А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В схеме Бернулли задачи ЗЛ25 найтн формулы для математического ожидания и дисперсии числа р~п появлений цепочки 111. (Цепочка 111 появляется прн Рм испытании, если исходами (1 — 2)-го, (1 — 1)-го и 1-го испытаний были единицы.) Сравнить их с формулами для математического ожидания и дисперсии числа р,, появлений исхода 1 в и — 2 неаависимых испытаниях схемы Бернулли, когда вероятность исхода 1 равна рз. 3.127'. Пусть проведено и испытаний по той же схеме Бернулли, что в задачах 3.125 н ЗЛ26. Назовем серией единиМ цепочку исходов последовательных испытаний вида 011...110 (при этом считается, что исходами дополянтельвых испытаний с номерами 0 и я+1 были нули).
Пусть д — число серий единиц. Найти: а) Р(О„О); б) Р(6„1); в) Мт~„; г) Йт и-'От~„'. 3.128. На бесконечный лист клетчатой бумаги (сторона клеточки равна 1) случайно бросается круг единичного радиуса. Считая, что центр круга равномерно распределен на том единичном квадрате, на который он попал, найти математическое ожидаяне числа $ точек с целочисленными координатами (х, р)', покрытых этим кругом.
3.129 . Каждую целочисленную точку числовой осн независимо от остальных назовем белом с вероятностью р и мерной с вероятностью о 1 — р. Пусть 8 — множество всех таких целочисленных точек х, что расстояпие от х до ближайшей черной точки (включая х, если точка х черяая) ве меньше расстояния от х до начала координат. Нанти математическое ожидание числа )Я элементов множества Я.
3.130". Точки Сь ..., С„независимы н имеют равномерное распределение в круге К с центром 0 и радиусом 1. Пусть случайное множество А состоит из тех и 'только тех точен круга, которые находятся ближе к центру О, чем к границе круга'и к любой из точек Сь ..., С„.
Найти математическое ожидание площади $ множества А. ЗЛ31. На плоскость независимо брошено У кругов радиуса г„ так, что центры стих кругов равномерно расйределены в круге радиуса.1. Обозначим через д площадь множества точек плоскости, покрытых ровно т кругами. Найти Мд о Нш —, если Угк-о Х( оо; к ЗЛ32. Случайяая величина $ принимает только целые неотрицательные значення. Доказать, что М~- Х Р(а~й). о о ЗЛЗЗ. Случайная величина $ принимает только целые неотрицательные аначения.
Доказать, что для любого целого й ~ 2 ОЭ М~ Д вЂ” 1)... Д вЂ” й+ 1) = й ~ Ы вЂ” ~Р(В~ л). З Л34. Пусть Ап Аи ...— совокупность событий, у~— индикатор события А~ (1 1, 2...), т. е. 1, если событие Ао происходит, О в противном случае, н $ Х~ + то+...— число одновременно происходящих событий из Ап Аю... Доказать, что Х Р!А,.,Ао " Ао!- особо с*.<оо -41 Х Р(2*,-" =2;.-1). оао (1 (.'.(~ь 3,135о. Неотрицательная случайная величина е имеет функцию распределення Е(х) = Р(ф о х). Докааать, что М4 (( Р(.)) ..
о ЗЛ36. Случайная величина $ имеет функцию распределения )г(х) Р($<х). Доказать, что если М~Ц «с то (Ю о М$ ) (1 — Р(х)) сКх — ( Г(х) Ах. ЗЛ37. Неотрицательная случайная величина 4 имеет функцию распределения Р(х) Р($ < хЕ Доказать, что для любого действительного а ~ О М С" = ! а ) ~ х"-' Н вЂ” Р (х)) дх. о 3.138.
Случайная величина $ имеет функцию распределения г'(х) = РЦ ( х). Показать, что если Р ~ (у) = зпр (х: Р'(х) ~ р). то для любой интегрируемой функции )з(х) з Мл (з) = ) )з (Р', (у)) с~у. о При решении задач 3.139 — 3.143 можно использовать следующее простое замечание. Если случайные величины фь .. „$„независимы и одинаково распределены, а число )з ( и, то наборы ь$~ЬР ° ° ° ~Ьз) 1~11' $2~...(В»»»я, одинсково распределены и для любой измеримой функции 1(хо ... ..., х„) случайные величины ч~„,.,лз ' У(В'Р ° ., В~„)» где 1( О, ..., 1,~ и, О зьз, (гчьз), тоже одинаково рас пределены.
ЗЛ39. Пусть вероятностное распределение Р на пло» скости В' таково, что если точки Хн Хз, Хз»н В~ неаа» внснмы и имеют распределение Р, то Р(Хь Хз, Хз лежат на одной прямой) О. Найти математическое ожидание угла Х,ХзХз. ЗЛ40*. Случайные точки Аь Аз, Аз, Аз независимы и имеют равномерное распределение в выпуклой плоской фигуре С = Вз, площадь которой равна 1.
Доказать, что вероятность того, что выпуклая оболочка точек Аь Аз Аз, А» есть треугольник, в 4 рава больше математиче» ского ожидания площади треугольника АзАзАз. 3.141», Пусть вероятностное распределение Р на пло скости Яз таково, что если точки Хн Хз, Хзш Вз нева знснмы в имеют распределение Р, то Р(Хц Хз, Хз лежат нв одной прямой) = О. Показать, что если точки Х„Хю Хзш Вз независимы и имеют распределение Р, то Рз Р(один из углов ЛХ~ХзХз не меньше 120') ~ 1/20з ' 3.142». Пусть верояткоствое распределение Р на плоскости такое же, как в задаче 3,141.
Показать, что если точки Хь Хз, Хз, Хз л В' пеаависимы и имеют распределевие Р, то Р4 = Р (Хь Хъ Хз, Х» образуют выпуклый четырехугольник) ~ 1/5. 3.!43. Независимые случайные величины $ь $з, ..., $ коложительвы и имеют одвваковое яевырожденное расйз пределевие, Обозначим Чз + + . Найти: а) математическое ожидание Ч,; б) коэффициент корреляции т1з и ЧК в) коэффициент коРРелации Ч~ +... + Чз и Ч~+ ° + Чь 3.144. Из урны, содержащей М белых и )у — М чериых шаров, по схеме случайного выбора без возвращения вынимаются все шары. Обозначим т~ число шаров, извлеченных до пояэлеввя 1-го белого шара (включая этот шар); т~ — число шаров, извлеченных после (1 — 1)-го, белого до появления 1-го белого включительно, твы— число шаров, иавлечеввых после М-го белого шара. Йайти Мть 3.!45.
Обозначим через Я(Ль..., Аз) площадь выпуклой оболочки точек Л„..., Л„юг)з. Установить тождество 25(Аь Лт. Лз, Лз)= 5(Аь Лз, Аз)+Я(Аь Аз, Аз)+ Я(Ль Аз, Аз)+ +Б(Аз, Аъ Аз) и вывести из вего, что для независимых одинаково распределенных случайных величин $ь $м йз, Ь'итт' М3(Вь $з ез $е) 2МЯ($ь $к $з) ° 3.146.
Случайвые величины $, Ч (возможно, зависимые) обладают ковечвыми дисперсиями: О~э о„, ОЧ =от. Указать пределы, в которых может изменяться Ой+ Ч). 3,147. Пусть ь ($ь ..., $„)ю Л" — векторная случайная величина. Доказать, что если М~$2 (, 1 = 1, ..., Я, то !м~! к м!~~, где)х! ~Гх', + ... + х'„' при л (х„.. „хз) ек Н». Вт 3.148.
Пусть ь е+ !ц — случайная величина, принимающая комплексные значения. Докааать, что если МЦ! (, М]г]! <, то ]Ми ( МФ. 3 149. Покааать, что если з н и — независнмые случайные векторы в $$'„а (х, д) х д~+...+ хада — скалярное произведение векторов х =(хн ..., х,) и д = =(дь ..., д,), то М(ь, г!)=(Мй, Мп)* 3.150. Пусть $ь ЕИ ..., DŽ— случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями.
Доказать, что если все этн величины одинаково коррелированы, т, е. р($ь з;) С прн любых 1, ) ы (1,..., л), $ чь), то С)» — „—. $*'' 3.151. Доказать, что если М!з]ь ( оо, то )А х" Р ( ! е ! » «х) = О. 3.152. Показать, что если ф — действнтельная случай- ная величина с конечным математическим ожиданием и г(х) — функция, выпуклая вниз, то М(Ц) > ) (Мф), а если Дх) выпукла вверх, то М) Я) -~ ~ (Мф) . 3.153. Показать, что для любых случайных величин ьь йк ..., 4, с конечными г-ми (г~'-1) моментами спра- ведливо соотношение м!В,+...+~„!".ай- (ма,! +...+Ма.!). 3 154. Доказать, что при 1 < г~'2 справедливо не- равенство !х + д!' + ]х — д!' ч' 2(!х!" + ]д! ), -оо ( х, д ( оо, н с его помощью показать, что если случайные величи- ны З и г! независимы и распределение т) симметрично (т. е.
распределения г! и -ц совпадают), то при любом г,1~г(2, М!В+ д!' < М]В!'+ М! и! . 3.155. Показать, что если случайные величины $ь ... З„независимы, имеют симметричяые распределения и М]~<!'( о, 1 1, ..., н, для некоторого гы(1, 2], то ма,+...+В.! <ма,! +...+Ма.!. 86 3.156». Показать, что' если случайные величины $ и т1 независимы, Мц О, и М!5!'(, М!ОР(» для некоторого действительного г 3- 1, то М4+ Ч('> М!з(' ° ЗЛ57. Используя задачи ЗЛ53 — ЗЛ56, доказать, что если $ь ..., $„— неаависнмые случайные величины, М5, = О, М)$,Р ( оо, » = 1, ..., н, для некоторого г, 1 ~ ° Яг< 2, то м!21 +... +5„! 2 (М! 2, ( +...
+ М! ~„! )'. ЗЛ58, Случайный вектор $=($о ..., ф„) принимает значения в В», и существует такой набор чисел (ао, ан..., а»)чь(0, О, ..., 0), что Р(аД1+...+а»з»+аз 0) 1. Доказать, что если все элементы матрицы ковариаций В = 1сс1 компонент вектора $ конечны, то: а) де1В 0; б) (а„...,а»)В (В(а,...а»)ч)т-О, где т — анак транспонирования. 3.159. Случайный вектор $.=($ь ..., ф») принимает значения в В' н имеет математическое ожидание т ~ В» и матрицу новарнаций В 1Ь»1. Доказать, что: а) матрица В неотрицательно определена, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
