А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 29
Текст из файла (страница 29)
..., Х„матрицы А = (аи(ь/=, различны, то элементы 169 '8) распределение по профессиям, ве меня(ощееся при смене поколений. 5.76. По двум урнам разложено У червых и /У белых шаров так, что каждая урна содерн(ит Ю шаров. Число черных шаров в первой урне в момент 1 О, 1, 2, ... обозначим $ь В каждый целочисленный момент времеви случайно выбирают по одному шару из каждой урны и меняют их местами. Показать, что $, является цепью Маркова со стационарным распределением пз = (С)т)~)/С~зк, й = 0 1...,, /(/. матрицы А уа), '(~ьу, представляются в виде а от аз оо яа ап ~и сп у„, т=1,2..., х-1 5.80. Показать, что если матрица А = ) а„г,". имеет собственные числа ьь ..., й„причем кратность Х, равна сь г,+...
+ з. ~ л, то элементы матрицы А уип йл-г представляются в виде г '«-1 а)у ~~~~ Ц, ~ с)у ~т, т 1 2, хг ~о 5.81. Используя задачи 5.79 н 5.80, показать, что получение формулы длв вероятности перехода за л псагоа из состоянян У'в состояние у в цевв Маркова с УУ состояниями может быть сведено к нахождению собственных чисел матрицы Р (Р,Дд-г вероятностей перехода ва один шаг, вычислению Р, Р~, ..., Р'-' и решению системы линейных уравнений, 5.82. Матрица вероятностей перехода Р 1ро1 цепи Маркова 3, с состояниями 1 п 2 определяется формуламн рп 1- сс, р1з сс, рм (), рм 1 — ().
Найти вероятности ре(у) перехода за время у и стационарные вероятности пь 5.83. Для цепи Маркова $о рассмотренной в задаче 5,82, обозначим череа т,(у) число попаданий в состояние 1 за время 1. Показать, что для любого у 1, 2 при с-» с:О М(тг(у)!$.- у) - — у(1+ о(1)), 0(ч, (у) (3з - у) = о (уз). 5.84.
Пусть выполнены условия задача 5.83. Показать, что для любого з > 0 и любого у' 1, 2 )1т Р~~ — ' — ~ з($, = у~ О. 5.85. Пусть выполнены условия задачи5,83. Положим те О и введем случайные величины т, ° ш|п(У > т,-~. *3~ 1), й ° 1, 2, ..., т. е. т„- момент й-го попадания в состояние 1. Тогда 170 т~($)= шах Ь: т,< г) — числе попаданий в состояние 1 за первые г шагов.
а) Доказать, что случайные величины бь та+) — тм й 1, 2, ..., независимы, не зависят от бэ ° т~ и что Р(ба т) = Р(бэ т!фэ 1), й, ж 1, 2. Найти Мбь 0бы М(бэ!$э 2), 0(бэ!$э 2). б) Используя п. а) и задачу 4,140, найти такие числа а, и Ь, (1- 1, 2, ...), что распределение случайной тг (~) ~с величины тэ ' при г — сходится к стандартному нормальному распределению.
5,86. Пусть цепь Маркова $, с состояниями 1, ..., У имеет матрицу вероятностей перехода Р— ) рп ~~ х удовлетворяющую условию шах ~' ~рп — — ~(е. г~з~я~ Показать, что если я =(яь ..., яз) — стационарное рас- пределение цепи фо то ~хм ~я~ — ~~~~ з. 5,87. Пусть $, и $, — цепи Маркова с матрицами Ю 3 ~ЗА вероятностей перехода Р (Рн~~с~, и Р' ~рн~~л,соответственно, а я =(я„..., яя) и я' — (я~, ° ° ° яя)— стационарные распределения этих цепей. Следует ли из близости элементов матриц Р и Р' (например, из малости' величины ~', ~ рп — рс~) близость векторов я и я'7 аз=~ 5.88*. Частица совершает случайное блуждание по множеству точек плоскости с целочисленными координатами. За единицу времени частица перемещается на ели* нвчное расстояние параллельно одной из осей координат.
После прохождения каждого единичного отрезка частица выбирает направление дальнейшего движения: либо продолжать движение в том же направлении, либо повернуть палево, либо яайраво (каждый иэ этих вариантов выбирается с вероятностью 1/3 независимо от предыдущих движений частицы). Пусть э (~, ~~ ) — положение г (1) (мэ 17$ частицы в момент я. Найти Мь„при условии, что ~с ° (О, 0), ~~ (т, О). 5.89. Вероятность того, что атом радиоактивного злемента, существующий в момент г, распадется на интервале (С, Г+Ь), при Ь Ф О имеет вид аЬ+о(Ь) и пе зависит от предыстории пропесса. Найти: а) вероятность того, что время т до распада атома будет больше г, б) период полураспада, т. о~ такое число Т, что Р(т ) с Т) (~2, в) плотность р (г) распределения времени до распада хотя бы одного из и существующих в момент г- О и независимо ведущих себя атомов. 5.90.
Пусть $, — цепь Маркова с непрерывным вре. менем и множеством состояний И, 2). Вероятности перехода ро(ь) Р(з,„. )!$ О удовлетворяют условиям рм(Ь) аЬ+ о(Ь), рм(Ь) 9Ь+ о(Ь), Ь ( О. Найти ро(Ф), г Э~ О, г, у ж И 2). 5.9(. Пусть Р'* "' (Г) ) рф'С' (Ф) "( — матрица вероятностей перехода за время г цепи Маркова $п описанной в задаче 5.90, а А ° ( гг ы~ — стохастическая матряпл, ~а а Доказать, что для любого фиксированного числа и)0 цепь Маркова $„удовлетворяющая условию Р'"ю(и) А, существует тогда, и только тогда, когда ам + аы) $.
5.92, Для цепи Маркова $,, определенной в задаче 5.90, обозначим через тг(Ф) (Ь 1, 2) суммарную длительность пребывапия цепи в состоянии Ь за время Найти т~(г)-М(т1(г)!$с- П и главный член асимптотической формулы для 53 (Ю)= 0(т, (г) ) $а Ц прп ОО. 5.93. Дввжением точки по прямой управляет цепь Маркова, определенная в задаче 5.90: если цепь Маркова находится в состоянии 1, то точка движется в положительном направлении со скоростью иь а если цепь Маркова находится в состоянии 2, то точка движется в отрипательном направлевии со окоростью оз.
Пусть ц,— координата точки в момепт г. Пайги й(~(8, х), М(Ч~)цо л, Ь 0> с~О, $= $, 2, и асимптотику В< (<, з) О(<1<)г<, = я, $, <), < = 1, 2, прн Ф-<- со. 5.94. На телефонную линию могут поступать вывозы двух типов: простые и срочные. Любой вызов, поступающий на свободную линию, занимает ее. Простой вызов, поступающий на аанятую линию, получает отказ и теряется. Срочный вызов, поступающий на занятую линию, обрывает ведущийся в этот момент разговор и сам занимает линию.
Моменты поступления простых и срочных выаовов образуют пуассоновские потоки с интенсивностями и< и иэ соответственно. Вероятность того, что разговор, ведущийся в момент й окончится на полуинтервале (г, <+Ь), не зависит от предыстории процесса и от типа вызова и имеет вид рй+ о(й) при й 1 О. Построить цепь Маркова с тремя состояниями, соот ветствующую описанному процессу, Найти ее матрицу интенсивностей переходов и предельные вероятности я<, яз и яз того, что линия соответственно свободна, занята простым вызовом и занята срочным вызовом. 5.9б, Цепь Маркова $, с непрерывным временем имеет множество состояний (О, 1, ..., Ь'), а вероятности ре(й) Р(зц., у($< = О перехода из состояния $ в состояние 1 за время й удовлетворяют при й < О условиям рс<(й).= 1 = иЬ+ о(й), р„а(й)= 1 — (Й+о(Ь), р (й) 1 — (и+ р)й+ о(Ь) 1 ( <()У 1 р, <,(Ь) ий+ о(Ь), рс< <(й) гй+ 0(й) 1 ( < < М ре(Ь) о(й), если Н вЂ” !( ) 1, где и, й — фиксированные положительные числа, а) Составить систему дифференпиальньгх уравнений для ре(<), О < $, 1 -Я Ф, с ~ О.
б) Найтня)~~ Ншр< (<), 1 0,1*., )т< как функ<чае пии" от О = и<(). 11оказать, что если О 1, то яц~ <я< ~ ю ° яя <т+< ' е) В случае 6(1 найти я; Нш я) ', у О. 1, ..., а в случае 0:~1 найти я, В<с ль ь 1 О, 1„ Глава 6 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОИ СТАТИСТИКИ В математической отатистике исследуются способы получении выводов на основе эмпирических данных. Случайной выборкой объема п (или просто выборкой) называется случайный вектор (6.1)' хь хз ~ хя~ -где х< обычно предполагаются неаависимыми и имеющими одну и ту же функцию распределения Р(х) = Р(х, < х), Случайная выборка (6.1) является математической мо- делью последовательно проводимых измерений илн на- блюдений.
Возможны другие способы получения эмпяри- ческнх данных, приводящие к другим математическим моделям. (См,, например, задачи 6.16, 6.26, 6.42.) Обычно для выборки (6.1) иавестен только тип рас- пределения (папример, нормальный), по неизвестны па- раметры, от которых аависит распределение. В атом слу- чае по выборке требуется каким-либо образом опреде лить приближенные значения неизвестных параметров. Пусть Р(х;(х) Р~(х, 6). Оцеякой неизвестного па- раметра В назовем провавольную функцию О„ =0„(х...
„х„). Оценва О„является несмеи1енной оценкой в * О, есчи МО„= О. Если О„при л - сходится по веро- ятности к О, то оценка О„называется состоятельной. Может оказаться, что существуют такие функции 0„8„(хи ..., х ) н В.-0.(хь ..., х.), чтб Р(В„( 0( (В„)=1 — 2а одинакова при всех апачениях неизвестно- го параметра 8. В этом случае интервал (О, 0 ) нааы- вают доверительным интервалом, и вероятность 1 — 2а того, что интервал (О, 6„) накроет неизвестный пара- метр О, называют доверительной вероятностью. Если при и- Р(8„(6(8„)- 1 — 2и, где аначепие а пе зависит от О, то интервал (6„, 6.) называют асимятотически доверительным интервалом, В качестве примера рассмотрим выборку (6.1), образованную пезавнскмыми случайными величинами, имеющимн нормальное распределение с пеизвестными пара1т4 метрамн«математическим ожиданием а и дисперсией от.
Покажем, как для неизвестных параметров а и пз можно построить доверительные интервалы. Пусть йз, $н „'", $ -независимые случайные величины, имеющие отаидартное нормальное распределение. Положим з е з ~е -е т Х'~' Законы распределения зтих величин навывают соответотвевно распределением Хз и распредеяением Стьюдента с и степенями свободы. Определим величины 1 „и Ха,„ как решения уравнений Р (те) са,п) и~ Р (Ха ~~" Ха,а) с« Построим по выборке (6 1) величины а — $ 1 = — „(х, + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
