А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Ьна;а; (а, Ва))0 для любого аен Я»; цз-» б)а если ранг матрицы В равен г, то существует г-мерная гиперплоскость В, <= В", для которой Р($» »нЫ = 1, и Р(з»нх., 1) с 1 для любой (г — 1)-мерной гиперплоскости Х„, = В». 3.160, Случайные величины фь $м ..., $„незавпспмы н равномерно распределены в отрезке (О, 1). Найти РЯ~ + $з +... + $„~ х) при 0 < х»Я 1. ЗЛ61. Случайные величины фь фм ... независимы и равномерно распределены в отрезке (О, 1). Определим случайную величину т равной тому значению Й, прн котором впервые сумма $~ + $» +,, + 5» превзойдет 1.
Найти Мт. 3.162. Случайные величины фь ..., $ пезависимьц Щ~=с~, ~=1, ..., и. Прн каких сь ..., с„, удовлетворяющих условиям с» > О, с|+... + с„= 1, случайная ве- 69 личина ц„сд, .г... + с„$„имеет минимальную дисперсию? Найти минимальную дисперсию.
3.163, По известному «правилу трех сигм» вероятность отклонения случайной величины от своего математического ожидания более чем на три корпя из дисперсии мала. Найти Р(!$ — М$! (ЗЮф), если $ имеет: а) нормальное распределение; б) показательное распределение; в) равномерное распределение на отрезке (-1, 1); г) Р(з =-1) =Р($ = 1) = 1/18, Р($ — 0) = 8/9,' д) распределение Пуассона с Мф 0,09.
3.164, Вычислить математическое 'ожидание я дисперсию определителя Ы$е)~~с, „, элементы которого $е — независимые случавные величины с М;е 0 и рзьт ог 3.!65. Пусть матрица Е !!$Д,(;",,-ч, где фь ..., $ независимые случайные величины, имеющие спмметрич. ные распределения (т. е. распределение $, совпадает с распределением — $ь г = 1, ..., и), Показать, что если М)$~!' ( сч, 1 = 1, ..., я, для целого й ~ 1, то МР— диагональная матрица. 3.166. Неотрицательная случайная величина й имеет монотонно убывающую выпуклую вниз плотность распределения /(л), /" (х)) О. Что можно сказать о анаках величин М з)п $, М соз $г ЗЛ67. Обозначим т)„= щах (р„, я — р ), где ц — число успехов в схеме Бернулли с и испытаниями и с вероятностью успеха р.
Найти Ипз и гМт)„. ЗЛ68. По последовательности фь фм ... всшатаний Бернулли (РЯ,=1) р) О, РЦ< 0) = о 1 — р~О, $ь $н ... независимы) построим последовательность пар (Ь, ьз), (зъ $4) ° ... и вычеркнем ив атой новой последовательности все пары вида (О, 0) и (1, 1). Для й 1, 2, ... положим ~, равным первому члену й-й вевычеркнутой пары. а) Показать, что ць т)з, ...— последовательность независимых случайных величин, Р(тр, 0) Р(т(з 1) = 1/2, й = 1, 2, ...
б) Найти математическое ожидание числа т членов исходной последовательности, использованных для того, чтобы определить значение ць ЗЛ69. По той же последовательности $ь 5, ..., что в задаче 3.168, построим последовательность троек Б~ Ь $з), ($е $ь, $з), ... в вычеркнем из нее все трой- ки вида '(О, О, 0)' и (1,' 1, 1). Для й = 1, 2, ... положим ц~ равным 1, 2 или 3 в соответствии с номером того члена й-й невычеркнутой тройки, который отличается от двух остальных. а) Показать, что т(п т(з, ...— последовательность независимых случайных величин, Р(ц,-В 1/3, Э=1, 2, З,дляй=1,2,...
б) Найти математическое ожидание числа членов исходной последовательности, использованных для того, чтобы определить значение Чь ЗЛ70". В партии и изделий, каждое на которых независимо от остальных с вероятностью р удовлетворяет стандарту, а с вероятностью д 1 — р — не удовлетворяет ему. Изделия проходят проверку, описанную в за» даче 2.24. За каждое изделие, удовлетворяющее стандар ту и прошедшее проверку, предприятие получает а рубл за иэделие, прошедшее проверку, но не удовлетворяющее стандарту, уплачивается штраф Ь руб;за изделие, не про шедшее проверку (забракованное), уплачивается штраф с руб. Найти математическое ожидание прибыли предг приятия, полученной за партию из н изделий.
3.171. Координата $ случайной точки А на действи тельной прямой имеет непрерывную функцию распреде ления. Найти на этой прямой такую точку В, для которой математическое ожидание длины отрезка АВ минимально. ЗЛ72. Случайные величины ф, ц имеют непрерывную двумерную плотность распределения. Как выбрать точку В-(х, у)жВ', чтобы величина <р(х, у) М(~$ — х~ + + ~т1 — у~) была минимальной7 ЗЛ73. Случайнан величина $ имеет конечный второй момент М$з. Найти шшМ($ — х)' и то аначенне х, при котором этот минимум достигается. ЗЛ74, Математическое ожидание нвадрата расстояния случайной точки Х ~и Вт от начала координат конечно.
Для какой точки А минимально М!АХ~э? ЗЛ75». Уровень весеннего паводка на реке является случайной величиной $ с непрерывной функцией распределения Г(х)= РЦ ч'х). Плотина рассчитана так, чтобы выдерживать паводок уровня не выше г. Предполагая, что уровни паводков в разные годы независимы и одинаково распределены, найти: а) минимальное значение х, при котором математическое ожидание времени до разрушения плотины паводком будет не меньше Т = 100 лет; эт б) минимальное зиачение х, при которои вероятность разрушения плотины паводком за Т = 100 лет будет не больше а = 1<'100.
3.1?6». Наблюдения эа уровнями весенних паводков в течение Т лет дали значения 5<, ..., $г На реке построена плотина, которая может выдержать паводок, если только его уровень не превосходит ь, = шах (ь<, ... сг). Пусть т,=шшП: $г+< ~ ьг) — время до разру. шения плотины паводком. Предполагая, что случайные величины $<, $м ...
неэависимы и имеют одну и ту же непрерывную функцию распределения, найти формулы для Мтг, Р(т*~ и) и численные эначения этих величин при Т = 100, и = 10. 3.177. Случайные величины $<, $м $з независимы и имеют одно и то же распределение с конечным математическим ожиданием, 3<<< -"Я $<м ~ ф<м — их вариапиоиный ряд (см. эадачу 3.60). а) Докаэать, что 3 М(5<м — $< >)- 2 М~В~ — $~!. б) Доказать, что 3 М(ш<п($<ю — $«ь $<г> — $<г>)) ~ — М ! $< — Вг). ЗЛ78.
Будем говорить, что случайная величина 3 сосредоточена на отрезке )а, Ь], если Р(а < $ ( Ы = 1 н при любом е ) 0 Р(а( В(а+ в) ~ 0 и Р(Ь вЂ” е (5< Ы)0. Доказать, что дисперсия случайной величины, сосредото ченной на отрезке длины 1, не превосходит 11/4. ЗЛ79. Доказать, что если случайные величины г)<, <)т независимы и Ч< сосредоточена на отреэке длины (<, 1 = 1, 2, то сумма <)<+ <)г сосредоточена на отреэке длины 1 )<+Ем ЗЛ80. Говорят, что случайная величина $ имеет безгранично делимое распределение, если при любом натуральном и ее можно представить в виде суммы $<+... ...
+ $ независимых одинаково распределенных случайных величин. Докаэать, что невырожденное беэгранично делимое распределение не может быть сосредоточено на конечном отрезке. ЗЛ81. Пусть события А<, Ам ..., А таковы, что Р(А):=р, 1=1, ..., и, и событие В (происходит не 93 менее лт иэ событий 4ы ..., 4„). Показать, что щах ~0, ~ ~:; Р(В,„) (щ(в~1, — ~~~. 3.182.
Случайная величина $~ имеет функцию распределения Р'~(л)= РЦ~ ~ х), а случайная величина зт— функцию распределения Рт(х). Доказать, что если Г~(х)(рт(л) при всех хж( — », ), то М$~ ~Мам 3.183. Случайные величины й и ц заданы на одном вероятностном пространстве. Описать множество возможных значений РЦ < Ч) в следующих случаях: а) М$1, Мц 10 б) $ и Ч одинаково распределены; в) з распределена равномерно на [О, 1), а ц — равномерно на [О, а), а чь 1. 3.184. Случайные величины $ и ц имеют равномерное распределение на отрезке [О, 1). Доказать, что при любом характере зависимости между $ и ц МЦ вЂ” Ч[ ~ П.
ЗЛ85. Случайные величины $ и ц независимы и име. ют равномерное распределение на отрезке [О, 1[, а слу чайная величина ь удовлетворяет условию РЦ $) Р(ь ч) = 1/2. Указать совместные распределения 4, ц, ~, при которых достигаются экстремальные значения Мь, и найти мак симальное я минимальное возможные значения Мь. ЗЛ86. Случайная величина $ имеет непрерывную функцию распределения г" (х), случайная величина принимает только значения 0 и 1: Р (т, — 1) = а, Р (2 О) = 1 — а.
Укааать совместные распределения $ и т,, при которых достигаются экстремальные значения М$",(, и найти эти экстремальные значения. 3.187. Случайные величины $ и ц независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [О, 1[, а слу чайная величина Ь удовлетворяет условию Р(~ = 9 р я-. 1/2, Р(~ 0) = 1 — р. Укавать совместные распределения 4, Ч, Ь, при которых достигаются экстремальные значения Мь, и найти эти экстремальные значения. ЗЛ88. а) Векторы а=Як $з) и ц=(ць т(з) независимы и сотДь $р)чь О, сот(т(к цр)чь О, Могут ли компо- 99 ненты $1+ т(т и фа+ т)т вектора $+ т) быть некоррелиро' ванными) б) Нектары ф = (фп $з) и т) (цп т)т) независимы н имеют зависимые компоненты: Р($~ К хп 5 к хз) ~ Р($~ ~ хдРЦз ~ хз), Р(т( =- , цт ~ х ) ~ Р(т) < )Р(т) < хх) Могут ли быть независимыми компоненты $1+ т)1 и Ь+, + т(х вектора $ + т)? 4 3.
Условные распределении 3.189'. Случайные величины $ и т) независимы; Р($ = й) Р(т! й) = рд' ', (( 1 — р, 0<р<1, й=1, 2, Найти: .) Р(й= ); б) РЦ= ); в) Р(ВСО); г) Р(5 =й!В)ц); д) Р(Ъ=й($(т)); е) Р(ф = й!ф = т!); ж) Р($ = й!5 + ц = Н; з) М(ф!$+ т! =Н, (> 2. 3.190'. Найти распределение целочисленной неотри- цательной случайной величины $, если: а) Р(0'" $ ( ) = 1, Р($= й+1($)й) =Р, й =0,1,...", б) РЦ>0) =1, Р($=й+1(амтв(й, й+1)) =с <1/2, й 0,1,...; в) Р($)0) 1, Р(с = й+ 1(5ен(й,й+1))= г)0, й=0,1, ...
ЗЛ91 . Случайные величины $, т( независимы и оди- наково распределены. Найти условную плотность рите„=,(х) распределения $ при условии ф+ т(=з в сле- дующих случаях: а) $ и т) имеют показательное распре- деление с плотностью р(х)=Хе-', х>0; б) $ и ц рав- номерно распределены в [О, 1); в) $ и т) имеют распре- деление с плотностью А'хе-'*, х Р О. 3.192'. Найти условную дисперсию 0($($+ т! =х) в случаях а), б), в), определенных в предыдущей задаче.
ЗЛ93'. Случайные величины $, т( независимы и оди- наково распределены. Найти М(ф($+ т) =з). Разобрать отдельно случаи, когда $ имеет дискретное распределе- ние или положительную плотность. ЗЛ94'. Плотность совместного распределения величин $, т( определяется равенствами: р, „(и, о) 1 при (и, и) ж 94 ее 6, р,,(и, и) 0 при (и, и)ФС, где С [(и, и): О~~и~я: 1 (2, 0(о с.1 — — и~. Найти плотность р„я,(х) условного распределения >( при условии $ г. 3.195. Пусть $>, $г, ..., з — результаты и последовательных испытаний Бернулли, РЦ< 1) р, Р(э> 0) 9 =1 — р.
Доказать, что для любого й (О- 'й-Я и) условное распределение набора з =($>, ..., $„) при условии $> +... + $„= Й является равномерным на множестве всех С" наборов, состоящих из й единиц и и — й нулей. 3 190. Случайная величина Х> имеет биномнальное распределение с параметрами (и, р), случайная величи-.
на Хг при условии Х> имеет биномиальное распределение с параметрами (Х„р), Хэ — при условии Х> имеет биномиальное распределение с параметрами (Хю р), ... ..., Хг при условии Х» имеет бикомиальное распределение с параметрами (Х, >, р). Доказать, что безусловным распределением Х„ является биномиальное распределение с параметрами (и, р"). 3.197. Случайныв величины $>, $г, ..., ~ независимы н распределены по закону Пуассона с параметрами й>, Аг, ..., йз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
