А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 22
Текст из файла (страница 22)
4.55. Последовательность случайяых величин $т, $т,... и последовательности чисел ат, аь ... и Ьь Ьи ... удов- летворяют условию 11в Р~ " "~(х = Ф(х) для любого х, ~х((оо. а-о ! а т т т т Пусть ап аз, ... н Ьп Ьт ° ° ° — две другие последователь- ности чисел. Рассмотрим три группы условий; аа . Ьа а) .11в —" 1[в —" = 1о а оо а п.ото тт а б) 11п1 (а„— аа) =11в(Ьа — Ьа) = От а и-тоо т аа — а, Ь, в) Пв — От 1пп ~," = 1. а-то а а~то а Какие из условий а), б), в) обеспечивают выполнение соотношения 1$а — аа 1пп Р ~ — ", а < х = Ф (х) для любого х, 1 х ~ ( оо? ь„ 4.56.
Последовательность случайных величин фь $ю... сходится к случайной величине $ по распределени1о. а) Пусть существуют и конечны величины т М$, та М$а, т 1пп та. Какие из соотношений пг(т„, т т„, пг~ т„могут, а какие не могут выполняться? б) Ответить на вопрос и. а) при дополнительном ус- ловия М$т ( оо, 1пп мапо( оо. 125 4.57. Последовательность случайных величин$ь3з,...
сходится к случайной величине 3 по распределению. а) Пусть существуют и конечны величины М М~з, ЛХ, М4'„М Нт М„, Какие из соотношений М(М, М М, М)М могут, а какие не могут зыполнятьсяу б) Пусть существуют н конечны величины а' ОС о,' = 05„, о.*. Пщ о,',.
Канне из соотношений оз(о, о' о, аз)о могут, а какие не могут выполнятьсяу 4 3. Характеристические и производящие функции В этом параграфе задачи 4.38 — 4.83 связаны с вычислением производящих функций, моментов случайных величин и характеристических функций, в задачах 4.84 — 4.99 рассматриваются различные свойства характеристических функций, а в задачах 4.100 — 4104 вычисляются характеристические функции специальных распределений и исследуются свойства многомерного нормального распределения. 4.58 .
Найти проиэзодлщие функции целочисленных распределений; а) пуассоновского: Р(ч= 4) = —,е — ', й — О, 1, 2, ... 0(1~ со; б) геометрического: Р Ц )з) = рд', й =- О, 1, 2, ...; р, д~О, р+д=1; з) биномиального: Р (ь Ц Сер"ч" "„й = О, 1, ..., п; р, д>0, р+о=1. 4.59'. Найти производнщую функцию ~р(з) числа успехов в я независимых испытаниях, если вероятность успеха в каждом испытаннп равна р.
Используя этот результат, найти формулы для М~ь„, Мзэ',Ы (е = 1, 2,,), о~„. 4.60'. Производящая функцпя распределения случайной величины $, принимающей целые неотрицательные значения, равна р(з) Мз'. а) Найти М4, 04, М(4 — М$)з. б) Найти производящие функции ~р;(з) = Мз' случайных величин ь1=-$/2, ьз=2$, ьз — э и ьз=Ь вЂ” эн 126 где $1 и $г — независимые случайные величины, имеющие то же распределение, что $.
в) Доказать, что при Ь > а ) 0 М вЂ” = ~ го-~гр (г) Ыг т $ -г о о о М ($ + а) ($ + Ь) ~ гь-о-о ~ па»ЬР (и) о)и <цг о о 4.6Г. Пусть т~ — порядковый номер первого нз испытаний схемы Бернулли (т. е. последовательности независимых испытаний), которое окончилось успехом ,(вероятность успеха в каждом испытании равна р, неудачи — Ч = 1 — р). Найти Мть ЭтьМг С 4.62'.
В схеме Бернулли обозначим через Оо порядковый номер испытания, в котором появился Й-й успех; считая вероятность успеха в каждом испытании равной р, найти: 1) Мв., ЭЕ,; 2) ~ро, (г) Мг~о, 4.63. Закон распределения случайной величины определяется формулой Р($ и) С„:,'р Ч", п т,т+1, ..., где ло — целое пололонтельное число, 0 ( р ~ 1, Ч = = 1 — р. Найти производящую функцию распределения $ н М$, 0$. Показать, что распределение $ совпадает с распределением суммы т независимых одинаково распределенных случайных величин. 4.64. Е1айтн закон распределенпя т( $1+ $о+ $а, если $ь $ю $з независимы н при )г = 1, 2, 3; 0 < р(1, ч= 1 р' Р($о=1) С~~, Р "Ч' "о, 1 тю т„+1, ...
4.65. Случайная величина о распределена по закону Пуассона с параметром Х н не зависит от результатов испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха р. Обозначим д, число успехов в .первых т испытаниях схемы Бернулли, Найти: а) Чо (г) Мгоо б) М(г„0(г,. 4,66. Производящая функция совместного распреде'- ления величин $ц зз Равна (г) гз(аз г азъ'~з 3 2 ) где рз+рз+рз 1, р<~0, 1 1, 2, 3. Найти: а) одномерные распределении Ь и $з, б) М$~ М4з 0$ь (7$з, сот(5ь $з). Явлнются ли величины $~ и 4 независимымиу 4.67.
Целочисленная неотрицательнан случайная величина $ имеет производящую функцию зрз(г). Доказать, что если для целого Уз > 1 уз 11ш — з (рз (г) лзз ( со . .1$ )д и то Мй'" М4($ — 1)...Д вЂ” Уз+ 1)= ть 4.68. Пусть $„з — число появлений з-го исхода в и независимых испытаниях с ду несовместными исходами и вероятностью р, полвленкя у-го исхода в каждом ис- пытании (У = 1, ..., Уч'), Найти зп,з зп, и а) ~р (г„..., гл) = Мг, ' ... гл ' б) М$~~), Ма~~)ЙУу(злу' й 1 1, 2 ). 4.69. Пусть выполнены условия предыдущей задачи и У 4, з).д = $.,К з).,з =$.,з+ 3.,з, ц.,з- $.л, 1 з К„з+$„з+~ ((=1, 2, 3). Найти производящие функцпн Распределении векторов (т) л, з) л, ц,з), (ь»л, ь„,з, ь з) и коэффициенты корреляции р(з)ез цаз), р(1пд ~пз) ° 4.70.
Пусть величина ч имеет распределение Пуассо- на с параметром ). и не зависит от исходов испытаний полиномпальной схемы, описанной в задаче 4.68. а) Найти производящую функцию распределения случайного вектора ", = (зьк ..., ьт,в). б) Найти производящую функцию распределения числа р„компонент вектора $„равкыг уг. 4.71. При каких значениях параметров дробно-линей- и-,'- бг ная функцпя ~р(г) — ' будет производящей функцпт+ 6з ей целочисленной случанной величины? 4.72.
Производящан функция целочисленной случай- ной величины $ равна щ(г), Найти характеристическую функцию $. $26 Прв каких условиях можно представить $ в виде $ ~$1+$2+ ° ° ° +$«< где $1, ..., $„независимы и при любом 1= 1, ..., в< случайная величина $, имеет биномиальное распределение с параь<етрами (и<, р<) (и< ~ 1, 0 ° р, ~ 1) 7 4.78.
Случайная величина $ принимает только целые значения, и /(г)= Ме<н — характеристическая функция распределения $. а) Доказать, что при любом целом й д- 1 « — 1 Р ($ = 0 (я<о<( й)) —, ~ ~ ~ — ). 2-2 б)' Найти формулу для Р ($ ° т (во<( й) ) при пз 1,2,...,й — 1. 4.79. Независимые случайные величины $1, $2, имеют равномерное распределение на множестве (1, 2, ..., Зй).
Найти я<ах Р»$»+ ... + $,',= — 0(я<о<(З)»2 «~1 пня Р»$', + ... + $,"< 0(я<о<)8)». «~1 4.80. Случайные величины $1, $2, ..., $„независимь<. Доказать, что для любого действительного Х, удовлетворяю<пего условиям Мел<~со<11 справедливо равенство Ме~(22+»+ее) П Ме" 21. Епт 4.81. Случайная величина $ принимает действительные значения. Доказать, что для любога )взйствительяого а Р($ -'".л) ~п<1е ' Ме'42 ь Р ($ ( л) ( (п1 ез<'Ме-ьа, 2<~а 4.82. Пусть р„обозначает число успехов в и независимых испытаниях е вероятностью р успеха в каждом 130 испытании. Доказать, что при а( р Р(р„.и ап)(Я вЂ” ~) ~ — ) ~ .
Найти аналогичную оценку для Р ()л„~()п) нри р~ р и для Р((л. ~ п~2) нри р)1/2. 4.83. Случайные величины $ь $м ... независимы и одинаково распределены. Доказать, что если М!3л( ( и при некотором б ) 0 ввр Мел л( оо„ »ел<а то М$» — Ме' л~ оо и для любого е»0 существ лз В. л» вует такое а, ен (О, 1), что Р (4'+ " ' Р 4" ~ М2, + .~ (,", аналогично, если зир Ме лтл(сю, то »ел~а 4.84'.
Случайные величины $ь $» и х независимы, характеристические функции $л и Ез равны )~(1) и 6(1) соответственно, Р (к 1) = 1 — Р (к = 2) = р ю(0, 1) . Найти характеристическую функцию случайной величины Ч $« (распределение з) называется смесью распределений $~ н $»). 4.85. Показать, что если Р(~ь! ( о») =1, то функция 1(1)= Ме"', — (1(, равномерно непрерывна. 4.86. Характеристическая функция 1(1)=Ма»п принимает только действительные значения. Доказать, что нри любом действительном » 1(1) = 1( — г), 4.87. Найти характеристическую функцию: а) равномерного распределения на отрезке (О, а1; б) «треугольного» распределения с плотностью се(1 — а(х() при )х((а-', Ро( ) 0 нри (х)>а-', 131 в) распределения с плотностью ба / д (х) = — ~1 — соз — ( — со ~ х ( сс. а з( а (' В случае в) найти значение С„, при котором д (х) оказывается плотностью вероятности.
4.88. Случайная величина $ имеет нормальное распределение с параметрами (О, аз). Установив тождество м' -х'/зс' т 1 = е е Их= Ь < —.„ савв )/1 - ввс' 2с найти с его помощью формулы для Мц и 09, где ц = $е"~ . 4.89. Функция ((~), — ( Г ~ е, обладает следующими свойствами: а) )(О) = 1, ) (~) Р- 0 для любого г; б) )(1) = )'( — 1) для любого 1; в) графиком )((), 0 ~ а(», является выпуклая вниз ломаная линия, состоящая яз конечного числа звеньев. Явлвгется ли )(г) характеристической функцией распределения вероятностей г' 4.90. Функция )(~), — » с т ( >, обладает следующими свойствами: )(О) = 1, ) (1) ) О, 1(1) = )( — 1) для любого 1, )Щ непрерывна и )" (8)» 0 для любого стыд.
Является ли )(~) характеристической функцией распре.- деления вероятностей3 4.91. Пусть а ~ 0 и функция )~(~) имеет период 4а, )т(~) ==1 — —, )1((2а. а) Является ли )~(Ц характеристической фувкцней3 б) Является ли характеристической функцией функция )1(г) = (1! (г) ! г 4.99. Случайные величины $п ..., ф, (х 1) независимы и имеют функцию распределения Г(х), случайные величины Ч'ь ..., ть, независимы и имеют функцию распределения 6(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
