А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Положение бруса определяется поло»кеынем прямоугольника в плоском сечении, перпендикулярном оси бруса. Брус упадет иа ту гранте которую пересечет луч, ыаправленпый по вертикали выив нэ центра тяжести прямоугольника. (Ср, с эадачами !.79, 1.80.) 1.84. Если А находится между Ва и Я»ч», то расстояние от 0 до сторон й, АВС находится э интервале (й/2, (й+ 1)/2), т.
е. »»» АВС содержит внутри себя окру»««ности Я» с 1 (»( [й/2[, находится внутри окружноств В», й+ 1 < ! ( и, и граница»х АВС пересекает окружноств В» а [й/2) ( «», й. 1.85. Найти и-мерный объем У (г) и-ыерыого шара радиуса г, воспользовавшись реыурренгыой формулой ра(г)= ~ ~ уи э()~г~ — й — о ) «/ии»о= их+о»и э г г 2Я ) иув ()«г — и)Аи=2п) иуи а(и)Аи и равекствами У»(г) = 2г, У»(г) = пг». Глава 2 2.3. Вероятность выбора любой заданной карточки равна 0,0! 2.6. Использовать определение условной вероятности и расулы тат задачи 1.23.
2,7. Пусть событие А< состоит в том, что <-й (1 1, 2) студент возьмет <хороший» билет. Положить 1) = (А<А<, А<Аь А<Аь А<А<», Р(А<) 1/5, Р(А<)А<) = 4/24, Р(А<)А<) = 20/24."Отсюда одноаначпо определяются вероятности элементарных событии. 2.8, а) Пусть событие С< = (появление белого шара в <-м испытании» (испытания с нечетными номерами отяосятся к игроку, начавшему игру); событие А (выигрыш игрока, начавшего игру».
Вос<юльаоватьса Равенствами А С, Ц С,С,Сь А С,С,Ц С,С,С,Се б, в) решение аналогично а). 2.9. Пусть Р<0 (Р<0) — событие, состоящее в том, что <-й шар черный (белый). Воспользовавшись формулой (2.3), показать, «) <з< 1п> что все событвя Г<е, бе, ... Реп с е, +л + ... +еч — — М(е< = =0,1; < =1, ..., д<) равновероятны. Позгому Р(А„) = Р(А ), Р (Ва» = Р (В, ), Р (С,,» =Р (С» Воспользоваться равенствами В = 1><ОФ<<, С = ))1~Ъ<с).
<в «' <т е 2.10. Цепочками из букв я, ч, б будем обозначать появление красного, черного, белого шаров в испытаниях, соответствующих месту буквы в девочке. Например, событие кчч (в 1-м испытавин появвлся красный шар, во 2-м — черный, в 3-м — черный». Использовать равенства А< = б Ц ччб Ц ччччб, А< чб Ц чччб Ц чччччб< В-вЦчвЦ -Ц-"Ц-- Ц---. 2А2. Решается аналогично 2,10, 2.!3. Решается аналогнчио 2.10. 2.14, Найти вероятность того, что до появления автобуса маршрута помер ! появится 1 = 1, 2, ..., автобусов разных маршрутов.
2.!8. Использовать равенство АВ Ц АВ А. 2,20. Пусть (а<...„$ <) — координаты точки, разномерно распределенной в (л — 1)-мерном кубе ((з<... „- в„,)< 0~ в, «» 1, 1, ..., в — 1». Рассмотреть событии А<=($«ч1/2», ! =1, 2, ..., п — 1, *- (П «< ««, <~, 1< 2.21. При и 3 приписать вероятности 8 событиям Л,А<А<, А,А<Аь ..., А,А<А< так, чтобы условия аадачи выполнялись, но события А< и А, не были бы независимыми. (ер 2 22. Рассмотреть совокупность событий< () А< "', е =0 нли « ! (< = 1, „., )<)(, гдо А<с) = А, А<<О = А< 192 2.23.
Сопоставить каждому событию А» ш (1, 2, ... я) = П вектор а»»м В", у которого ря (1 1, ..., а) координата равна О (если ) ФА») нли )р> (если 1»н А»). Переходя к векторам Ьь ..„Ььев ш В", ортогональным к а» (ррь ..., )р„): Ь, = е» вЂ” Р(4»)а» (> 1, ..., Ь), показать, что события А>, А> попарно независимы тогда и только тогда, когда векторы Ьь ..., Ьь попарно ортогональяы. 2.24.
Пусть А» = (изделие прошло г-ю проверку), > 1, 2. По условию аадачн события А, и А> независимы в обоих случаях. 225. б) Воспользоваться неравенством Р(А>4») ( Р (А>)+ Р(А>)» где А> и А> — события, состоящие в том, что 1-й и 2-й приборы будут работать. 2.26. Участнкк лотереи получает минимальный выигрыгп, если ов угадал равно 3 номера, п какоа-либо выигрыш, если число угаданных пм номеров не мейьше 3. Положям А> = (>>-й участник получает минимальный выигрыш), В> = (д-й участник получает какой-либо выигрыш), Ь = 1, 2. Найти Р(А»), Р(В>), Ь = 1, 2. 2.27. Положим А»"> = (й-й злемент не вышел из строя), А'"> (/»-й злемент вышел иа строя), Ь = 1, 2, ..., 5.
По условию задачи события любого набора, составленного яз событий А»»>, Ь А, „5, с попарно различными индексамк, являются взаимно независнмымп. ОГ>означит> В событие, состоящее в том, что по участку, содержащему злементы А», А», А», может проходить ток. Ног пользоваться равенствами В = (Ап> Ц.4»»>)А»»> А»»А»'> Ц А»»А»»А»»>» С А»»>А>»> Ц А»>>А>»>В.
Заметим, что для вычисления вероятности Р(В) непосредственно использовать равенство В =- А»>А»»> Ц Аы>А»'> нельая, так каи А»пАН> н А»»А»м не являются несовместными событиями. 2.28. Положим А>»> = (при Г-м выстреле допущен промах), А» = (при >-и выстреле происходит попадалнп). По условию вам> >г> 1>> Га> дачи сооытия Ае, Аее, ..., А» (е>~О, 11 4 1, ..., я) взаимно независимы. Йа>7ти вероятность того, что было меньше двух попаданий. 2.34.
Пусть С = (изделие, поступившее на проверку, удовлетворяет стандарту), В задаче 2.24 вычислены вероятности Р(А,А,(С), Р(А>А»С), где А> = (изделие прошло первую проверку), А, = (взделке прошло вторую проверку). 2.3е. в) Нспользовать равенства М (М вЂ” ж) Сз = МСЬ>- Х Сз» > Сч-"з» = Сч-> е» е 2.37. Наедем события С = (перелить кровь можно), А» = (до нор имоет ью группу крови), В» = (больной смеет >-ю группу кро ви). Найти Р(А»), Р(В»), Р(С>В») в предположении, что группы кро ви донора и больного независимы и распределены согласно приведеапой в задаче статистике.
2.38. Положим С (вибрация), В = (перегрев), Найти вероят-' ности событий СВ, СВ, СВ, СВ. 43 А. ы. згскае и др, 2.39. Используем те же обозначения, что в указзняях к задаче 238. Положим Р(ВС) = я. Найти вероятности событий ВС, ВС'. ВС как функции от х, Р(В), Р(С), Показать, что О ( з ~~ ш1з (Р(В), Р(С) . .40.
Положим А = (случайно выбранная урйа содержит 2 бе- лых н 3 черных шара), В = (случайно выбранная урез содеряшт 1 белый н 1 черный шар), С = (из выбранной уроы извлечен бе- лый шар). Используя условие задачи, определять вероятности Р(А), Р(В), Р(С)А), Р(С)В). 2.42. Введем следующие обозначения событий: А = (передана последовательность АААА), В = (передана последовательность ВВВВ), С = (передана последовательность СССС), Р = (принято ЛИСА».
Так как прн праеме АВСА вместо АААА буква А была нс- 1 — х 1 — и манеева два раза,то нужноположить Р (Р) А) = а 2 2 и. Аналогично определяются вероятности Р(В(В), Р(В(С). Воспользо- ваться формулой Байеса. 2.45. Пусть АО1 — событие, состоящее в топ, что 1-н игрок ь , (1 =- 1, 2) пззллк Ь белых шаров Из условия залачн естественво опрелеляютса вероятвоств Р ( А1ет1) (з = О, 1, 2), Р ( Аа1е1) А1~т~) (Й = О, 1; 1 = О, 1, 2). Найти Р ( А1О ~ Аем ), Ь = О, 1, 2.
2.40. Найти вероятность противоположного собьжнл. 2.50. Искомую вероятность можно найти, используя та, что для любого элемента х ш Я Р(» ф А Ае) = 1 — Р(з ш А ~Аз) = 1 — Р(з ш АДР(х шАе) и что отбор равных элементов в множества А< происходит не- зависимо. 251. Мнюжества Ао ..., А„попарно не пересекаются, если наж- дый элемент с ш В либо не вклеочается ки в одно иа г множеств, либо включается ровно з одно множество. 2.52. Решать так же, как я задачу 2.51, 2,53. а) Каждый злемент х еи 8 независимо от остальных вклюг чается в () Ае с вероятностью р', б) Воспользоваться соотноше е т ивом () А () А и свести задачу к п.
а). 1-1 е 1 2.54, Моделью исследуемого явления можно считать схему Бернулли, Обозначим через А~ событие, состоящее в том, что з момент 1 по дороге мимо пешехода проеажает машина, 1 1, 2, 3, ... События Аь Ае, ... независимы, Р(А~) р, Р(Ае) 1 — р = д. Выразить ннтересуюпше нас события через Ан Ае, ... Например' (пешеход ожидает 4 с) ААтА АзА А АзА 1 использовать вза- имную независимость событий. 255, Результативные партии рассматривать как испытания Бер. нулли с одянановыми вероятностями всходов. 2.56, Последовательно обрабатываемые детали по принадлежно- сти к 1-й или 2-й группе обрезуют симметричную схему Бернулли.
Себытяе, вероятность иоторого мы ищем, можно еепнсать в виде А ,,С () Вв,еС, где А ,„ = (нз г + т первых деталей в 1-ю емиость попало г деталей, а во 2-ю попало ю деталей), В ,, (нз 194 г+ ж первых деталей во 2-ю емкость попало г деталей, а в 1-ю попало т деталей», С = ((г+ в«+ 1)-н деталь попала в 1-ю емкость) Предлагаемая аадача является перофориулироекой извосткой вадачк Банаха (см. (И»). 256. Воспользоваться теоремой Муавра — Лапласа, 2.59. Воспользоваться предельной теоремой Пуассова.
2.60. Использсвать теорему Пуассопа. 2.6!. Прк решепип п, 5) вывестк равенство '() ( ° "') < Ч— ~! + ~! + (! + ) ))) а ватам применить уточпеккую формулу Стпрлинга для вычисления 2 «ыС~ . 2.63. Использовать теорему Муавра — Лапласа. В ответе оста вить знаки, ке меняющиеся кри измекекии гразиц 940, !060 иа ~ !. (См. введеипе к гл. 2, а также задачи 2.61, 262.) 2.64, Пусть т — порядковый номер !025-ш числа, делящегося па 3, и — число чисел, делящихся ка 3, среди первых л чисел таб. лицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
