А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Воспользоваться полиномвальной схемой. 6) Решенве аналогично п. а). 3.62. Использовать равенства ($> <$1 «''' $)их» ( ) <$з« ''' $А+3)' где ()ь зв . Оаз) — лшбзв перестановка 11, 2, ..., )з+ 1), и учесть, что Р($з = $)) =0 прв з чь) (см. задачу 3.17, б), где з = Р(х = пг), у = Р(У = ат). Максимизировать правую часть серавевстаа сначала по у (врк фвксиооаанлом зП е затем пс и 3.76. Сх. указание к задаче 3.2.
3.78. б) Испольэовать формулу гзээ10е = в1~)Сз ььк 3.81. Заметить, что Р )Чз, +Ч~ =1) = 1. 3.82. а) Прв зычпслевхс дисперсии воспользоватьсн равен гтвом ювт з+ соз' з = 1; б) убедкться в том, что т» М э1в" З =- м соз' З и составнть рекуррентвое уравнение для ть с помощью пктггрпрсзавиа по частям. Затем использовать формулу Стирлввга. 3.83.
См. указание к задаче 3.82. 3.84. Воспользоваться формулой (ЗЛ2). 3 85. См, указание к аадаче 3.84. 3.89. Плотность распределения ЗП1 найдена в задаче 3.61. Для интегралов, возникающих при вычислении момаитоз, получать рекурревтные формулы с помощью интегрирования но частям. 390. Показать, что для вычисления М(йн4$~0 в), 1вйг (1 ~ п, можно воспользоваться результатом задачи 8.89, так каи совместное распределение З<ц, ..., Зм и при условии Зыг и совпадает с распределением *Чпь . ° ° вЧП-цз где Ч<и ей ° ' яЗ ~~ Чп м — ваРиационный Ркд, постРоевный по незавнсимым слУ- чайным величинам г)ь ..., Чг „ равномерно распределенным на отрезке (О, 1).
3.93. Пусть уь Хь Хз — индикаторы событий Аь Аь Аэ, определенных в задаче 2.19. Положить а р — Мйь р '" Хз — МХн 7 =Хз МХз 3.94. Положить $ в 2хск Ч ЗхЗ, э ЗхВ где % З~ 7 — слу чайные величины, построенные в указании к задаче 3.93, а слу чайная величина х не зависит от а,(1, 7 и удовлетворяет условиям Мх'=а',Мх',Р(х>О) 1влиР(х<О) 1, 3.96.
Козарпациониая матрица должна быть жгмметричвой и положительно определенвой.- 3.97. См. указание и задаче 3.96. 3.98. См. указание и задаче 3.96. 3.99. а) Жоли выполнены условия задачи, то в правой части равевства мйьз= мй шах (О, ьт) + м(-гл шах (О, ьз)) ° начения слагаемых одинаковы. б) Использовать утверждение п.
а) и формулу (3.17), ЗЛОЗ. 6) Выразить ))„через вь еь „. ЗЛО4. Найти плотность распределения ) З~ю — Ь) 3.105. Найти МЧэ пользуясь указанием к эадечэ ЗЛ04 и фор мулой $11 М)Б1+г — 41))0.— Ц1 г) ~ ) ~)г — в ))в — в )вв вв г)в оес $ '1$ г/ г '~ э ~1~~)вь взИвэ вэ)8 г" э "з ~~~)в вв!Ав) Ззэ' с 1е е с о ЗЛ08. Пря вычислении дисперсии преобразовать ь1он в сумму независимых случайных величин, выразив Чы через Фп Зв а 3,112. Испольаовать формулу М$„$„~Ч~~ М$„$,к,-,к „где гл ! к,„= 1, если с =- у, к к.„= 0 в остальных случаях. ЗЛ13. а) Положить О~ = $~+...
+ $„, где $, = 1, если 1-е 1, в $; = 0 в пропшпом случае; тогда 6:,= ~ $,$,=~$з+Х$,$3 14 ~ ! ~ ему б) Положить 6 — г $!Р где $ц 1, если !"'-1-'! и 1 'пч Й! $0 = 0 в остальных случаях, в) Написать для О, формулу„апалогичвую служим с=1 в г == 2. 3 !14. Пусть рс — число непоявившихся яомеров. Тогда рс =~ $!+ $з+...+ $л, где $ь 1, если Й-й помер яе появился, и $а = 0 в противном случае.
3.!15. Представить $ в виде суммы индикаторов $ б, + бг+ + ... + бю где б~ = 1, если 1-й швр в выборке белый, и б~ = 0 в остальпых случаях (предполагается, что шары выпвмаются из урвы поочередно). Воспользоваться тем, что М М (ет — 1) г(бг-!)- —, Р(6161=1)=,у(,„1) (1~И 1,1~ 57). 3.116. Воспользоваться равсвством р,(., У) = О, + ... + О., где О~ =- 1, если 1-я ячейка пуста, и О, = 0 в противвом случае. 3.1!7.
См. указания к задаче ЗЛ16. ЗЛ13. Испольауя аадачу ЗЛ17, вывести рекурропткую формулу п — г ! Мп = —, — Мд„, ~ч г г -~- ! Л' — ! 3.!19. См, укааапия к задаче ЗЛ16. 3,120. Использовать равенство $е, ~ = ел ~+...+ е„, ь где еи ! 1, если в й-м испытании появился /-й исход, и ек г = — О в противном случае. ЗЛ21. См, указавия к задачам ЗЛ16 и 3.117, При решепии и. е» использовать выпуклость зпнз фуикпии и". 3,122.
Использовать равенство та = т! + ... + ть где т~ = 1, т! т, — чьо (! = 2, З...с) и результаты задачи 3.52. ЗЛ22. Если бз — число Оассажвров 1-го автобуса, которым не 1(осталось билетов, то $= 5 +..+Зл. 3.124. Пусть $ь (л = 1, 2, ..., 10) — й-е по порядку павлеченпя число. Показать, что $ь (й = 1, ..., 10) одинаково'распределены.
ЗЛ25. Представить (кс в виде суммы впдвкатороз гя+т),+ + ..+ ию где т(а =1, если при 4-м испытании появилась девочка 00, и па =0 в остальных случаях. Найти Мк,с, Му~а, 3.126. Решение авалогичво решению задачи 3.125. 202 ЗЛ27. Заметить, что у-е ксозятакке является первым в серии едлниц иногда и только тогда, когда е этом исоытанив появилась единица, а э (1 — 1)-м — нуль. Поэтому если Оз= 1, когда ре испытание является вачалом серии единиц, и О~ О в противном слУчае, то, !) Ц„= 9, + О,+,.
+Огя 2) МО, Р, МОз =-РО П ) 1)~ 3) Р(9~0~~~ О) = 1; О; и Оь везависимы при !1 У! > 2. Далее см. Указалин к задаче 3.125. 3.129. Представить 2 а видо суммы О~ -)- Оз+ Оз+ 9„где 9; 1, если ья вершина квадрата, е который попал цептр круга, лежит з круге. 3.129. Представить )8[ в виде )8)- —,гУ", аа, где па 1, а — ю если Л ж 8, и цэ = О, если х 1й Ю. ЗЛЗО. Определить ка круге случайную фуккпизз 1, если Р(г, И) ~м -4, Х(г гу) О, если Р (г, Ч) ж 4, где р(г, ф) — точка с поляриыми коордиватамп г, йь Тогда ь"-' ) ) Х(г, ф) гдггьр В данном случае знаки математического ожидания и интеграла можно поменять местами, так как ~ М ( Х(г, ф) (г яг йр < ао (см. [6), теорема Фубиип). 3131. Пусть Х (х, у) 1, ес.чи точка (х, у) покрыта ровпо ж кРУгами, и Хх(х, У) = О в остальных слУчаах, ТогДа р ) 1 Х,„(х,у)ох ау).
ОЭ Воспользоваться тем, что О < р„— ~ '[ Х (х, у) я*яр < ха+у «т-гя < и [1 + г ~)з — я (1 — гя)а = 4я гр,-ь О, )У -~ е, е вероятностью 1. По теореме Фубияи М ~~ Х (х,у) ухлу ~~ МХ„(,,у) у яу. ха+аз«т-тгг в~+аз«г-гя Найти МХт(х, у) прп хз+ уз е~ 1 — гл в 1 3.133. Предварительно допивать, что в1 1 й ~, ж1" для ж г любых и, л р.й, где хзю х(х — 1).„(х — у+1), а затем преобразовать правую часть равепства МЗ1ь) «:а кд в(ь)Р (и я), в~' 1 293 3.134. Заметить, что если у = х, -(-х, + ..ч где всв слагаемые припимаюг только аначения 0 и 1, то у(з) Ч ~~~~ в! х! ...
х!„. х<г <- <га 3.135. Использовать результат задачи ЗЛЗ, геометрическое пс- Ф ! толковапие интеграла и формулу ) (1 — Р (*)) ггх = ) г, (у) ож и с ЗЛ36. Использовать равевстао с = шах (О, 2) — гаах (О, — $) и аадачу ЗЛ35. 3.137. Рассмотреть отдельно случаи а ~ 0 и о ( О. Найти фуикцпю распределении 3" п воспользоваться задачей 3.135. 3.138. Использовать результат задачи ЗЛЗ. ЗЛЗ9. В треугольнике Х~ХгХз углы Хь Хз с Хз одинаково распределены, а их сумма раева 180'. ЗЛ40.
Событие (выпуклая оболочка Аь Аг, Аь А, — треуголь. ппк) есть объедипеппе четырех попарно непересекающихся событий В~ (А~ лежит в треугольнике, образозакпом тремя остальпымв топ!гамп), 1= 1,2,3,4. 3.141. Рассмотреть независимые точки Хь ..., Хз ~ Я', выевщве распределение Р. Показать, что если хз — часло треугольников Х~ХгХм 1 (! (1 ( )г ( 6, кмегощях хотя бы одпк угол ве мопьже 120', то: а) Мк =С"Р;, б) Р(к„'ъ1) 1, т.
е, Мк,) 1. Доказательство п. б) сводктся к рассмотрению двух случаев: 1) точки Хь ..., Хз образуют выпуклый б-угольник, 2) одва из точен находится внутри треугольника, образованного какими-то тремя другими. 3.142. РассмотРеть совокгпвость Хь Хь Хз, Хе Хз независимых случайных точек В', имеющих распределение Р. Показать, что если хз — число выпуклых четырехугольников, образованных точкзмп Хь 1=1, ...,;Ь тО: а) Мяг =- 5Р„ б) Р(хз) !) = 1, и позтому Мнз =а ! > 1.
При доказательстве б) использовать рпс. 7. 3.143. Воспользоваться т~м, что гп + ... + ц = 1 и распредслепвя ць ..., ц, одинаковы, Распределения к„ пар ць цг (г чв 1) также одинаковы, 3.144. Показать, что случайные величивы Зь ..., Зм~ь определен. хз кые в аадаче 3.54, одввзкозо распрех, долекы и что т~ = 3<+1, Г = 1, ... ..., 31, ьмзг = Змее Использовать Рвс.
7 равенство $~+ $з+...+ Змм = )у — М. ЗЛ46. Выписать явнуго формулу для !У(ь+ 0) и заметить, что коэффицвеят корреляции может припимать любое значение из ( — 1, 1]. 3.147. При МЗ = ж чь (О, О, ..., 0) рассмотреть случайную ве- 1 личину (3, ев), где е„, =( т, и заметить, что (($, е,„)) а~ )$(, (М($, с )) )лг(, ЗЛ50. Выразить 0($, +... + $ ) через С и воспользоваться псотроцательпостью дпспорсии. 3.15!. Заметить, что при М|$)" ( ао х » м!',!ь = !!га ( иа бР П$! си», ~ ! и!" пР(»$!(и))аэР (!$))~э).
х ° ~ е х 3.152. Воспользоваться тем, что выпуклая вниз фувкцпя )(э) удовлетворяет керазепству ((а)~1( о) сС ( -'е) о где !!га )' (а) ~ С„( )пп 1' (э). а!х э» ЗЛЗЗ. Использовать вйпуклость авиа функции 1(э)»а(» (г'д: 1) и задачу 3.152. 3.154. При доказательстве первого неравенства показать, что можно огравичнть случаем 0 ~ Р ~: а и что ври 0 а~ у ~ э пропзводвая по у разности правой и левой частей кеотрицательва. Далее заметить, что при увазаивых в формулировке задачи условиях распределения случайных величии $ -1- 0 и $ — 0 совпадают, и поэтому М)$+г) !' = 2 (М)$+О !" +М) $ — и)'). 3.155. Применить метод математической ивдукции и задачу ЗЛ54.
ЗЛ56. Использовать задачу ЗЛ52 и равевство м($+и» =-м(м()$+и) )$)). 3.157. Показать, что если Яэ $~+,.+ $э к случайная зеличииа $Э+! ве зависит ат Ба и от $ь+1 и распределена так гье, Г как $ле!, то распределение $э+! — $ +! спмметричко и М(бэ+,)"*-М(З„+, +$„„— +,(э<М(3„('+2'М($,,(". 3.158. утверждение п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
