А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Найти асимптотическую формулу для 1 — 1(1) прн 1- О, гда 1(1) Ме'"— характеристическая функция $. б) Случайные величины $ь $м ... независимы и распределены так же, как случайная величина $ из п. а). При каком аначении а предел Нт Р( — (~, + ... + $„) 'х~ С(х), Ох(оо, существует и является функцией невырожденного собственного распределения) Найти характеристическую функцию 4Л55. Случайная величина $ имеет распределение Коши с параметром и, т. е. имеет плотность распределения о 1 р (х) — —, — оо ( х < оо. на+о Показать, что характеристическая функция Мсио распре деления $ равна е '". Вывести отсюда и из задачи 4Л53, что \Ю 1 — соои .
к аи о 4Л 56. Независимые одинаково распределенные случайные величины 5ь $п ... имеют абсолютно непрерывное симметричное распределение с плотностью р(х)„непрерывной в точке х — О, 0(р(О)( . Используя реаультаты задач 4Л52 — 4Л55, найти предельное распределение последовательности случайных величин 1 /1 Ьи — — + -+ ... + — при я-о. оо. и(ь 4Л57.
Случайные величины $н $з, $з имеют распределение Коти с параметром а; при атом $, и $з независимы, а Р($з $,) 1. Сравнить характеристические функции и функции распределения суммы $1+ $з независимых и суммы $~+$з зависимых одинаково распределенных случайных величин. 4Л58. Используя результат задачи 4Л55, вычислить О ..(.) = ~, ав (в + из) (Ьз + (х — и) з) Глава 5 ПРОСТЕЙШИЕ ~ДУЧАИНЫЕ ПРОЦЕССЫ В предыдущих главах рассматривалнсь случайные величины (т, е.
измеримые функции, определенные на вероятностном пространстве (Й, А'-, Р)), принимающие действительные или векторные значения, Случайная величина, значениями которой являются бесконечные последовательности, называется случайным процессам с дискретным временем; если же значениями случайной величины являются функции действительного аргумента, то она называется случайным процессом с непрерывным временем. Реализации случайного процесса (последовательности или функции) называют его траекториями. Существует много способов аадания распределений на множестве траекторий случайного процесса (см., например, аадачи $ 1). Задачи $ 2 связаны с пуассоновскими процессами и потоками. Вуассоновский поток точек ка действительной прямой — зто не более чем счетная случайная совокупность точек Т (т,) ~( — ы, сю) = В', удовлетворяющая следующим условиям: а) существует такая неотрицательная измеримая фупкция ).(х), х~В', что для любого измеримого множества В~=В' число $(В) точек совокупности Т, попавших в множество В, имеет распределение Пуассона с параметром Л(В) ~ ).
(х) ах, в б) для любых двух ненересеказощихся измеримых множеств Вн Вз<= В' числа ~(В~) и с(Вз) независимы. Функция ),(х) называется интенсивностью пуассонов- ского потока. В ряде случаев более удобным оказывается другое '(зквнвалентное) определение пуассоновского потока1 для любого х ~ В' прн Й ( 0 РЦ([х, х+ Й[) = 1) = Л(х) Й+ о (Й), РЦ([х, х+ Й[)-0) = 1 — Л(х) Й+ о(Й), и для непересекающихся интервалов (х, х+Й), (У, У+У) (Й, д)0) случайные величины $([х, х+Й)) и ь([У У+ + у)) независимы.
Если Л(х) Л, т. е. пуассоновский поток однородный, а т~(тг(...— все точки пуассоновского потока на [О, ), то случайные величины го тг — ти тз — тг, °" независимы и имеют показательное распределение: Р(т1<х)-Р(тьы — т,ах)-1 — е ' (х=="0). Иуассоаоеский процесс Е~ (8)0) с интенсивностью Л (х) — зто случайный процесс, связанный с пуассонов- ским потоком с интенсивностью Л(х) равенством й = $([0, г)), т.
е. 9 — зто число точек потока, попавптнх в отрезок [О, 1[, Таким обравом, при люоом 1) 0 значе- ние пуассоновского процесса $~ с интенсивностью Л(х) имеет распределепие Пуассона с параметром Л(1) — [Л(х)йх, приращения $,~,— $, и ф.+,— ~, (г, 1, Й, у~ е > 0) имеют распределения Пуассона с параметрами Л(г РЙ)-Л(1) и Л(г+д) — Л(г) соответственно (и пе- завнсимы, если интервалы (1, 1+Й) и (г, г+д) на перв- секюотся) . Важным классом случайных процессов являются цепи Маркоса. Во введении к гл. 2 была определена общая схема последовательности аавнсимых испглтаннй с исходами 1, ..., Ю, в которой вероятность появления цепочки исхо- дов 1и ..., 1ь в испытаниях с номерами 1, ..., Й пред- ставлялась в виде р(1, 1„) р(1,)р(1г)й)...р(1ь)1,,1, ~), (5.1) гле р(О[й... 1,,)р 0 — функции, удозлетворгпощне усло- виям (5.2) ~ р (11[ 1, ...
~, ,) . 1 ц 1 для любого ) ) 1 и любых 1н ..., О ~ ~ (1, ..., М). 149 В предыдущих главах, как правило, рассматривался частный случай одпородпой последовательности независимых испытаний, когда фуякцяи р(ют!и' ... ю, ю)- р(ют) -е зависели еи от у, ви от юь ..,, 1„ю. В $ 3 этой главы рассматривается другой еатттпый частный спутай общей схемы (5Л), в котором для любого т' ~ 2 и любых ют,...,ю, ю Р( Ю) ... Юю — ) = Р; (5.3) если выполнено (5.3), то говорят, что последовательность испытаний образует однородную цепь ~Маркова. Условие (5.3) часто называют марковским свойством; оао озяачает, что если исход какого-то испытания фиксирован, то реаультаты испытаний, следующих за выбранным, не зависят от результатов испытаний, предшествовавптих ему. При построении математических моделей ряда реальных явлений предположение (5.3) окааывается довольно естественным.
Для цепей Маркова начальному испытанию приписывают номер О (а -е 1, как в (5Л) ), исходы 1, ..., ютт называют состояниями цепи, вектор Р = (Рю ... °, Рй ) = (Р(1) ° ° ° Р(ют)) — вектором началжюых вероятностей, а матрицу Рюю рюю ° ° ° Рюн Р=)рю)"-ю- " рнт ркю ° ° Рь и — матрицей вероятностей перехода. В силу (5.2) все элементы матрицы Р неотрицательпы и сумма элементов каждой строки равна 1; матрицы, обладатощие этими свойствами, называют стохастическими. Отметим, что все введеипые здесь определения легко распространяются яа бесконечные последовательности испытаний (цепи Маркова) с бесконечным множеством игтходов (состояний) (1, 2, ...), Из определений (5Л), (5.3) следует, что если вт— состояние цепи Маркова в момент ю и ро(ю)= Р(ы =)!ьв=ю) =РЦ,.ю.=)!ф, ю), в, 1Р-О, — вероятность перехода из состоявия 1 в состояние ) аа Ю шагов, то матрица () 1Р.
()1ь- $50 а векторы /зш (р',~, ..., рн'), где р';' = Р($, = /), удовлетворяют соотношению рюген — р~ ~р! ° далее для любых 0< ге< 5 «... 1„, 1э,..., („ш (1,...,/у) Р ($~ = |ю Ь„= ~м ° ° ., Ь~ гь) = Р |$,= '.)ПРО глт(1 — 6-). г-1 Таким образом, с формальной точки зрения исследование многих свойств цепей Маркова сводится к изучению соответствующих свойств степеней матриц вероятностей перехода (об одном из сиособов получения нвных формул для элементов степеней матриц см. аадачи 5.79— 5.81). Важную роль при изучении цепей Маркова играет классификация их состояний.
Говорят, что состояние / следует за состоянием 1 (~- /), если р„(1)) 0 для некоторого целого 1) 0; если 1- / и / — 1, то состояния 1 и / называют сообщающимися (~ /). Если для состояния 1 пайдется такое состояние /=/(1), что 1 -/, по /т 1 (т. е, рв(1)=0), то состояние 1 называется несущественным; в противном случае состояние 1 существвнпов. Мпоягество всех существенных состояний с помощтао отношения (нетрудно проверить, что ато отношение является отношением зквивалвнтпости) разбивается на классы сообщающихся существенных состояний; переходы траектория цепи из одного такого класса в другой невозможны. Множество несущественных состояний тоже разбивается па классы сообщающихся состояний; траектория цепи Маркова может выходить из любого такого класса, по, выйдя из такого класса, вернуться в пего уже пе может.
Если множество состояний цепи Маркова конечно, то с вероятностью 1 траектория цепи рано. или поздно выходит пз множества несущественных состояний и после этого остается в одном из классов существенных сообщающихся состояний. Говорят, что класс .Ф сообщающихся состояний периодический с периодом д ) 1, если для состоянпя ~ ю.че (и рн(1)) 0) ~ (д, 2д, ЗН, ...) (5 4) и любое число 4 ) Н не удовлетворяет (5.4); определенное по формуле (5.4) число д зависит от класса,Ф, по гав пе от выбора элемента зы.Ф.
Если (5.4) выполяяется только нрн а 1, то класс,Ф называют апериодическим. ''Пусть все состояния цепи Маркова $, с матрицей вероятностей перехода Р образуют один апериодическнй класс сообщающихся состояний. Тогда существует такое Целое число Ьз, что пРн Любом г>гз все элементы матрицы Р' положительны и справедлива следующая Теорема. Если для цепи Маркова с Л'( состоя~о ноями ири некотором 1в ) О все злементы матрицы Р ' полохсительны, то существуют Пщри(г) я~~О, 1, /ен(1, ..., Х); 1 величины яи ..., я» являются единственным решением системы линейных уравнений н Х ньрп нтн 1 1,...,Л~, из+ ° .. т як = 1. з-1 Распределение и = (нн ..., я„) ке зависит от начального состояния 1 цепи $, и называется предельным нли финальным распределением Зо Кроме того, распределение и стационарно, т.
е. яР' л для любого 1 1, 2, ... В случае, рассмотренном в теореме, стационарное распределение едннствеино и совпадает с предельным; если цепь Маркова имеет несколько апериодических классов существенных сообщающихся состояний, то существует много стацнонариых распределений н предельное распределение зависит от наскального; если цепь содержит несущественные состояния, то соответствующие нм предельные вероятности равны О. Наконец, если все состояния 1, ..., Л' цепи Маркова $~ образуют один класс периода й'з 1, то предельного распределения $, прн условии $з 1 н г- яе существует; однако существуют такие распределения я н) - (яР', ..., яЯ'), „я"'=(я',"', ..., н!4'), что для любого 1 я (1,..., Л')и любого целого А~~О 1шрц(1й+й)= ~""'», 1=1, ...Л',, где функция гл(ь, й) принимает значения 1, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
