А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 41
Текст из файла (страница 41)
-(-Зь)з ~ 5~~ 11КЗСз ззсаи з и указаззззяззи к задаче 5.31. 5,33. Использовап, равенство $»+з $1 -[- (йз з — 5») н незави- симость случайных величин йз и 5»»з — $1 '(з 5. 0), 5.3гь Воспользоваться равенством (таз 7) (Зтрз й), вада- ч й ЗЛ32 и свойствами пуассояозского пропесса. 535. Случашпю велпчкшя Ь, =- гь Ьз = тз — ть Ьз = тз — ть ° ' незавпснмьз и одшзлзозо распределены: Р(Ь» ~ з) 1 — е-з* (з,м О, й - 1, 2, „..).
Воспользоваться бзорззулой для плотяоств гамма-. зспределеиия. 5.36. См. указания к аапаче 5.35. В случае в) в "пользоваться тем что (т, вЗ Т ч.. тз) (Зг 1), где Зз — пуассоновский про- цесс с интенсивностью Х. 5.37. См. укаааяяя к аадачс 5.35 и задачу 3.63. 5.38. Используя обозначения яз задачи 5.34. ввести индикаторы если та<а и т„— тз>Ь, т)~ 0 в остальных случаях, -( Прк вычислении Ь» ~О Чз = з~з Р (Ч» = 1) заметить, что случая- 1 З-з пззе величины тз и тзез — тз независимы. 5,39.
См, уьазанкя к аадаче 5.38. ЗЛЗ. Величина $з равна числу требований, которые поступила в систему яз ( — со, г) и пе покипулн ее к моменту 1, Использовать копструкпяю, описанную в задаче 5Л2, и свойства пуассоновского потока. 5Л1. См указания к задаче 5ЛЗ. 5Л5. б) Величина Р(р ~ з) равна вероятности того, что в нруге радиуса з имеется не более к — 1 точек пуассоповского поля. 5Л6.
См. указания к задаче ЗЛзб, 5Л7. а) Случайная величина 5„ есть сумма двух независимых случайных величин, нмеющззх равномерное распределение па отрезке [О, 1). б) В случае з 1 воспольаовзться равенством 1 рз(зг зз) ~ Рз(зг, за[к)згзз, е где р,(зь я,(ц) — плотность условного совместного распределения б„и бзез прв условии, что т„ез = я + и: 1, если из з .г.и+1, 1 — и<.т ~2' — и, 1 "з 1» 1' з[ 0 в остальных случаях. в) Найти вероятность дополнительного события. 230 г) События (т«5<) к (т, ) $<) независимы. д) !(ри вычислении Мк и Мк' воспользоваться равенством к Х(т< ~а Ц(т< — $) + Х(т< ~ $) (тг — $), а пря пахон<денки плотности о(х) — равенством о(х) = Мд(г)=,).
где о[а)в) — плотность условного распределения и прп уелозвн, что 4 и: 1, еслп О(а~1 — и, о(л! и)=.. и, еслк 1 — и<*(2 — и, 0 в остальных случаях. 5.48. Воспользоваться определением пуассопоеского потока и указаниямк к задаче 5.47. 5 53, а) Найти Р< Р(гн = 1)цг — 1), Рг = Р(цз 1)ц< = 1< цт = — 1). 5.54. Вычислить Р(до(в+ 1) — Про(л) = й), й, ! = О, ..., !у, и Р()<е(л + 1) = !(ре(п) = й, ре(л 1) = I«,, ре(0) = й ) прк як<был допустимых значениях й, й„..., й, !. 5.55.
См. указания к задаче 5.54. 5.56. 6) Убедиться в том, что цепь Маркова 4„удовлетворяет условиям теоремы, сформулированной во введен<<в к гл, 5. Проверить, что бкномиальное распределение с параметрами (!т', о) является стационарным, 5.57. а) Для вычисления рн воспользоваться тем, что прк условии ь„ = Г все С<, вариантов окраски шаров с комерамп л + 1...,, и + <у равновероятны. Сравнить Р(4< = 1, $< = 0)$< = 0) н Ре<ри. б) Распределение 5„ пе зависит от л: 5.59. Показать, что матрица ()Р,.~'Ь(1 — Дважды стохастичсская (см. задачу 5.58), 5.60.
Показать, чго при фиксированном звачении $< распределение 4<+< пе завнсит от (и 6ь ..., $«. 5.61. построить кусочно йостоял«ые функции л(у) и )(г, у) так, чтооы при любых <, ! ш (1, ..., Л) мера множества тех значений у, лри которых д(у) ! (((1, у) ==- !), была равна Р(е< (РО). 5.62. За состояние прпклть число очков па тоб грапн, ва которой лежит кость, (Сумма очков на противоположных ~ранях рвв. на 7.) Выписать матрицу вероятпастеб перехода, применить теорему о финальных вероятностях.
5.64. Заметить, что Рь ь< = сг/л длл ля<бого ! = 1, ..., и и что поэтому распределение т„ совпадает с распределением т„ =-= == вН(< ил 1: 6< 1), где '...",, ... — последочательпость Бсрнуллнг << Р ((< — — 1~ = — „, Р Ц = О) =- 1 — — „, Г = 1, 2, Воспользоваться задачей 4.37. 5.65. а) Использовать соотно<пения Р(ш (О~ ( сс) 1 и б) Заметить, что при е Л О мт, <,) ~Р((<ш =О~Ц<=-1»м (лип(л>ос (<ючьз» ~5<ю =5).
в) Пользуясь формулой полной вероятности по значенилм сначала составить и респнть уравнение для пропэводнщей ен'зкцня Р (а) = М<а ~5~ = 2<. т Ол е) 5.66. Последовательность т), = $п+< — $„ состоит из пеааввсп- мых одинаково распределенных случайных величин. 5.67. б) Воспользоваться тем, что Р(та+< — та и)та 1» не за- ввснт ни от М вп от с, 5.66. а) Составить уравнение для <ра(а), пользуясь формулой полного математического ожидания (по значениям 5 сош(л-а1< $, = О)). 5.69. 6) Использовать формулу полного математнческого ожи- дания по аначепиям йь 5.70:. Заметить, что Р(т< !) = 1.
Для вычисления та()7) М(та (ьа О), »(< = 1, 2... „составить п решить системы линей- пых уравноний для та(С<») М(тп»ьа й), й О, шс, ш2, пользуясь формулой полного математического ожидания (разло- жением по аначевиям ~О. Сократить число неизвестных, аамотнв, что та(С<<) за а(<у).
5.71. Так аке, как в задаче 5.70, составить систему лнвейных уравнений для та(<У), Сг О, 1, ..., )<< — 1. Рассмотреть звачеввя та(й) — та(<у), Сг = 1, 2, ..., <7 — 1 при Т =- 2, 3. 5.72. Используя формулу полного матоматпческого ожидания (разложення по значениям $(1) ), составить систему линейных уравнений, которым должны удовлетворять тю, ть ..., тл; убе- .
Лнться в том, что укааанвые значения та яяляются единственным решением этой системы. 5.73. Так же, как в задаче 5.70, ссставать систеа<у лннейвых уравнений, свлзывающлх раз<с+ 1), ра-оп(с), рать п(с) и, поль- зуясь нового<<постыл по с величин рап(с), перейти от атой системы к системе линейных уравнений относительно лал, й — — О, 1... „У. <я< <<ч> <л> Вывеств вз атой системы, что отношепне <л, не зааигпт на~< — л<; < от А', в воспользоваться равекствамн л< 1= 0, я)та= 1. Аналоя л гпчпо получить формулы для л<<е<.
й и —. 1, ..., Е. 5.74. Рассмотреть цепь Маркоса с тремя состояниями< Еа (из- делно исправно), Е, = (прл проверке в ОТК обварул<ен брак», Еа (иаделне бракованное, во прошло через ОТК), 5.76. Найти матрицу Р вероятностей перехода цепи Маркова ас п проверить, что лР я, где л (пе, яь ..., лп), н что я, + + яс + ... + лл = 1. Использовать равенство С" С~я а и ме- тод проиаводящвх функций. 5.77. 5) С помощью формулы полного математического ожила- ния (разложения по значениям $~ е классе несущественных состоя- ний) составить систему линейных уравнений для величин зы М(тДв У», 1 1, 2. 'Решить втУ системУ и заметить, что в нашем случае Мт Р(бв = 1)жв+ Р($е 2)жь в) Аналогично вь б) составить системы линейных уравнений д„я ру"У, р»аУ к для рубв, РУАУ, г) Заметить, что если Е )уш Р(ьу !)$ у» 1 3 4 5 У 1~ с 6,— предельные вероятности для пспп, начальное соотояние кото.
рой принадлежит сужествепному классу, то Р (3 1» Рш~ду+ Р (Ц 2) Р~~~еу, У 3,4, ,.- Р(„=-1»~(~~ду+ Р(8 -2) РЕ~,, 7 5,6. 5.79. Пусть еь,. „с — собственные векторы (векторы-столб пы) матрицм А, соответствующие собственным числам Хь .. „Х„, вектор-столбец ауРУ имеет координаты ауРУ, ..., а("У и все коорла- 11 вз наты вектора-столбца еу разны Оу кроме у-й координаты, равной 1.
Если е, == р®е + ... + Р®е, то ауту Ате 4т чв ()уууе,, л, р(уу) те У 1 .сз А А л.У А» А » 1 »-1 5.Ю. Использовать указания к задаче 5.79 и приведение натри цы А к жордановой нормальной форме. 5.81. По собствеиныы числам матрицы Р и по аначепкям Р, Рз, ..., Рл-' можно составить систему 3У линейных уравнений относительно коаффкциептов еы в формулах задач 5.79 к 5.Ю, 5.82. Использовать результат задачи 5.81.
5.83. Представить т,(у) в видо суммы индикаторов'. т,(г) ° Оу+...+Оь где (6» = 1» = Дв 1), (61 0) = (31 2) й ° 1, 2, ... Используя результат задачи 5.82: р (А) = — + И а+() + е „, где (з А(((1 — св — () (», и равенства м61= рув(А), мб»61 руу(А) рп(у — А), 1(А -"у, установить прпведеннууо в условии задачи асимптотическую формулу для м(тв(1)($1 = у) и доказать, что при 1-вес М ( т' (» ( 'з = у ( =- (1 + е (И) (М (» (И ( 3 = у»)з, пользуясь представлением т (1) — мт (1) = гч', (6 м6„) ыож А 1 но показать, что 41(тю(С)($в У) = СС(1+ о(1)), У-в.со.
5.84. Использовать реаультат задачи 5.24 и неравенство Чебышева. 5.86. Использовать равенство 1 чгч А 1 »1 233 Р=~ и з) в Р' 5.87. Рассмотреть матрицы 1 — ез еа -( з )пряз40. 5.89, а) Состояние атома описывается рззложимой цепью 51ариова с двумя состояниями. 5.90. Решить в данном частном случае слотему уравнений (5.5) или (5.6). 5.91. Используя результат задачи 5.90, рассмотреть систему уравиояий я~в'8~ (г) =. а, рзг ") (г) = а, относительно неот рпцательных иеяввестных и, 3.
5.92, Положить ~1,если5 =1, х(г) = ( О, если Згта 1. Тогда т (г]=~2(г)г1г, тз(В)=2" ~)((г)2(г)г(гг(г. е о 1 Использовать результат аадачи 5.90 и указания к задаче 5.83. 5,93, Использовать ревеиство т)(с) ~ т)(О) + шт,(г) — игтг(г) = т)(0) — ггг + (г, + иг) т~(г) и результаты задачи 5.92, 5.94. Составтпь систему диф$ерегвцггальвых уравнений длн вероятностей перехода жг(г) за время г и перейти и системе уравпепий длл пь пг, лг, заменяя ры(г) на пг(г) == пг, 1 = 1, 2, 3.
5.95. См. уиазания и задаче 5.94. Глава О 1 кч з 6.1. Положим у„=х„— а, у= — л у уь. Полазать, что г а в — лт (ра — у) . Найти Мг . Доказать, а 1 л -ь сс. 6,3. См. задачу 3.15Х 6.4. Использовать неаавнсимость хг и гзы 6.5. Величина г' является состоятельной дачу 6.1), т. е. гг — Ьх~ при л- сс сходится Воспользоваться решением задачи 4.33. что Ог = 0(1/л) прп оценкой (Зз, (свг. зало вероятности и О.
5,88. Показать, что последовательность $ = ь,в~ — ьег образует пель 5!зркова с 4 состолнинми. Найти явное выражение для г-йг степени матрицы вероятностей перехода втой цепи, представлял ее в ваде разности номмутируювцих матриц 1 и С (т. е. танях, что 1с = с1). Далее вычислить мзв и воспользоваться равенством 5г = $о+ Ь+.*.+ 3 -ь 6.6.
Выравить величину и через х) =х1 — М$, у) у) — Мц. найти мвз. Доказать, что Олз 0(1гл) при л-» се, 6.7. Найти Мр», 0р». Использовать неравенства Чебышева. 6.8. Используя теорему Муавра-Лапласа и розультаты задач 67, 4ЛЗ, доказать, что если р» (з /л, то прп в-з. э» Р~, ° . х)-ч-бз (х). 6.14. б) Найти максимум фуикции правдоподобия при условии ° +Ь вЂ” с О. ОЛ8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
