А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Случайные величины $ь 3о, 3о независимьо и имеют стандартное нормальное распределение, а 3», < Х 3<о, = 3,о, — их вариационный ряд (см., задачу 3.60). тс4 в)' Найти распределение вектора ($з — $<, зз — й<)'; б) Найти плотность р(х<, хз) распределения вектора (ь<2< ь««$<з< ь«<) ° в) Найти распределение случайной величины (ь<з< — з«<)/(В<з< — ь«<) 3.271. Случайные величины ф<, $ю зз и з«< < з<з< ~ з<з< те же, что в задаче 3,270.
а) Найти распределение вектора (~з — в<, Ъ вЂ” зьз). б) Найти плотность р(х<, хз) распределения вектора й<з< — Ф«О< Ф з< — $<з<) в) Нанти распределение случайной величины (с<<< В«<)/(з<з< ь<п). 3.272. Случайные величины $<, 3з, ь независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Положим -( если с<$з = О, (~(зло(СДз), если СЕ<~О, где здп(х) = х/(х( при х Ф О. а) Найти вектор математических ожиданий и матрицу ковариаций вектора ($<, Ь "з) б) Найти распределепле $з и совместные распределе- ния векторов (Ь, ьз) и (Ь, ьз) в) Найти плотность р(х<, хз, хз) распределения вектора (й<, $з, Сз).
Является ли оно нормальным) 3.273. Используя предыдущую задачу, построить при- мер случайного вектора ($ь сз, ..., З.), распределение которого не является нормальным, но любые и — 1 его координат взаимно независимы и имеют нормальное рас- пределение с математическим ожиданием О и диспер- сией 1. 3.274'. Случайный вектор в =($<, ..., вз) имеет сфе- рически симметричное нормальное распределеняе с нуле- вым вектором математических ожиданий и едпничной ко- вариационной матрицей.
Найти распределение вектора т) = с~А, где А — действительная матрица с й строками и т столбцами. 3.273. Случайная величина $ =(с<, ..., в ), имеющая нормальное распределение в /<" с нулевым математиче- ским ожпданнем и невырожденной матрицей ковариаций А = 1ао1, не зависит от случайной действительной вели- чины т), имеющей функцию распределения Р(х), М<)з 1. Найти математическое ожидание и матрпцу ковариа- цпй случайной величины <)$ =(<)3<,, <<ь.). 3.276, Случайные величины $<, $<, ..., $., <) незави- симы и имеют стандартное нормальное распределение. 105 Найти распределение вектора ь = ~$, 1~1 — а~ + Оа„$, у' 1 — а', + да„...
...,3.1/1 — '„+Ч „), где ип аа, а — числа из отрезка (О, 1). 3.277. Случайные величины фп ви ..., $„независимы; ~, имеет нормальное распределение с параметрами (О, о;), 1 = 1, 2, ..., и. Найти распределение вектора ц-йц Ь+ Ь Ь+ Ь+ Ь, ", 5~+ Ь+".+$.). 3.273. Случайные величины $п ва ... независимы и имеют нормальное распределение с параметрами (О, 1). Найти минимальное значение х, при котором Р (из ах () $, (, ! $, ), ..., ! вь Д ~ ~2) ) — „. 3.279. Случайный вектор в =(ьп ..., $„) имеет й-мерное нормальное распределение с математпческнм ожиданием аж В' и ковариационной матрицей А.
Что больше: 1п (Мы . ° ° 3а1, М 1п ) $~... ф,( пли 1п М 1",~... $„(7 3.280. Случайный вектор ч =(3п $г)ж У имеет двумерное нормальное распределение с нулевым вектором математических ожиданий и коварпацнонной матрицей с о о,') ).Найти условное распределение 3~ .прн усло..) вии $з =х. 3.281. Распределение случайного вектора с =(2п вг) ю ~ивет таково, что при любом хж( —, сю) условное распределение й~ при условии 3г х и условное распределение $з при условии $~ х нормальны.
Является ли нормальным распределение вектора а? Глава 4 ПРЕДКЛЬНЫК ТЕОРЕМЫ. ПРОИЗВОДЯЩИЕ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В курсе математического анализа рассматриваются различные виды сходимости последовательностей функций: равномерная сходимость, сходимость почти всюду, сходкмость в среднем квадратичном и т. и. По аналогия с этим и в теории вероятностей рассматриваются раз- 106 личные виды сходимости последовательностей случайиьгх величин (как функций, заданных на пространстве элементарных событий), а также последовательностей функций распределения.
Приведем определения тех видов сходимости последовательностей случайных величин, которые используются в задачах атой главы. Пусть на вероятностном пространстве (И,,5Ф, Р) ааданы случайные величины а„$„(ге) (ю ю й, и = 1, 2, ...) и случайная величина $ = $ (ю), Облюй, Последовательность $н ат, ... сходится к случайноа величине $ с вероятностью 1 (почти навернос), если Последовательность ~н $з, ... сходится к случайной величине с по вероятности, если для шобого с ~ О 1пп Р Я $„— $ ~ ) е) = О. Последовательность $ь $м .., сходится к случайной величине $ в среднем квадратичном, если 11 ш М ( $„— с !' О. Последовательность функций распределения г'„(х) Р($ < х), и = 1, 2, ..., слабо сходится к функции распределения р(х)= Р($ сх), если для лгобой точки х, где р(х) непрерывна, выполняется соотношение Пш Ра (х) Р(х) з-~ю (в атом случае говорят также, что последовательность случайных величия $н Си ...
сходится к $ по распределению; при этом $, $~, $з, ... могут быть заданы па различных вероятностных пространствах). Все зги определения естественным образом распространяются и на случайные величины $п $м ... и в, принимающие векторные значения. Понятие сходимости по в е р о я т н о с т и чаще всего используется, когда предельная случайная величина имеет вырожденное распределение (Р($ = а) = 1 для некоторого числа а) и 1 +сз+ ... +' н где ьь ьт, ...— случайные величины (не обязательно не- зависимые или одинаково распределенные): если 11шР~~ ' " " — а~)е~ О для любого е)0, (4.1) то говорят, что последовательность ~ь ьзр...
удовлетворяет закону больших чисел. Из неравенства Чебышева Р() — МЬ~)е) С0$ нетрудно вывести, что если случайные величины не коррелированы, Мь = а, С»ь„о' ~ » (и = =1, 2, ...), то (4.1) выполняется; однако закону боль- пгих чисел удовлетворяют и другие последовательности случайных величин (см. задачи $1). Если вместо (4.1) выполнено соотпогпепие (и) + ... + 4„(ы) Р)ю: 1(ш ' '" = а) 1е (4.2) в 1,+ ° .+4„ т. е. последовательность сходится и числу н а с в е р о я тн о с т ь ю 1, то говорят, что последователь- ность ~ь ьг, ...
удовлетворяет усиленному закону боль- ших чисел. Соотношение (4,2) выполняется, например, если случайные величины ~ь ьз, ... не коррелирова- ны, М~„-а, 0~ о''= (и 1, 2, ...), см. задачи 4.22 — 4.24. Пример сходямости по распределению дает Ц е н т р а л ь и а я и р ед е л ь и а я т е о р е м а.
Если Ьт, „..— независимые одинаково раснределенные слу- чойные величины, Мь„=а, (м,„о'( ° (и 1, 2, ...), то для любого х, — о <х(оо, х 14,+" ° +4 — 1 1 р 1!ШР~ ' '" ~(х) == ! е )гди Ф(х). »»»щ о ~~ е )»»2а Сходимость распределений центрированных и нормированных сумм случайных величин к стандартному нормальному распределению имеет место и при других предположениях о случайных слагаемых (см. задачу 4.134 и другие задачи из $ 3). Другим важным примером сходимости по распределению являются теоремы о сходимости к распределению Пуассона (см. задачи 4.1О5 и 4.113). 108 Практическое значение предельных теорем состоит в том, что они позволяют аппроксимировать распределения допредельных случайных величин $ (при достаточно больших и) распределением предельной случайной величины $; это особенно полезно в тех случаях, когда аналитическая запись функции распределения $ проще выражения для функции распределения 2„.
Следует иметь в виду, однако, что вопрос о том, достаточно лн велико п для того, чтобы обеспечить нужную точность приближения, в каждом случае требует особого исследования; см., например, задачи 2.61, 2.62, а также 4Л07, 4Л23, 4Л24. Доказательства предельных теорем могут использовать как прямые вероятностные методы (изучение распределений допредельных случайных величин или их моментов, см. задачи из т 2), так и аналитические методы, основанные на использовании свойств производящих или характеристических функций распределений допредельных случайных величин (см. задачи из $5). Если случайная величина $ принимает только целые неотрицательные зяачения, то прои водящей функцией распределения В называется функция комплексного пеРеменного з ~Ф(з) = Мз = Х 3 Р К й), (з(» 1; А-о производящую функцию поясно рассматривать и в случае, когда Э принимает и отрицательные значения, если область сходимости ряда в правой части последнего равенства отлична от окружности Ы 1.
Если случайная величлпа $ принимает деиствительные аначения, то характеристической функцией Распределения В называется функция действительного переменного Ф в частности, если распределение $ абсолютно непрерывно в имеет плотность рт(х), то ~т (1) ) есмрт (х) дх. Перечислим важнейшие свойства производящих н характеристических функций. 1. Если Р()в(( о) 1, то функции 1~(г)=Меоз я ~рз (з) = Мз' непрерывны и 11 (О) = <э, (1) = 1.
108 2. Если М!5)»( для некоторого целого й> $, то е»п „»,(») ~ = »'мй, —,ф,(х) м; ' е ег г !в (по поводу обращения этих утверждения см. задачи 4.67, 4.95, 4.66). 3. Если случайные величины 5п 5», ..., $. пезависнмы, то )т,+...+»„и) -1$!(г)" й„(О, фз + +» (х) фз (е) фз (х) (обратное утвер»кдение неверно, см. задачу 4Л57)'. 4. Если производящие (илн характеристические) функции распределений случайных величии 5~ и $» совпадают, то совпада»от и функции распределения 51 п 5». 5. (Теорема непрерывности.) Последовательность Р„(х) Р($„~ х) (я $, 2, ...) Функций распре. деления слабо сходится к Функции распределения Р(х): =РЦ ~ х) тогда и только тогда, когда существует непрерывная фуякцвя )(г)-П 1 И)» где )„(») Меи»ю В етом случае )(») Мео», н сходимость ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
