на одном вероятностном про- странстве, н случайная величина е равна числу одновре мепно происходящих событий. Показать, что: а) если ~~ Р(А„) со, то Р(м~ со) = 1, п=1 б) если события Аь Ам ... попарно независимы н Ю ~ Р(А„) = со, то Р(т — со) = 1. я=1 4Л7. Пусть Аь Ам ...— события, заданные на одном вероятностном пространстве, и случайная величина равна числу одновременно пропсходящи4 событий. По- казать, что если Р(А.) ~ а >О, л =1, 2, ..., то Р(т = = а>) » ~а, 4.18. Последовательвость чисел с„удовлетворяет ус ловиям О~ с„я 1, ))ш с„- О, Всегда лн существует таи м кая последовательность событий Ан Аз, ..., что Р(А„) = = с„и для числа ч одновременно происходящих событий справедливо соотношение Р!т( ) 17 4.19.
Последовательность $ь ар, ... случайных вели- чин и случайная величина Ь удовлетворяют условию Х Р(!Ь вЂ” ~!)е)(со для любого е О. Показать, что Р('Иш 4„= ~~ = 1, 4 29. Последовательность $ь фт... случайных величин н случайная величина ь удовлетворяют условию Х М($ — ь)а( Показать, что Р ()1ш ~„() = 1. ~и с Иб 4.21. Случайные величины $ь $з, ...
независимы я имеют одно и то же показательное распределение с параметром Л: РЦ„(х)=1 — е '", х>0, л 1, 2,, Пусть е — произвольное число из интервала (О, 1/Л), случайная величина т. равна числу одновременно про(» е»» 1 исходящих событий А„= )1„» ~ — + е~, а )», — числу одновременно происходящих событий е В = шах А [ ' 1аа т»<»»» а) Показать, что РЬ, < '») = Р(и, ~ »») = 1 при любом з ы(0, 1%).
б) Вывести иа результата п. а), что последователь»» ность случайных величии ь» = —,, я= 1, 2, ..., удовлетворяет условию /в 1» Р1И („= — ~ = 1. »->»~ 4.22. Случайные величины $ь $з, ... имеют математическое ожидание а и дисперсию о'( и ве коррелированы: М($с- а) Д, — а) = О при любых 1Ф1. Доказать, что Р~» ', "-) 1.
4.23. Случайные величины 3п $и ... имеют математическое ожидание а и дисперсию и' = и яе коррелированы, а 0„= шах ~$„~~, + ~„~~, + ... -(- фд — (й — я') а~, »»~ь»1»+П' и=1, 2„, Ч» Доказать, что Р 11ш -ч = 0 1. 1»-»» 424*. Усилевный закон больших чисел.
Доказать, что если случайные величины ~п $И ., имеют математическое ожидание а, дисперсию а ( и не коррелированы, то Р(В 4,+...+4. (»» 4 2. Прямые методы доказательства предельных теорем В атом параграфе задачи 4.25 — 4.32 связаны с на~ хождением предельных распределений с помощью ана лиза свойств допредельных распределений, задачи 4,33- 4.44 — с применениями закона больших чисел, в задачах 4.45 — 4.57 изучаются свойства рааличных видов сходи- мости последовательностей случайных величин. 4.25. Случайные величины $п 3м ..„$.
независимы и имеют одно и то же геометрическое распределение с параметром р, 0(л(1: Р(3, - и -(1 — р) Р", й = О, 1, 2, ... а) Показать, что Р (4, + .. + $„ = й) = Сь;+.' ,(1 — р)-рьэ й - О, 1, 2.. . б) Найти д~~,"~ = Нш Р ($, + ... + 3„— ж = /с ) 3, + ... + 4„) т), =-0,1,2, 4.26 (см. задачу 1.53). Первый ряд кинотеатра состоит из )у кресел.
Зрители один за другим заполняют этот ряд, причем каждый из них может с равной вероятностью занять любое из кресел, свободных в момент его прихода. Пусть т~ (Ж) — порядковый помер первого зрителя, который сел в кресло, находящееся рядом с уже занятым креслом, тд(Л) — порядковый номер первого зрителя, который сел в кресло, симметричное относительно середины ряда одному из аанятых кресел. Найти законы распределения т~(Л) н тз(Д1) и предельные при Ь'- рас т~ (У) пределення случайных величин =, 1 1, 2, т. е.
функ- ~/У ' Ь; (о') ции С1(х) =! пп Р ~ — ' ( х . л ~ ~/У 4.27'. Плотность рз(х) случайной величины 3 пепрерывпа и ограничена на отрезке (а, Ь] и равна 0 зпе (а, 6), Положим ц„= (л$), где Ы вЂ” дробная часть числа х. Найти НшР(ц„:с х), 0(х(1, Я 4.28. Показать, что утверждение предыдущей залачп справедливо для случайной величяпы 3 с кусочна-непре- рывной плотностью, 118 4.29. Случайная величина „- имеет нелрерывную плот- ' ность распределения р(х). Найти предельное распределение случайной величины (дл$ при и» .
4.30 (см. задачи 4.28 и 4,29). Случайная величина $ имеет непрерывную плотность распределения р(х). Найти предельное распределение случайных величин 1 (1+ г$)» — (1 — й)" — ., прв и-»оо(здесь (= 1 — 1). ((+ (4)в.( (( Ц)» 4.31*. Случайная величина $ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а и дисперсией оз. Найти предельное (при х ) распределение для условного распределения случайной величины (4 — х)х при условии 4 ) х (ср. с задачей 3.228). 4.32. Пусть 4ь 4и ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
