А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Условная плотность $ при условии т( = у определяется формулой г".ч( ' ") рт,ч(х у) Ры„=з (х) — 'ч ) ""; (3.24) рт. ч (" у) тГа м 61 а условное математическое ожидание — формулой СО О хр~ „(х, у) Ух М ($ ) ч) = у) = ~ хр, (х) Ах рз (х, у) Ых Рассматривая условную плотность рк„(х) как случайную величину, которая при т) = у принимает аначепие Рпг-т(х), получаем М(з! г)) = ) хр (х)дхт гг(В~ )) = ) (х — М(Д~г)))гр Формулы (3.20) и (3.22) остаются справедливымп и в атом случае, а (3.21) заменяется формулой рг(х) = Мрих(х) Перечислим основные способы вычисления математического ожидания. При подходящем способе аадапия закона распределения случайной величины наиболее удооным моягет оказаться прямое вычисление по формулам '(3.6), (3.7) или (3,9), (3.11), (3.12).
Иногда легко вычисляются или имеют простой впд условные математические ожидания. Тогда для вычисления безусловных математических ожиданий используется формула полного математического ожидания (3.20). Использование свойств аддитивности и мультипликативности математического ожидания позволяет свести вычисление М$ к более простым вычислениям математических ожиданий величин, череа которые удается выра- вить з. Наиболее частым среди таких приемов является прием введения сумм индикаторов. Индикатором собыгпя А называется случайная величина К Кл(го), принимающая значение 1, если ге~А, н значение О, если го т-.
А. Часто оказывается, что можно укааать такие события А„Аг, ..., А„, что интересующая нас величина представляется в виде В = х,, + х~ + " + х.„. Особенно удобно то, что свойство аддитивности верно и для зависимых слагаемых.
Таким образом, сз~ Мул = ~х~ зР(А»). А» Пример 3.8. Пусть й„— число переходов от успеха и неудаче.или обратно в п испытаниях схемы Бернулли, в которой вероятнооть успеха в отдельном испытании равна р. Найти Мй. и 0д„. Р е ш е н и е. Представим»1 в виде суммы инди- каторов Ч.-в1+вз+" +$ -и и, следовательно, МЪ = МЬ +...+М1.— Найдем теперь Мт)в.
Так как е-1 4-1 е-з в=ХМ+ й~;=Х~ з=» КЗ 1 ' «ьо 1Ф» 2(п — 1) р(1 — р), +2 Х |Днз+ Х Щ Н-»1~» и МЦ,„= р(1 „) р+(1 р), (1-р)-р(1-р), МЯЗ М»зМ~З 4р»(1 р)» ((1 1~ ,.в2) то Мд'„= 2р (1 — р) (и — 1) + 2 (и — 2) р (1 — р) + + 4р'(1 — р)'(и' — бп+ 8). Отсюда, используя обоакачение о ° 1 — р, получаем О дв М1)'„' — (Мз)„)» 4рд (1 — 3рд) и — 2ру (3 — 10рд).
Способы вычисления математических ожиданий с помощью производящих и характеристических функций рассматрива1отся в гл. 4. Прп вычислении математического ожидания можно пользоваться таки«е теоремой о монотонной сходимоегпи (есля $в е $в~.ы п = 1, 2« ...» Ит ье = ь и Мье» М» где $,= 1, если исходами 1-го и (1+1)-го испытаний бы ° ли соответственно «успех» и «неудача» или «неудача» з «успех». В противном случае $; = О. Тогда МК, = Р($; И = р(1 — р)+(1 — р)р = 2р(1 — р) конечны, то Мь =1пп М$„) н таеорежсй о хажорируемой слодимости (если ~ з„) » (ть Мт) ( оо, и ь 11т ьс в с вероятностью 1, то М$ = Пт М$„).
В частности, если в-~ ю $ = ~~Р~ сс, где ~е) О н ~З~М$„сходитсп„то М$ = ~~з~ Мь„. в з Приведем в заключение часто встречающиеся законы распределения. Сначала перечислим некоторые дискретные распределения. 1. Вырожденное распределение: Р(ь = а1 = 1, а — постоянная.
2. Гипергсомстричеслое распределение (параметры: У, М, п — натуральные числа, Л1 < чу, и -= )у): С~в)С~ Р(с =- т) = и, '~, т=О, 1, ..., пип(.ЪХ, п). 4, Распределение Пуассона с параметром Х» О: Р(с = й) —;е *, вч й = О, 1, 2, 5. Геол~етритесяое распределение с параметром р (О~ р=1): Р(В=у)=р(1 — р)', )с=о, 1, 2, ... Далее перечисляются некоторые абсолютно непрерывные распределения, определяемые плотностью р(л). 1.
Равномерное распределение па от(тезке (а, Ь1 а ,. Ь: р(а) = —, если а ~ а ' Ь, р(а) = О, если аю(а, Ь), 1 2. Норжальнос (пля гаусссвсное) распределюше с параметрамн а, о'-', — ( а <, О < о < 1 (е — а) 1 р(а) = ехр~ —,, ', — оо <" л*- оо. 3/2л с ~ Исе В4 3. Биножиальное распределение (параметры: и — натуральное число, О < р ( 1); РД=Й)=б'"„р (1 — р)™, )в=О,1,, и. Нормальное распределение с параметрамн (О, $) называют также стандартным нормальным распределением.
3, Показательное распределение с параметром ) ~ 0: р(х) Хе ы (к~О), р(х) 0 (х(0). 4. Гамма-распределение с параметрами Х " О, а ~ 0: йа а р(р)=,( ) е " (х. 0), р(х) 0 (х(0) 5. Распределение Копти с параметром д ) 0: Ь р(х) —, — оо с ха сс. 1+ Ь х Введем еще многомерное нормальное распределение. Коли сттучайные величины $ь йг, ..., С.
независимы и имеют нормальные распределения с параметрами (аю оьт), й = 1, 2, ..., г, соответственно, то г-нерная плотность нормального распределения имеет вид р (х„, ...,х,) Ь ' (,—,)'1 (2Я)нтс ... О„( г „бт Ясли в (325) ат ат ° ° ° а * 0 и о~ от ь..=о, о, то мы имеем плотность сферичггки симметричного нормального распределения .Р (хт, ...,х,) = т г 1 ь ( г я ) т ~ т о ь ~ 2 от ~ д ехр — —,~ хь~.
(3.26) ь 1 Эта плотность инвариантна относительно ортогональвых преобразований пространства П", оставляющих на месте начало координат. В общем случае говорят, что вектор т) =(т)т, ..., т),)тв ж Л' имеет нормальное распределение с ггкторомматгматических ожиданий а (Мт~т, „Мт),) и матрицгй коаа риаций В ) сот (т)в т)т)(, г т (короче: с параметрами ~(а, В)), если ов распределен так же, как вектор .тт $ (мт + К ь,, . „мт, + Х тр„), (3.21т т=т т 1 б А, м. зубгьэ и яо, ег где случайный вектор $ =Дь ..., $,) имеет сферичсски симметричное нормальное распределеипе с о~ =...
= = о, 1, а прямоугольная матрица ю»»» ° ° ° »и аы а„... а„„ такова, что матрица ковариацнй вектора ц», равная А'А (сп. задачу 3.274) совпадает с матрппей В. Параметры (а, В) определяют многомерное нормальнее распределение однозначно. Если матрица ковариаций В положительно определена, то ее определитель де1В. положителен и существует обратная матрица В* =(Ьп1 = В ', а нормальное распределение с параметрами (а, В) имеет г-мерную плотность р (х„..., х,) ехр~ — р ьт» Ья (л„— о~) (л~ — а~), 1 (ав) "мЛД в 1 3 'й„у Если же матрица В вырождена (бесВ=О), то нормальное распределение с параметрами (а, В) сосредоточено на гкперплоскости, размерность которой равна рангу В (см.
задачу ЗЛ59,б), и яозтому такое нормальное распределение г-мерной плотности не имеет. 4 1, Распределение вероятностей случайных величин В задачах ЗЛ вЂ” ЗЛ5 рассматриваются одномерные распределения; в ЗЛ6 — 3.38 — законы совместного распределения нескольких случайных величин; в 3.49 — 3.53— случайные величины, связанные с последовательностями испытаний. 3.1 . Распределение дискретной случайной величины $ определяется формулами Р(в= 1) = —, $ — 2, — 1,0,2.
1 Найти распределения величин пл — $, цз (в( 3.2'. Распределение случайной пеличипы 5 определи ется формулами РЦ - И = СИ(Й+ 1), й 1, 2, ... Най» ти: а) ' постоянную С; б) Р(в 3); в) Р(п~ ~ $ -6 пз). 66 3.3 . Распределение дпскретнон случайной величины $ определяется формулами: РЦ й) С/й(й + 1)(Й + 2), й = 1, 2, ... Найти: а) постоянную С; б) РЦ ~ 3); в) Р(п~ ~ $ ( пт). 3 4'. Плотность распределения случайной величины $ задана формулами: Ре(х) = С/хе пРи х ~ 1; р1(х)= 0 при х ( 1. Найти: а) постоянную С; б) плотность распределения 1) '= Щ; в) Р(0,1 «-" ц ( 0,3), 3 5.
Случайная величина $ имеет показательное распределение с параметром ох РЦ (х) =1 — е * (хд 0). Найти плотности распределения случайных величин: 2, 1 а) 01=7~; б) це=$е; в) цз= — 1о$. 3.6'. Случайная величина $ распределена так же, как в задаче 3.5. Найти плотности распределения величин: а) ц~ = Ц) (Ц) — дробная доля $); б) цз = 1 — е "'. 3.7'. Случайная величина $ равномерна распределена па отрезке [О, 1]. Найти плотности распределения величин: а) ц, = 2$ + 1„ б) цз =.
— 1п(1 — $). 3.8'. Случайная точка В имеет равномерное распределение па окруненостн хе+(у — а)та ее с центром в точке А =(О, а), а случайная точка С=(3, 0) является пересечением оси абсцисс с прямой, проходящей через А и /У. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины $, (Распределение $ называется распределением Коши.) 3.9'. Случайная величина 3 имеет распределение Ко- $ щи с плотностью ре(х) = — —,.Найти плотность рас1+х пределепия величин ц = Зз/(1+ $т), ь = 1/(1+ $'). ЗЛО. Стучайная величина $ имеет такое нее распределение, как в задаче 3.9. Найти плотность распределения случайных величин ц = 2$/(1 — $'), ~ = 1/$.
3.11. Пусть й(х) — плотность распределения случайной величины $," функция л(х) днфференцируема и на интервале (О, 1) монотонно возрастает от -ее до +ее. Найти: а) такую функцию ф(х), что случайная величина а=уф) имеет своей плотностью распределения /(х) =й(И(х))З'(х); б) распределение случайной величины ~ -а(ч). 3 12'. Случайная величина 3 имеет непрерывную функцию распределения К(х) = Р($ ~ х). Показать, что 5* 67 случайная величина т( =Р($) имеет равномерное распределение на отрезке (О, 1).
ЗЛЗ. Пусть ц нмеет равномерное распределение иа (0,1), а /г 1(р)=.епр(х: Р(х)<р), О~у<1, — функция, обратная к функции распределении Р(х) (но обяаательно непрерывной!), Доказать, что случайная величина 5=Р,(ц) имеет функцию распределения Р(х), ЗЛ4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
