А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 24
Текст из файла (страница 24)
4Л28. Пусть вектор в =(зь ..., в„)я В" имеет равномерное распределение на единичной сфере в сс(", Используя результаты задач 4.127 и 4.125, доказать, что при и со: а) распределение есуа сходится к стандартному нормальному распределению, б) распределение вектора (асуп, ..., е~уп), й сопзс, сходится к совместному распределению 1с независимых случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение. 4Л29.
СлУчайные величины 1с, $п Зз, ... независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Распределение случайной величины йэ Ф'(И+ ... +4'„,)/. называется распределением Стьюдента с п степенями ссободьь Найти 1пп Р (т„< х)з — сю < х < со, я-в 4ЛЗО, Пусть $,» обозначает число появлении с-го исхода в и независимых испытанинх с )т несовместными исходами; вероятности появления этих исходов з каждом из испытаний равны рь рз, ., рз ~ 0 соответствен- 140 но, р~+... + Р„=1. Далее, пусть а„..., ૠ— действи- телытые числа н п„аД„, т+... + а»ф„ю чи ыча Найти Мо, Оп и предельное распределение прн н-» оо. 4Л31. Случайные величины $ь $т, ...
независимы и одинаково распределены; М$„=а, 0$~ Ьт, 4=1, 2, ... Положим т1, $»+$»+~+5»+», а 1, 2, ... Найти: а) МЧ„(Ч„Ч,) И" 1), ОЧ,; ,,+...+',„ я-~м ь )/з» 4Л32, Случайная величина $, распределена по закону Пуассона с параметром Х. Найти 1пнР ~ ~х. 4ЛЗЗ. Два игрока ааняты азартной игрой, 'состоящей в подбрасывапки несимметричной монеты, которая падает «гербом» с вероятностью р > О и «решкой» с вероятностью а 1 — р > О. Ставки игроков в каждом туре равны соответственно ат > О и а» > О руб.; если монета падает «гербом», то выигрыш а~+ а» получает первый игрок, если «решкой» вЂ” то второй.
Предположим, что истодные капиталы игроков бесконечны, и обоаначим через 8 суммарный выигрыш первого игрока ва н туров, (О а через Я„~= — Я„) — второго. Показать, что: (») / ~т)ъ а) существует только одпо такое значение х >О, что при а~/а» = х для любого у, ~у~ ( 11ш Р ~Я„'п>У) (1 и 11ш Р1о~„">Р) -1. б) если а1 = а»х, где аначение х то же, что в и.
а), то Нш РРР>32')-Нп Р)Ф' =Ф')- — ', «м и- 4Л34. Последовательность случайных величав з», ... такова, что при любом п -1, 2, $.=1.,1+1.,»+" +1..., где ь ь ..., ь„,„— независимые случайные величины, М~„,» О, 1=4, ..., и, »» 11п» вЂ”,, ~' М~~„„~т О, »»»»» Докавать, что распределения случайных величин ~.!а„ прн и- сходятся к стандартному нормальному рас- предечепню. 4 133, Случайные величины $„$т, ... невавксимы, 12„11 - 12, -О1- —, »»»»' »»а и 1,2,...,О(и(1. Найти предальнее распределение случайных величин 1 -,-....1- 4 -м 14 -1- „.-1- й ) )ГО6»+" +4а) 4Л36, Пусть для каждого п-$, 2, ...
случайные яеоо»»»» личины $», ..., ь; неаавнскмы и одинаково распреде- лены: р1ь»»с т' ~ = р1й"» = — чь») - —.," 2~/вт рй1"'- Ю-1 — ' У и' при любом 1 1, „о. Найти М31"~, С»;-» ' н предельное распределение случайной величины ,»ь),, »»ю у' ~п„:»»'» 4.137а. Пусть для каждого п 1, 2, ... случайные величины $,", ..., ь' ~ независимы и одинаково распределены: 2 Р1т, О~ при любом 1' 1, ..., о. Найти М$»"~, С%»1"'~ н предельное $»»2 распределение случайной величины 1(а) + ( 4(а) д. == при в со, 4Л38. Случайные величины $((), ..., $„'ю независимы, Р(е(Р' =1) =.)'"), РД;'") — 0) — 1 — р';"' (1 ~ ~п), и ~, = с((") + ... + с„'").
а) Найти Мь, (У~ б) Доказать, что если 0Ь„- при п-, то пре дельное при я - распределение случайной величины ~ — м~„ = является стандартным нормальным. в) Положим т„1(р((")) + ... + 1(р(„)), гле )(х) = 0 прн х'-) 1/2 и У(х) 1 при х>1!2. Найти предельное при и — распределение случайной величины (, — л)„, если р',"'- )(„Х р',"'- й„ (а(а» га(аи (а) (а) и; а!/г г( ))(г шах ппп (р( ), 1 — р("))-)-О.
га(аа 4Л39. Случайная величина $„имеет распределение е дробно-линейной производящей функцией (р (г) = а +(1 — Ȅ— а„) а ,0<а„~ 1, 0<3„< 1. Какие невы- рожденные законы распределения г" (х) могут быть пре( л дельными для последовательности г'„(х) Р ~ — ~ х, где ~ ~~а А„- — некоторые нормирующие константы) Какие условия надо нало)кить на последовательности а„, ()., А, чтобы )пп Г~(х) Р(х), х>0? 4Л40. Случайные величины $(, $г, ...
независимы, не- отрицательны н одинаково распределены: Р($(>0)*=1, М$( )(»О, (з$( о', О» о'( пусть Ж шах (о > 0: $( +... + $. ~ 1), Г > 0 (если $( ) Вьу, то У, О). 143 а) Доказать, что для любого е ~ О 11ьп Р( ~ — Хь — — ~ ) з~ = О. б) Доказать, что для любого х, — с х с 11т Р ~1'ь'ь ( — +. — )ь' — ) = ) е-" )оь)ьа Ь оь )ь )ь )ь )ь'оп 4Л41. Случайные величины ~„$ю ..., 5„независямы и имеют покааательное распределение с параметром оп РЦьсх) =1 — е "*, х'-О, 1 1, 2, ..., п, а $ььь с $ьзь ~ Л.
с $ьоь — значениЯ $„..., $о, Располо- яьснные в порядке неубывапия (вариациопный ряд). Ис- пользуя результаты задачи 3,64, показать, что если п,т- о ип — и о,то: 1+оО) о )+оО) т а) МВстьи )п —, Сь~,„) = и — оь' ьь ьь (о — ьо)' 4[оь) Пт Р ~(с4ооь — 1в,—," ~ )/ " ' (х) = Ф (х)„ — оо(х( оо, 4Л42. Случайные величины ьь, ..., ь,„пезависьомы н одинаково распределены: Р(ььсх)=)о(х), ь 1, ..., и, а Ьььь -Я... < Ьь„ь — их вариационный ряд (см. задачу 4Л41). Докааать, что если в некоторой окрестности точки х = зо существует непрерывная производная р(х) =Р'(х)~О, то при тььи- Р(зо), ив ьо.о( "" * ьО.ь<*)-оЬ*Ь. (о)(1 ~ (о)) ! 4Л43. Частицы последовательно размещаются в У ячейках так, что вероятность попадания 1-и () = 1, 2, ...) частицы в ь-ю (ь 1, 2, ..., Ю) ячейку равна 11У н номер ячейки, в которую попадает частица, не зависит от номеров ячеек, в которые попали предыдущие частицы.
Пусть то — порядковьш номер частицы, после размеще- 144' ния которой впервые число занятых (т. е. не пустых) ячеек становится равным й, и т,=т< — у<-< («б=О). а) Найти производящую функцию распределения Я Р(т„» тг — т<), т > й ~ (. б) Найти )пп гоах Р(т, )т,— т „), г= 23, ... л <О <'в<<<в<у <4.144.
Пусть случайная величина т„та яге, что в задаче 4Л43. Найти предельное распределение случайной величины т,— й, когда Л<- о, йг(<у'- )., 0<Х< ьо. 4Л43. Пусть выполнены условия аадачи 4Л43. Найти асимптотические формулы для М«, Оу н предельное — Му распределение —, когда )у' — оо и а<3«лг < агУ прн некоторых а<, аг, 0< а« ау <1.
4Л46. Производящая функция <р(г)=Мгг случайной величины $ является ипогочленом степени <<', причем все корни г<, ..., гв уравнения <р(г) =0 вещественны. Доказать, что распределение $ совпадает с распределением суммы ь =ь<+... +",ю где случайные величины ь<, ... ..., Ь, независимы и Р(ь< И р„Р(ь<=0) =1 — р„(=1, ..., «"'.
Найти акачения р„..., р.. 4Л47*. Производящая функция <р(г) Мг' случайной величины г~ является многочлепом степени <у'„причем все корни г<, ..., г уравнения <р(г)=0 имеют неположительные вещественные части: Нег,<0, ( 1, ..., )у'. Доказать, что распределение $ совпадает с распределением суммы ь = ь< +... + ь«, где случайные величины ь<, ..., ьм независимы и РФ=2) г<, Р(ъ< 1)=р<, РЦ<=0)=1 — р,— г„ <=1, ...,М. Найти значения М, р<, г, (< = 1, ..., М). 4Л48.
Последовательность целочисленных неотрицательных случайных веллчнн "<, $г, ... такова, что при л<обом и 1, 2, ... проиаводящая функция <р (г) Мгг« является многочлепом степени и, все корни которого вещественны. Доказать, что если 05„- прн л — «, то (О л,м. Вуб«ав « гр. 145 Распределение случайной величины =. при и— )/ о~„ сходится к стапдартяому нормальному распределению. 4.149. Доказать, что если выполнены условия аадаг чи 4Л48, но 0$„- ).~ о прв л- и, кроме того, !1ш тзх г„л = — оо, а-~ео Г<1<а где г ь ..., ㄄— корни уравнения Р,(г) О, то рдспределение 3„ при и - сходится к распределенгг|о Пуассона с параметром ),. 4Л50*.
Пусть выполнены условия аадачи 4.143 и 1,ж(г) = Мг ' ' — произзодягцая фупкция числа пустых а (з,ьз ячеек. Найти рекуррентное уравнение, связывающее многочлеиы )а з(г~ и 1 ~1 з(г), и вывести иа него, что все Ж вЂ” 1 корней уравнения („з(г) 0 веществеины при любом п)1, 4.151.
Пусть выполнены условия задачи 4.143 и р,(п, Ю) — число ячеек, оставшихся пустыми после раамещения и частиц. Докааать, что если я, гг'- так, что Мрз(л, Х)- и Д! — Мрс(л, Х)- оо, то предельное рас нределение случайной величины р,(з, Л') ) — Ма„(з, Л! у"ор,(,л! является стапдартпым нормальным. 4Л52. Случайпые величины $ц йг, ...
певависимы и имеют одно и то яге распределение с характеристической фупкцией )(г). Доказать, что если при некоторых С ~0, 0(сс ( 2, 1(Г) 1 — С(1!" (1+ о(1) ), Ф О, то при и- существует предельное распределение случайных величин $,+4з+" +$ Найти его характеристическуго функцию. 4.153з. Случайпая величина $ имеет абсолютно непрерывное симметричпое распределеиие с плотностью р(х) — С)х! "()х! - ), где С- О, 1~сг тЗ. Доказать, что М пг 1 2С)Г)а-г (1 .!.,(1)) 1 — сози л 1 О !46 4Л54. а) Доказать, что решение ф(з) функциональ ного уравнения 5 (1 + ф (о)) ф (о) = удовлетворяющее условию Олаф(о) < 1 при 0 < о < $, является проиаводящей функцией неотрицательной целочисленной случайной величины 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
