А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Построить пример такого абсол|отно непрерывного распределения случайной величины $ с плотностью р~(х) и такой непрерывной функции л(х), что распределение случайной величины ц=ЗЦ) не вырождено к дискретно. ЗЛЗ. Функция распределения Г(х) непрерывна в кан». дой точке. Доказать, что она равномерно непрерывна на всей прямой — ( х ( 3.16'. Совместное распределение рв Р($~ $, $з /) случайных величии $ь $з задано таблицей: 7/24 2/$2 5/24 4/В Найти; а) одномерные распределения рь Р($, ° 1)„ р./ = Р Йз ='/);б) совместное распределение де ° Р(т(1 1, цз=/) случайных величин ц|= 2, +ам цз ЗДз, в) одномерные распределения до = Р(т(т /), д./ Р(т), ° /). ЗЛ7'.
Случайные величины ь и т) независимы. Йайти РЦ ц), если: а) 3 и ц имеют. одно и то же дискретное распределение Р($ = х~) Р(ц — х,) = рм й О, б) функция распределении $ непрерывна. ЗЛЗ . Совместное распределение $, ц является равномерным в единичном круге х'+ у' в2 1. Найти Р(1~) в2 3/4, ),~' 3/4).
ЗЛО'. Плотность совместного распределения величин с, ц определяется равенствами: р~ „(и, и) 1 при (и, и) вб, рь„(и, о) 0 прн (и, и)ФО, где 6 ((и,о)7 68 пь1п г(и, и) ~~ — 1, ььсь .л олсль О~и(2, 0(о«.1 — ' — и~. Найти плотность распределе .т ння р,[х) случайной величины $. 3.20 . Плотность совместного распределения рьь,ьт(и, о) величин Сь, $, определяется равенствами рь,л, (и, п)— С(и+ о) при О~и«1, 0«о«1 и рь л (иь и) = О, в остальных случаях.
Найти: а) постоянную С; б) одно- мерные плотности распределения $ь п $ы в) плотность РаспРеделениЯ Ч пьах($ь, $з). 3.21'. Плотность совместного распределения величин 2 Ь, $ь определяется равенствами: рь Л (и, ьь) я (а + ььь) з при и" + п'~)1 и рь л (и, о) О в остальных случаях. 1' ь Найти плотность распределения Ч = 'г' $~ ь+ альм 3.22. Случайные величины 2 и Ч имеют плотности распределения Дх) и д(х) н функции распределения ь.
(х) и сь(х) соответственно. Случайный вектор (ьь ьь) имеет плотность распределения р(х, у) ((х)д(у)(1 + г(р(х), 6(у))), где функция г(х, у) удовлетворяет условиям ь 1 1 г(и, п) ьььь = ~ г(и, п) ь(иии О. ьь о Найти плотности р, и рь распределения компонент ьь и ьт вектора ь. 3.23. Неотрицательные случайные величины $ь, Ь независимы и имеют одну и ту же плотность распределения р(х), х > О. Найти плотность д(и, о) совместного распределения случайных величин Чь $ь — Ь, Чз = )/ Ы ььь 3.24. Случайные величины сь, $2 независимы и имеют одну н ту же плотность распределения р(х). Найти совместную плотность распределения д(г, ьр) полярных координат (г, р) точки ($ь, $з).
3.25'. Случайные величины аь и сз независимы и имеют одно и то же показательное распределение: РЦь « «х)=1 — е *, х~О, ь=1, 2. Найти Р([$ь — $ь[«1). 3.26'. Случайные величины $ и Ч незазисимы и имеют равномерное распределение на отрезке [О, а1. Найти плотности распределения случайных величин: а) $ + Ч; б) $ — Ч; в) $Ч; г) $/Ч.
Ве 3.27'. Случайные величины 5 и т) независимы н имеют показательное распределение с плотностью е ' (х ~ О) каждая. Найти плотность распределения: а) 5+ тб б) $ — '); в) 15 — д1; г) $/т). 3.28, Найти плотность распределения суммы 5+ т~, если 5 и д неаависимы, 5 имеет равномерное распределение в отрезке (О, (), а г) — равномерное распределение в отрезке 10, 2). 3.29'. Найти плотность распределения суммы неаависнмых случайных величин $ н д, если 5 равномерно распределена в 10, Ц, а д имеет показательное распределение с плотностью е * (в ~ 0). 3.30. Случайные величины 5п 2п 5з независимы н имеют равномерное распределение в 10, Ц. Найти плотности распределения сумм: а) Ь + $т~ б) $~+$з+ $з. Найти Р(0,5 ~ $~ + $з + $з ~ 2,5). 3.31'.
Точка (5п 5,) имеет РавномеРное РаспРеделе» ние в квадрате ((х, у): 0 < х ( а, 0 ~ у ~ а). Показать, что распределения случайных велнчян 1$~ — 5з1 и вип Цп 5т) совпадают, т. е, что для любого ( Р(15~ — $~1 ( Н = Р(ппп (фь ~~) ( ~). 3.32', Найти распределение суммы двух независимын слагаемых $~ н $п если слагаемые распределены: а) показательно с одним и тем ьче параметром пд б) по закону Пуассона с параметрами Х~ и Хз. 3.33 . Случайные величины 5ь ..., 5„независимы и распределены показательно с одинаковым параметром сз» Найти плотность распределения величин: а) гп -птах Цп ..., 5„), б) яз шЫ(2„..., 5 ).
3.34'. Случайные величины $, и зз независимы и имеют гамма-распределения: 3~ — о параметрами (Х, а), $з — с параметрами (Х, 5). Пользуясь формулой ю — (( — т) — й -— — з т Г(а)Г(3) Г(а+р) з о найти плотность распределения случайной величины Ь+ Ь. 3.35. Счучайные величины $ь ..., $„независимы( случайная величина 5, имеет гамма-распределение с па» 70 раметрзнн (Х, а,), 1= 1... „п. Найти плотность распределения случавной величины $~ +... + $„. 3.36'.
Случайные величины $п ..., с независимы н имеют показательное распределение с параметром Найти плотность распределения суммы $~ + ... + $„. 3.37'. Найти плотность распределения случайной воличины ц 4 + 4, если $ь $з независимы и равномерно 1 2 распределены в'отреаке «О, 1). 3.38. Случайные величины $ь сь ..„в„, н Рл 2, нева внсимы и имеют показательное распределение с плот- костью с-* (х ~ 0). Обозначим и = ' .. Найти $, + °" +й плотность распределения ц.
3.39. Величнвы ~ь Сз независпмы; Р($~ 0) РЦ~ = = П 1/2, $т равномерно распределена на отрезке [О, 1). Найти аакон распределения величины $~ + ~ь ЗЛО. Пусть случайные величины $ и ц независимы, имеет функцию распределенин г'(х), а ц равномерно распределена в интервале [а, Ь). Покааать, что $+ з) Р < — а~' — Г(з — Ь) имеет плотность 3.41'. Сумму двух независимых равномерно распреде ленных па (О, 1, ..., 9) случайных однозначных чисел й и ц мол~ко записать ввиде$+ т1 10ьз+ ~~ (О ~ ~; == 9). Найти законы распределения ~~ и ьь Зависимы ли ~$ и ь2.
3.42'. Произведение двух независимых равномерно распределенных на (О, 1, ..., 9) однозначных чисел $ н можно ааписать в виде $ц = 10"т+ ьь где 1п ьь— целые числа, принимающие значении от 0 до 9. Зависимы лв ~~ и Ьзг' 343. Случайнан точка А -($ь $х, сз)ыЛз имеет равномерное распределение на сфере х~+у~+г~ 1.
Найти распределение проекции (йь $д) точки А на плоскость (х, у) и проекции ф~ точки А на ось х. 3.44. Ввести на сфере в качестве координат широту я долготу, считал их изменяющимися в отрезках [ — н/2, н12) н [ — н, н) соответственно. Найти плотность рз(х) распределения широты $ случайной точки, имеющей равномерное распределение на сфере.
3.45. Пусть $п См Сз — независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение на множестве целых чисел от -н до л. Подберем многочлеи второй степени А (х) = азх + аьт+ ан принимающий прн 7$ х = — 1, О, 1 значения $!, $э, $з соответственно. 'Найти вероятность Р„того, что числа ас, а„аз целые. 3.46. К переговорному пункту с двумя кабинами но- дошли три клиента: 1-й и 2-й клиенты заняли соответственно кабины № 1 и № 2, а 3-й клиент остался ждать. Предполагая, что времена т!, тэ, тз разговоров клиентов .независимы и распределены показательно с параметром Х, найти: а) вероятность того, что 3-й клиент попадет в кабину № 1; б) плотность распределения времени ожидания 3-го клиента; в) вероятность того, что 3-й клиент закончит разговор раньше 1-го или 2-го клиентов. 3.47.
В переговорном пункте телефоны-автоматы располохсены в трех залах: в д-и вале и, автоматов (1= 1, 2, 3; я я!+яд+па), После перерыва посетители одновременно заняли все автоматы. Введем события А! (посетитель, закончивший разговор первым, находился в 1-и зале), 1-1, 2, 3. Найти вероятности событий Ао ! = 1, 2, 3, если времена разговора посетителей нвляются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с непрерывной функцией распределения. ЗА8.
Случайная величина ~ с равномерным распределением на [О, 1] записывается в виде бесконечной де- СО сятнчной дроби: $ ~ $„10 ",где ф„ — целые, 0 ( $„ ~ 9. !! ! Доказать, что слУчайные величины 4„$з, ... независимы. 3.49'. В схеме Бернулли с вероятностью успеха р обозначим через тд (й =1, 2,,) номер испытания, при котором происходит Й-й успех, и положим т! т!, тд* тд — тд-! (Й = 2, 3, ...). Найти совместное распределение величин т!, т,. Являются ли зги величины неэавнсимы ми? 3.50'.
В полиномиальной схеме с исходами (1,2, ..., У) вероятность Ого исхода в каждом испытании равна р!, 1-1, 2, ..., У. Полол!им 1, если в г-и испытании понвплся 1-й исход, еа,! = 0 в противном случае. Являются ли независимыми случайные величины: а) еь!, еь! (э,д,( — фиксированы); б) е, <, е, ! (эчьз); в) е!!,зз!,...,э.!; Ж' '' ж* Ж г) ~ э!дед, ~е,дед, ...д,с"„з„дед, если с„с„...,сл— д ! д ! д=! некоторые постояппыеГ 72 3,51 . Игральную кость бросают до того момента, когда впервые выпадает меньше пити очков. Обозначим через О число очков, выпавших при последнем бросании игральной кости, н черве т — число бросаний кости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
