А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Найти вероятность рз того, что случайно взятое натуральное число из мнонсества (1, 2... „?У) делится на фиксированное натуральное число Й. Найти Ню р . н (ЛО. Из чисел (1, 2, ..., Л) случайно выбирается число а. Найти вероятность р„того, что: а) число а не делится ни па аь пи па ам где а~ и аз — фиксированные натуральные взаимно простые числа; б) число а не делятся ни на какое из чисел аь ап ..., ом где числа а, — натуральные н попарно взаимно простые.
Найти 1(пх рл з случаях а) и б). и аа 1.11. Из множества (1, 2..., ?У) случайно выбирается число а. Найти )1гп р, где рз — вероятность того, У ято ез — 1 делится на 10. 1Л2. Ив множества (1, 2, ..., 30 случайно выбирается число а. Найти вероятность рз того, что а ' при делении на целое число г Р- 1 дает остаток д. Найти )нп р„. и ао 1.13. Целое число $ случайно выбирается пз мнон<ества (О, 1, 2, ..., 10" — 1). Найти вероятность того, что в десятичной записи это число ?г-зпачпо, т.
е. представимо з виде 3 = $„° 10'-' + ~,, ° 10" з+... ;--.,+$г 10+чп где О~Ь~9 при всех ( 1, ...,?г и $„>0 (й~1). ' 44 1Л4. По схеме случайного выбора с возвращением иэ множества натуральных чисел (1, 2, ..., Ж), выбираются числа г и ц. Найти вероятность д„того, что ф и ц взапиво просты.
Найтн )ио дя, используя вэвестыое' ра- ч, 1 в» венство » » ! !Лб . По схеме случайного выбора с воавращением па множества целых чисел (1, 2, ..., М выбираются чис- ла $ и ц. Обозначим р„вероятность события $'+ ц'~ ~Ю'. Найти ))ш р я 1Л6. По схеме случайного выбора с возвращением нз множества целых чисел (О, 1, 2, ..., 10" — 1) выби- раются числа $ и ц. Обозначим р вероятность того, что сумма $ + г) будет т-значным натуральным числом в десятичной ааписн. Найти вероятности р„,»н Й 0,1, ..., н,н9„=1ш~р „+,, Й=0,1,2,... »-~с» 1Л7. По схеме случайного выбора с возвращением нз множества целых чисел (О, 1, 2, ..., 10" — 1) выби- раются числа $ и ц. Обозначим р„вероятность того, что произведение Сц будет т-злачным натуральным чис- лом в десятичной записи.
Найти д„= )ип р,„д„Й »» = О, 1, 2, ... 1.!8". Из множества (1, ..., У) по схеме случайного равновероятного выбора с возвращением выбираются Ф элементы Х„..., Хю а по схеме равновероятного выоора без возвращения — элементы Хз, ..., Хз. Показать, что для любой совокупности,аз = (Ан ..., Ан), состоящей из попарно равлнчных Й-элементных подмножеств А,=(а~„..., ас») ~ (1,, й>, 0<Р((Х",, ..., Х",! =л5! — Р([Х,', ..., Х,')ен,М)<фС,'. 1Л9».
По схеме случайного выбора с возвращением из множества натуральных чисел (1, 2, ..., М, )т'~ 4, выбираются числа Х и У. Что больше: Рз Р (Х' — У' делится на 2) нли Рз Р(Хз — Уз делится на 3)) 1.20. По схеме случайного выбора с возвращением нз множества натуральных чисел (1, 2, ..., Л'), %~6, 15 выбиразотся числа Х и У. Показать. что Р (Х' — У' — 0(шод 2)) ( Р (Х' — У'- О(шой 3)) ( ~ Р (Х« — У' 0(шой 5)).
1.21. По схеме случайного выбора с возвращением нз множества (1, 2, ..., )У) выбираются числа Х и У. Используя малую теорему Ферма (если р — простое число и целое число а не делится на р, то а' ' - "1(пюд р) ), найти вероятность з,»з(р) того, что число Х» ' — У' ' делится па простое число р. Найти Нш Чл(р) 4»(р), Нш ф~(р) = ф и эо р,н-~ 1.22*. По схеме случайного выбора с возвращением нз множества (1, 2, ..., з»') выбираются числа Х и У. Показать, что при )»') 4 Р (Хз+ Уз 0(пзод З)) ~ Р(Х»+ Уз =0(зпод 7)), 126. Из совокупности всех подмнонсеств множества Я * (1, 2, ..., % по схеме выбора с возвращенпезз выбираются мноя«ества Ан Аз.
Найти вероятность того, что Аз Л Аз= Ы. 1.24. Из совокупности всех подмножеств множества 8 (1, 2, ..., Я по схеме выбора с зозвращопн-м выбираются подмножества Аь Аз, ..., А,. Найти вероятность того, что множества Ап Аз, ..., А, попарно пе пересекаются.
1.25*. В урне содержится (2н+ 1)' карточек, на каждой нз которых написана упорядоченная пара целых чисел (л, у) (л и у принимают значения от — и до н, каждая пара чисел написана ровно на одной карточке). Из урны по схеме выбора без возвращения извлекаются три карточки: ($п т)~), («з, «)з), (йз, з)з). Рассмотрим зтн пары как координаты случайных точек Ен Ез, Ез плоскости в декартовой снсгеме координат.
Найти вероятность р„ того, что Ез симметрична Ез относительно Ез. 1.26'. Брошено 10 игральных костей. Предполагается, что все комбинации выпавших очков равновероятны. Найти вероятности событий: а) не выпало яи одной «6»; б) выпало ровно три «6»; в) выпала хотя бы одна «6»; г) выпало хотя бы две «6».
1.27. Из множества (О, 1, ..., )т') по схеме равповероятного выбора с возвращением извлекаются числа «6 Хь ..., Х„,. Пусть Ь»о"~~ = Р(Х«+ ... к Х = й), 0((«~~т)(г, а) Доказать, что Ь»,к Ь к-»,к б) Доказать, что т. е. что «»кк«»1 ук-р ( — 1) С» дит»т (у+ Н лк« о'=« 7« == О, 1,, т)У '1 28 Найти вероятность того что в помере случайно выоранного в большом городе автомобиля сумма первых двух цифр равна сумме двух последни =. 1.29. Некоторые москвичи счнта«от трамвайный, трол- лейбусный илк автобусный билет «счастливым», если сумма первых трех цифр его шестизначного номера сов- падает с суммой последних трех цифр. Найти вероят- вость получить «счастливый» оилет. 1.30'.
Из карточек разреапой азбуки составлено сло- во «СТАТИСТИКА». Затем из этих 10 карточек по схе- ме случайного выбора без возвращения отобрано 5 кар- точек. Найти вероятность того, что иа отобранных кар- точек можно составить слово «ТАКСИ». 1.31'. Из 30 чисел (1, 2, ..., 29, 30) случайно отби- рается 10 различных чисел, Найти вероятности событий: А (все числа нечетные), В = (ровно 5 чисел делится на 3), С = (5 чисел четных и 5 нечетных, причем ровно одно число делится на 10).
1.32', Из урны, содержащей М~ шаров с номером 1, Му шаров с номером 2, ..., Мк шаров с номером )»', случайно беа возвращения выбирается и шаров. Найти вероятности событий: 1) появилось т~ шаров с номером 1, ту шаров с номером 2, ..., т шаров с номером г«; 2) каналий нз У номеров появился хотя бы один рав.
1.33'. Иэ множества чисел (1, 2, ..., У) по схеме выбора без возвращения выбираются числа Ц1 п $». Найти Р Ц«) 5,). Нрн выборе трех чисел найти вероятность того, что второе число лежит между первым н третьим. 2 А, м. зубков в ав. 17 1.34'. Из множества чисел (1, 2, ..., Ю по схеме выоора без возвращения отобрано и различных чисел. расположим их в порядке возрастания: ггп ( з<, ~. ... (з,„,. Найти вероятность того, что з,, < М(з< «и, вычислить ее предел при (У, М «~, М/Д' — а ы (О, 1!. 1.35. Из множества (1, 2, ..., Ы случайно без возвращения выбирается 9+ 1 чисел: зь хк ..., л,«ь Первые й чисел, расположенные в порядке возрастания, обозначим лп, ( х,м (... ( х„ь Найти Р (хш ( л,+~ ( хо,,п).
1.36. Десять рукописей разлоясепы по 30 папкам (па одну рукопись 3 папки). Найти вероятность того, что в случайно выбранных 6 папках не содержится целиком ни одной рукописи. 1.37. За круглый стол расса;пинаются в случайном порядке 2л гостей. Какова вероятность того, что гостей можно разбить на п непересекающихся пар так, чтобы каждая пара состояла из сидящих рядом муылкньг и женщнны7 1.38'. Участник лотереи «6 из 49« на первой карточке отметил номера (4, 12, 20, 31, 32, ЗЗ), а на второй— (4, 12, 20, 41, 42, 43). Найти вероятность того, что участник получит ровно два минимальных выигрыша, т.
е. что каждый из этих яаборов имеет ровно 3 общих элемента с набором номеров (аь ..., а«)~ (1, 2, ..., 49), появившихся при розыгрьгше тиража. 1.39. Найти вероятность того, что при случайной расстановке двух падей на шахматной доске они не будут угрожать друг другу. 1.40". Найти вероятность Р„ того, что прн случайной расстановке й (2 ( Ф ~ 8) ладой на шахматной доске никакие две ладьи не будут угрожать друг другу. При каких й эта вероятность меньше 1(2? Меньше 1(1007 1.41, Собираясь в путешествие на -воздушном шаре, Пончик положил в каждый иа 20 карманов своего костюма по прянику.
Через каждые 10 минут полета у Пончика возникает желание подкрепиться, и он начинает в случайном порядке просматривать свои кармапы до тех пор, пока не найдет очередной пряник. Найти вероятность того, что поиск й-го пряника начинается с пустого кармана. 1.42. В условиях задачи 1.41 найти вероятность Р« ,того, что первые Й пряников Пончик найдет с первой $6 попытки. Вычислить эти вероятности при й 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1.43з. Решить задачу 1.42 в случае, когда число карманов в костюме Пончика равно 10, н в каждый карман Пончик положил по 2 пряника, Найти численные значения вероятностей при 4 =1, 2, 3, 4, 5, 6.
1А4. По 20 карманам своего костюма Пончик разложил 18 пряников и 2 конфеты (по одному предмету в наждый карман), Для той же схемы, что в задаче 1.41, найти вероятность того, что первые два раза Пончик бу дет подкрепляться конфетамп. 1.45. Решить задачу 1.44 в случае, когда в костюме Пончика 10 карманов и в один карман Пончик положил 2 конфеты, а в остальные — по 2 пряника. 1.46. В каждой иэ трех урп лежит по три карточки. На карточках в первой урне написаны числа аь ам аз, во второй урне — числа Ьь Ьз, Ьз, в третьей— числа с|, сз, сз, Из кан|дой урны наудачу вынимается по карточке.
Пустых, 9, 7 — числа на карточках, вынутых нз первой, второй, третьей урн соответственно. Найти Р (а < 6), Р(() < 7) н Р(7 < а) в случаях, когда: а) (аь аз, аз)=(Ь!, Ьз, Ьз)=(с|, сз, сз)=(1, 2, 3), о) (а|, аг, аз)=(1, 2, 3), (Ь!, Ьз, Ьз)=(2, 3, 4), (с|, сз, сз)=(3, 4, 5), в) (а|, аз, аз)=(1, 5, 9), (Ь|, Ьз, Ьз)=(2, 6, 7), (с|, сз, сз)=(3, 4, 8), 1.47*.
В условиях задачи 1 4|6 найти такой способ расстановки чисел на карточках, при котором сумма Р (а < р) + Р (р < 7) + Р (7 < а) принимает нанболыпее возможное значение. Чему оно равно7 1.48. Пусть $ь $з, эз, $4 — числа, выпавшие прн одновременноз| бросании четырех игральных костей. Найти Р Цз) 4|), Р Цз) $з), Р(з, > зз) н Р($| ) йз) в двух случаях: а) на гранях вал|дай кости написаны числа 1, 2, 9, 4,5,6; б) на гранях первой кости написаны числа 6, 7, 8, 9, 23, 24, на гранях второй — числа 10, 11, 12, 13, 14, 15, иа гранях третьей — числа 1, 2, 16, 17, 18, 19, на гранях четвертой — числа 3, 4, 5, 20, 21, 22.
1Л9. В условиях аадачи 1.48 найти такой способ расстановки чисел на гранях, прн котором сумма Р($з~$|)+Р($з>5з)+Р($|>эз)+Р(2 >из) принимает наибольшее возможное значение. Чему оно равноу 2з зе 1.50. Равнаеероятной схемой размещения частиц иа ячейкам называют схему размещения, в которой но- мера ячеек, последовательно занимаемых частицами, нолуча~от посредством случайного выбора с возвраще- нием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
