А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 38
Текст из файла (страница 38)
а) Применить метод математической индукции (по в). б) Найти Р ($, + ... + ф„ - 4 + !» К Р (2, + ... + 4„ « 4» 4.26. Воспользоваться результатамн задачи !.63 и равенствами Р(т~(%) ) а) = Р(А««з», Р(тз(Ж) ) л) Р(С«ь х). Прк аатошденни пределькыз распределенай полезно соотношенна 1п (1 — х) — х -1- 0(х'), х -«- О, 4.27. Представить вероятность Р(«1„< х» (О < х < !) в виде О«+хи«ь Р (т)„< х» = ~~~~~ ~ р«( ) оз! а= з)о к каждому слагаемому применить теорему о среднем.
4.26. Показать, что для любого з ~ О мошко найти такой набор (6«, ., 6„) непересекающихся отрезков, что Р ~6ш () 6,)=ь! — е г=т и плотность Рт(х) ва Ц 51 вепрерывка и ограпкчева. Далее воспользоваться решевием задачи 4.27. 4Ю. Воспользоваться равекством1Ь л, = 181л(е 3 () и резуль- татами задач 4.28 и 3.8, 4.30. Используя тригонометрическую форму записи комплекс- ных чисел, покзззть. что Ь„сй (л агглй $), я примеввть резуль- таты задач 4.28 и 3.8, 431. Использовать иеравевства из задачи 3.228 в определение условной веровткости. 4.32. Испольвовать равенство Р(к„ < х) Е"(х) и асимптоти- ческое соотношение 1пп (1 — — ) = е е л 4,33.
а) Воспользоваться справедливымк при любом е ) О включеииями (Ч к; х — е, )Зх( < е) еи (т1„+ 2„< х, (3„( < е) д = (и„< х+ в, (бе( ~ с) и тем, что Р(А) — Р(8) < Р(А8) < Р(А). б) Доказывается аналогично а). 4.34. Использовать теорему Муавра — Лапласа и п, а) задачи 4.33. 4Л5. а) Воспользоваться керавепством Р(АЗ» » (пйп (Р(А), Р(В)), оправедливым для любых двух событий А, 8. б) Использовать определение иепрерывпости фувкцик двух переменных и результат п. а).
4,38. Показать, что при каждом 1 = 1, 2 последовательность (~~ш (Цю+...+5~"1)/и сход~геок по распределению и вм когда л-+ со, и пркмеппгь результат задачи 4.35. В случае а) сходимость ((о1 к е< следует из закона больших чисел (см. введение к гл. 4) в случае б) — кз задачи 435. 4.32. при вычислении Р(", < х) воспользоватьси соотноше. коем Иго (1 — е)юе == е е- о 4,38. Заметить, что ть мо:кво предотавить в виде оуммы й ие зависимых случайных величии, распределенных так же, как $. Воспользозатьсл неравенством Чебышева. 4.3!!. Зпачепве Мт, вычислялось в задаче ЗЛОЙ Чтобы иайтп раопределевце т, аамстпть, что т» 5г+" +йт.
(1) Мт Мт вспользуя оценку РЦФ,+ "+( .! <Р (с< л)+вор Р~~ г "' — в~) з), Г1$ +...+2,„ показать, что второй сомножитель в (1) сходится по вероятности к 1, н воспользоваться п. 6) задачи 4.33. 4.40. Заметить, что случайная веллчнна т, имеет такое же распределепие, как сумма $~ + ... $ з которой Зо Зт, ... и ч независимы, йь $ь ... распределены так я~с, как $, а т имеет геометрическое распределение с параметром З. Далее при решенгп и. а) использовать задачу 4.37, а прн решении и. 6) — задачу 429.
4.41. Первая оценка следует из неравенства Чебышева. Для доказательства второй можно ззестп пвдпкатор дл события А н воспользоваться результатами задач 3.186, ЗЛЗ8, неравенством Коши — Буняковского н переходом к дополнительному событию. 4.42, Используя задачи 4.41 и 4.39, показать, что нахождеяве предельного распределения дт, сводится и применению задачи 4.37. Затем с помощью аадач С.ЗЗ и 4.41 показать, что предельные распределения чт~ и чтз совпадают. 4АЗ. Убедиться в том, что процесс работы прибора удовлетворяет схеме, описанной в задаче 4.42, и что для искомой случайной величины т и случайных величпн т, и т, нз задачи 4.42 справед пиво соотношение Р(с~з те тз) = 1. 4.44.
Применить результат задача 4ЛЗ. Использовать аппроксимацию пуассаяовского распределения нормальным. 446. Испольэовать определения указанных видов сходимоств. При построении примера рассмотреть такие иезависямые случайные величины З„, что 1 (8 =21 1 —, ()$„— $) ~1 ~/~. Вычислить М($» — $)з в использовать лемму Бореля — Каителли (задачу 4Л6) для доназательства того, что Р (1)ш )Зв — 4) О~ О. 1»» 4.46. Если Р(з) и )г (х) — функцвн распределения й н 3» (и 1, 2, ...) соответствеяно, г»(з) и г»(с) — обратные функцни, а случайная веяичияа Ь имеет ра~номерное распределение на отрезке (О, 1), то последовательность случайных велпчпя $ р„(() сходится к $' Г»(ь) с вероятностью 1. 447. а) В случае когда З сходятся к 2 по вероятности, зоо пользоваться равномерной непрерывностью г(в) ва любом коночном отрезке ° включением ()1(З„) — 1(З)) ~ е) ан ()й) > Т) () ()З) ~ Т, (й„ вЂ” Ы .л.
е ), справедливым для любых е >О, Т~ »» при некотором е' е'(з, Т)„ Случай сходнмостн с вероятностью 1 рассматривается аналогнчсо, а случай сходимостн по распределению сводятся к любому на рассмотренных с помощью результатов задач 4.45 и 4.46. б) Рассуждения проводятся так же, нак в и. а), но при построении множества, на иотором 1(в) равномерно ненрерыьеа, нужно исключить из отрезка ( — Т, Т) екрестностк всех точек 1»з. рыва 7(х), Л(5 ) — г(") удовлетворяют условию )сп Р(!и ))е) 0 при лютом е)О.
й Р Далее воспользоваться задачей 4.33, 6). 4.52. См. указзвия к задаче 4.51. В отличие от задачи 4.Ы определить случзйвые величины я, равеиствзми у(5,) — «(ч.) 1 )'5 с тз ь <ь — — —, " "~ (1+ко). (с) — ес 3 4.53. а) Распределение случайной величины ~~'~,РТ1:М распределению. (х) = х . при и -~- сс сходится к стандартному яормальаому ре 6) Использовать задачу 4.Ы с $ = — — В лс с 4.54. з) Использовать задачу 4.52. 6) Использовать задачу 4.Ы. 4.55.
Показать, что для любого е ~ О Вюр, —, )е =О, если выполиевы условия п. в). При построении примеров, доказывающих, что условия з) и б) ие обеспечпвают совпадения преп е ° п е — е в — а дельных рзспрелелеяий — к,, рассмотреть случай! вые величины $, = Ь„$+ ач, где случайвая величине ф имеет 210 4.48. Существование всличивы е =- 1пв $с следует из монов тонности последовательности $, а ревепстзо М$ = а — пз ипте- гральиого предстзвлепил МЗ (см.
задачу 3338) и из теоремы о мо- вотовпой глодимости (см, введение к гл. 3), 4.49. з) Показать, что если бз (Ь ~ 2) — млпвисльвый по дляие отрезок из тет, яз которые отрезок [О, 11 разбивзется точ- камв $ь ..., $ь-ь а (яь( — его длины, то Лью с= бе (й 2, 3, ...! и М~ба(-~ 0 при Ь сс.
6) Вычислить мз и м5з, вользуясь тем, что условное распре- деление 5 при условии $~ х совпадает с распределением хз, если х ( 1!2. и с рзспределеиием 1 — (1 — х)5, если х ~ 1/2. 4 50 в) Показать, чтор 1 Пт ) 1„ — Б„ , ! О)= 1, и воспользо!с ч взться леммой о вло>кевиыл отрезвит. 6) Воспользоваться тем, что условное рзспределспие $ при условии $~ х совпадает с безусловным распределением т (1 — 4).
4.51. Показать, что случайные величины и, определенные ра. веиствзми стандартное нормальное распределение, и подобрать соотеетствует- щкм обРаеом последовательвостл а, Ое, а„, Ь„. 4.56. а) Раосмотреть случайные величавы а» Хч+(1 Х)Сл, в 12,..., гле Хь Хь ... — случайные величины, не аависящве от 5, Р(Х =-О)+Р(Х =1)=1.
б) Сравнивая Мй 1 х6РК<х) и М „= 1 хЛР($ «~х1, показать, что еа счет выбора достаточно болыпого Т интегралы )х)ИР Я(~х) в ~ )х(г)Р(йвц,х) 1хОвт псы можно сделать сколь угодно ьгалымн, а равность интегралов по области ((х( ( Т) прп л-~со стремится к О. 4.57. а) Рассуждая так же, как в и. 6) аадачв 4.56, покааать, что 11 (Лӄ— и) = и и ~хт6Р((й„(<.)>О. е Т~юв ые т Построение примера, в котором М ) )к, провести аналогично п. а) аадачв 4.56, б) Случайные величины й„— Мб„и 6 — М$ удовлетворя,от условиям и. а).
4.56, Случайная величина 5» имеет биномнальпое распределе- ние с параметрами (л, Р), 4.66. а) Использовать равенство Мй'ы = фы> (1). 6) См. определение проиаводящей функции н ее свойства. в) Использовать равенство ~ ххах =- , а .л — 1. а 1 1+и е 4.62.
Покаветь, что бь = т~+... +ты гае гв ..., ть — независи- мые случавные величины, распределенные так же, как случанная величина т~ в аадаче 4.61. 4.63. Сравнивая ряды Мз) = 'У Сх 'ржав мав и 1 тхМе) "-3 рх составить ренуррентное уравнение, свявывающее производящие функции Мтт при соседних вначениях ж, и найти его Решение. 4.64. Пользуясь результатами задачи 4.63, найти производящие функции распределений $ь аь аз и ит суммы Н.
4.65. а) Воспольвоваться формулой полного математического ожидания. б) Испольаовать реаультат п. а). 4.66. Найти РЦ~ $т О), РД, О), РДт 0). 4.67. Представить мг(з) в виде степенного ряда, Воспользоваться правилами почленного дифференцирования рядов и пеотРицательностью козффицнентов ряда для Ф~ (з). ~й) 4.68. Сопоставить 4-му испытанию вектор (еь, г °, еь, к) 1, 2...„где емз = 1, если в й-м испытании появится )-й нс! ход, и еь, г 0 в противном случае.
Воспольаоваться равенством ($с ы ..., $з н) ~Ч~~ (еа, ..., еь л) е 1 и свойствамн производящих функций векторных случайных велачна. 4,69. )!спользовать результат задачи 4.68. 4.70. а) Воспользоваться формулой полаого математического о;кздання н реаультатои задачи 4.68. б) Вывести иа рсаультата и, а), что компоненты $ . ь " аз< л независимы и а,,~имеет расдредсленне Пуассона с параметром йль 4.71.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
