А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Из урны, содержащей М белых и )«' — М черных шаров, последовательно без возвращения извлекают и ша ров. Пусть А«о(А)' ) — событие, состоящее в том, что (-й шар был черный (белый). Используя классическое опре деление случайного выбора (гл, 1), найти Р(А""ю~ А"'Асо „, А'о( = О, 1.
2.5. Решить задачу 2.4 в случае выбора с возвраще. пнем (с»ь введение к гл. 1, (1.3)). 2.6 . Случайный выбор двух подмпожеств А~ и А» ив множества Я (1, 2, ..., 59 производится так же, как и в задаче 1.23. Найти условную вероятность Р(1А~~ 7», !А»~ = (» ) А~ П А» = Э) того, что множества А» и А» со стоят из (~ и (» элементов соответственно при условии, что А~ и А» не пересекаются. В задачах 2,7 — 2.11 предполагаются заданными условные вероятности; при решении использу»отея формулы (2.2), (2.3). 2.7*. Среди 25 экзаменапиопных билетов 5 «хороших».
Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность того, что: а) первый студент взял «хороший» балет, б) второй студент взял «хороший» билет, в) оба студента взяли «хорошие» билеты. 2.8'. Два игрока поочередно извлекают шары (без возвращения) иэ урны, содержащей М белых и Ф вЂ” М 67 черных шаров. Выигрывает тот, кто первым вынет белый шар. Используя формулу (2,3), найти вероятность вы игрыша первого участника, если: а) Х 4, М 1; б) У =5,М=1; з) %=7,М=2. 2.9'. Из урны, содержащей М белых и Ф вЂ” М черных шаров, по одному без возвращения извлекаются все ша- ры. Используя определение случайного выбора в терми- нах условных вероятностей, найти вероятности событий~ А, =(Й-и гоар белый), В„, = (к-й и Ьй шары белые), Сь~ = (к-й шар черный, а (-й белый).
2ЛО'. Из урны, содержащей 3 белых шара, 5 черных и 2 красных, два игрока поочередно извлекают по одно- му шару без воавращения. Выигрывает тот, кто первым вынет белый шар. Если появляется красный шар, то объявляется ничья. Пусть А~ =(выигрывает игрок, на- чавший игру), Аз = (выигрывает второй участник), В (пгра закончилась впичью). Найти Р(А~), Р(Аг), Р(В).
2Л1'. Из урны, содержащей № белых шаров, № чер- ных и № красных, последовательно без возвращения из- влекают шары до тех пор, пока не появится красный шар, Используя формулу (2.3), найти вероятности сле- дующих событий: 1) вынуто п~ белых шаров и ле черных; 2) пе появилось ни одного белого шара; 3) всего вынуто й шаров, 2Л2'. Из урны, содержащей а белых и Ь черных ша- ров, два игрока извлекают шары по очереди, Выигрывает тот, каму раньше попадается белый шар. Найти вероят- ность выигрыша первого игрока в случаях, когда шары извлекаются: а) по схеме равповероятного выбора с возвращением, б) по схеме равновероятного выбора без возвращения.
2ЛЗ'. Иа урны, содержащей а белых и Ь черных ша- ров, три игрока извлекают шары по очереди, Выигры- вает тот, кому раньше попадается белый шар. Найти вероятности Рь Рн Рз выигрыша 1-го, 2-го, 3-го игроков в случаях, когда шары извлекаются: а) по схеме равновероятного выбора с возвращением, б) по схеме равновероятного выбора без возвращения.
2Л4, На остановку прибывают автобусы маршрутов 1, 2, ..., й, Номера последовательно прибывающих авто- бусов получаются по схеме равновероятно~о выбора с возвращением из урны, содержащей шары с номерами 38 Показать, что любые два события из Ан Аз, 'Аз независимы, по все три события Аь Аз, Аз зависимы. Являются ли зависимыми события А~Аз и Аз7 2,20 (см. 2.19).
Обобщая пример, приведенный в предыдущей аадаче, покааать, что для любого целого яд-4 существует совокупность (Ап ..., А„) событий, обладающая следующими свойствамп; а) события Аь ..., А„не являются независимымн, б) прв удалении из Ап ..., А„любого события остающаяся совонупвость состоит из независимых событий. 2.21». События Ап Аз, ..., А„удовлетворяют условиям Является ли (Ль ..., А„) совокупностью нвзависимых событий1 2.22э. Пространство элементарных событий 0 состоит из о элементов. При каких й пэ подмножествах П можно определить вероятность Р и события Ап ..., А„так, чтобы события Аь ..., А, были пезээисимыми в совокупности в О~Р(А)(1 (1 1, 2, ..., й)1 2.23~, Пространство элементарных событий 1) состоит из и> 4 элементов. Прв каких 4 можно так определить на подмножествах 1) вероятность Р и события Аь ..., А„ что 0(Р(А )( 1 (1 1, ..., 4) и события А~, „А, попарно независимы? В задачах с 2.24 по 2.28 предполагается независимость некоторых собы гий; требуется вычислить вероятности других событий.
2.24'. Упрощенная система контроля изделий состоит нз двух невависимых проверок. В результате й-в проверки (Й=1, 2) изделие, удовлетворягощее стандарту, отбраковывается с вероягностью бм а бравоэанное иэделие принимается с вероятностью аа. Изделие принимается, если оно прошло обе проверки. Найти вероятности событий: а) бракованное изделие будет принято; б) ивделие, удовлатворяющее стандарту, будет отбраковано. 2.25'. Измерительное устройство состоит из двух приборов, Вероятность безотказной работы й-го прибора за рассматриваемый период времени равна 1 - сг, (й 1, 2).
Оценить вероятность р того, что оба прибора будут ра. ботать: а) если поломки происходят независимо; б) если ничего не известно о зависимости между поломками этих приборов. 2.26 (см. задачу 1.38). Два человека купили по одной карточке лотереи «б из 49» и независимо друг от друга отметили по 6 номеров. Найти вероятности событий: а) каждый получит минимальный выигрыш~ б) каясдый получит какой-либо выигрыш. 2.27. Электрическая цепь составлена из элементов Ам й= 1, 2, ..., 5, по схеме, приведенной на рис. 4.
При выходе нз строя любого элемента цепь в месте его включения разрывается. Вероятность выхода из строя за даи ный период алемента А„равна р„, й 1, ..., 5. Предполагается, что элементы выходят или не выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность события С = (за рассматриваемый период по цепи может проходить ток).
2.28'. По цели производится п независимых выстрелов. Вероятность попадания при 1-м выстреле равна ре с=1, ..., п. Найти вероятность того, что при и выстрелах будет не менее двух попаданий.. 4 3, Формула полной вероятности 2.29'. В первой урне находятся 1 белый и 9 черных шаров. а во второй — 1 черный к 5 белых шаров. Из каждой урны по схеме случайного выбора без возврашення удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали е третью урну. Найти вероятность того, что шар, вынутый нз третьей урны, окажется белым. 230', В первой урне лежит 1 белый шар я 4 красных, а во второй — 1 белый н 7 красных.
В первую урну до4т бавляются два шара, случайпо выбраппых из второй урны. а) Найти вероятность того, что шар, выбрапяыи из пополяеяной первой урны, будет белым. б) Пусть из пополненной первой урвы по схеме слу- чаипого выбора с возвращеиием извлекают я п>аров, Найти вероятпость того, что все опи будут белыми. 2.31'. Из урпы, содержащей 2 белых и 3 черных ша- ра, наудачу извлека>от 2 шара и добавляют а урну один белый шар.
а) Найти верояткость того, что после этого паудачу выбраппый иэ урны шар окажется белым. б) Пусть из урны оо схеме случайпого выбора с воз- вращением извлекают й шаров, Найти вероятность того, что все опи белые. в) Найти ту же вероятность, что в и. б), для схемы выбора без возвращения. 2.32', В пункте проката имеется !О телевиаоров, для которых вераятяость исправной работы в течение месяца равна 0,90, и 5. телевизоров с аналогичной вероятностью, Равной 0,95. Найти вероятность того, что два телевизора, взятые наудачу в пункте проката, будут работать ис- правяо в течение месяца.
2.33'. В одной урне содержится 1 белый и 2 черных шара, а в другой урне — 2 белых и . 3 черных шара. В третью урну кладут два-шара, случайно выбрап- иых из первой урпы, и два шара, случайно выбраяпых иа второй. а) Какова вероятность того, что шар, извлечепный из третьей урны, будет белыми б) Найти вероятность того, что при выборе с возвра- щением из третьей урин двух шаров один из пих будет белым, а другой — черным, в) Найти ту же вероятяость, что в и.
6), для схемы выбора без возвращения. 2.34'. Изделия поступают иа проверку, описанную в задаче 2.24. Предполагая, что каждое изделие удовлетво- ряет стандарту с вероятностью р, найти следующие зе- Роятпости: а) вероятность того, что поступившее на проверну изделие пе будет отбраковала; б) вероятность того, что пеотбракованиое изделие удовлетворяет стандарту, 2.35'. Из урны, содержащей М белых и )У вЂ” М чер- ных шаров, утеряло г шаров, Сравнить вероятяости из- 42 влечения белого шара: а) до утери; б) после утери при г = 1; в) после утери прн г ) 1.
2.36. Отрезок [О, а) случайной точной делится на две части, из которых случайно выбирается одна часть. Обозначим ц длину выбранной части. Найти Р(ц ~х), 0~ ~ я ~ а, предполагая, что координата Ь случайной точки равномерно распределена на отрезке (О, а) и вероятности х)ыбора любой из полученных частей отрезка одинаковы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
