А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 36
Текст из файла (страница 36)
а) следует иа утверждения п. б), а зто последнее следует па ливсйвогтп операции соч ($, $) по каяс й из переменных. ЗЛ59. а) Показать, что (а, Ва) 0(а, $). б) Воспользоваться тем, что условие [ревг В ве больше еквизалептио условию (существу!от линейно независимые векзоры ьь ..„ьь-„для которых Вьг О), условие (0с О» — усл.» вню (Р(п С) 1 для искоторово С», а также в. 5) задачи ЗЛОЕ.
3,!60. Применить математическую индукцию и формулу (3.5). ЗЛЗ!. Воспользоваться соотиошениеь~ Р(ч ~ л» - Р($1+. ° .+ + $» ~ Ц и результатами задач ЗЛЗ2 и ЗЛ60. 3.162. Использовать метод иеопредслениых мнюаптелей Лагранжа. 3.164. Воспольэовазься формулой б ~~ (Х $ ... $ „), / 1 2 ...
в ) где сумма берется по всем подстановкам а =~ ~п! о ... Ф»!! 205 3.166, Заметить, что если матрица А [а,,[,", » » Воспользоваться тем, что МС~~ —— О для любого нечетного ю ~ Ь. ЗЛ66. Представить мз1п $ и М сов $ в виде суммы интегралов по [2нй, 2я(4+ 1)), 4 О, 1, ..., а чатем показать, что каждый вз втих интегралов может быть представлен е виде интеграла по (О, н/2) илн по (О, я) ат положительной функции. 3,167. Если р*~1(2, то М '= — +М~ — — ~; далее зос- !Р» — ' л 2 ~ и 2 пользоватьсл неравенством М~ — — — ~н, ~ Π—.
Прп Рчь1/2, (Рй 1! Г НаПРИМЕР, ПРН Р Ъ. Ц2, ЗаМЕтпть, Чтс — "— —,, +11 — — )$ж » " .з где $» 1, если р» ~ в — р, и 3 О, если р„) л — н„. найти Пш Мй» )!шр1 "Ы,— 1С помощью теоремы Муавра — Лапласа, »»»»»оа л 2 ЗЛ68. а) Полонгпть Аза —— (ь а — — ать ),), Вь [3 „ в использовать рааложевие зз ' ' Ч» з») б) Заметить что (и = 2Ь) =(А~ »() Аа) В ...
В, ЗЛ69, См. указание к задаче ЗЛ68. ЗЛ70. Прибыль предприятия г~ представлть е виде ц $~+ + Зг+... + $». где $» — прибыль зз а-е изделие. Вычисаигь Мз» с помощью задачи 2.24. 3.171. Найти произзодвую по з функции ~р(х) * М)ь — з(, где л — координата точки В. ЗЛ72, Воспользоваться решением задачи ЗЛ71. 3.173. Воспользоваться равенством М(й — з)з М(3 — МЗ)з+ (з Мф)з. ЗЛ74. Если ($, т!) — координаты точки Х, (а, Ь) — координаты точки А, то М(АХ!' М((3 — а]'+ (ц — Ь)г». Воспользоваться ва- де чей 3.173. ЗЛ7$.
Если Зь $г, ...— уровни весенних паводков в последова тельные годы, а т, — время до разрушения плотины пааоцком, то (ч > г) =) о'ах $.~з). Случайная величина т, при любом 1~» лг з ) О имеет геометрическое распределение ЗЛ76. Найти функцию распределения 2т, Воспользоваться фор- муяой Р(хг в) М(Р(тг 2» и!(г)) в тем, что условное распре- деление т при условии ьт з — геометрическое прв любом з, ЗЛ77.
Рассмотреть случайные величавы оы» (3< — Ь), 1 ~ ~ 1(1 ~ 3, и воспользоваться соотношениями а) Рм+ Р«т+ Рм = 2 й «т« — Ф 1«П, 11) тяго ($м, — $,1«, З«т« — 6«11) » «'Узй~з« вЂ” 3«««) ЗЛ78. Пусть Р(а «8 «Ь) = 1, Ь вЂ” а = й Воспользоваться тем, что Ох «М~Д вЂ” (а+Ь)(2)т (см. задачу ЗЛ73).
ЗЛ79. Воспользоваться тем, что при а««Ь« (а, ( т)«( Ь ) ()(ат «т)т » «ЬД ~ (ат+ аз «т)«+ т)т » «Ь, + Ьз). 3.180. Воспользоваться задачами ЗЛ78, ЗЛ79 н доказать, что вз предположения о том, что ф сосредоточена ва отрезке длины 1 « оо, и из безграничной делимости распределения $ следует ра веяство 0$ =. О, т. с. вырожденносгь распределения 3.
3.181. Вводя индикаторы 2«, ..., )(» событий Аь ..» А», уста- новить равенство » » вр = М (утм + °" + 7„) У Р (ВА) = ~и~ РЬР (ВА ~, Ва+1) А 1 А 1 и вывести пз него, что для любого ж = 1, 2, ..., я тР(В») «ор «га — 1 + (а — га + ЦР(В»«). 3.182. Воспользоваться результатом задачи 3,136. ЗЛ83.
з) Рассмотреть случайные величины 8 » 1 и тр Р(т) = — 0) 1 — р, Р(т) = 10/р) = р, р «= (О, Ц. б) Рассмотреть случайные величины 3 и гь имжощие равно мерное распределенно на (О, Ц п таяне, что П = ($+ р), т. е Ч равно дробной части числа $+ р. в) 11оказать, что Р(3 «т)) «а при а ( 1, Рассмотреть случай, когда -= (6-)- р) на мяожестве (ыж рл 8~а). Случай а ) 1 сводится к а «1 делением на а: Р($ «4 т)) 1 — Р(П/а «$/а). ЗЛ84. Вычислить М~ $ — — ( и М ~П вЂ” 2 ~ и воспользоваться неравенством (х — у( « (а) + )У) ЗЛ85.
Показать, что случаиные величины ппв (3« И) и зпах ($« т)) удовтетворятот условиям задача и что Р(Ц = $ илк ь т)) 3.186. Если Р- Ы- р(*: Р(*) «у) н (2-1) (В-Р- (1 — И-Ат то для любой другой случайной величины 7', Р(т,' Ц а, Р(2' 0) =-1 — а и (т'= Ц А'ньА, справедливо неравевотва Мдв — М$2' ) О, так как М($ шах (т — )(', О)) й«Р' 1(1 — а)Р(А««А'), м(8 шах (3'-2«0)) «р 1(1 — а)Р(А'«,А) и Р(А''АА) = Р(А««А'), Минимальное вначекие МЯЗ) достигается прн (т = Ц ($ «)Р 1(а)). Для вычисления экстремальных значений м(Зт) воспользоваться задачами 3.135 и ЗЛ36.
207 3.187. Представить Ь в виде й и+ ($ — т))2, где случайная зслпчипа 7 прилипает звачевия О я 1 и (т ~ О) (ь = т)), (Х = 1) = (ь 4). Далее воспользоватьсл аддзтвзпостью математического ожидания п результатом задачи ЗЛ86 (предварительно вычислив фупкц~по распределения 5 — О). 3.188. а) Воспользоваться свойством аддптивпостп матриц коварлаций. б) Использовать результат п. а) и формулу для плотности двумерного нсрмальиого распределеппя.
ЗЛ89. а), б), в) Найти Р(3 т)); использовать равенство Р (з ) т)) = Р Я < т1) = (1 — Р (3 =т)))/2. 3.190. Составить и решить рекуррептные уравнения: в случаа а) — для Р(3 ) й), в случаях б) и в) — для Р(3 *= 1), ЗЛ91. Йспользовать задачи: 332 — в случае а), 3.26 в случае б), 334 — в случае в). ЗЛ92. Использовать результаты задачи 3.191. ЗЛОЗ. Условиые распределения 3 п ц при условии $+т) = з соепалазот. Если Р(($+т) — х) ( е) О прп нокотором е) О, зо условное распределеияе 4 иля О при условия 2+ т) = з ие определево. 3.195. Поаазаттч что если е (*ь ...,л ) и Р ~ (Рь ° ° ° Р») „ любые два вабора, состоящие из й едиивц и и — й пулей каждый, тоР $ л) =Р($= и). ~ .) л96.
Доказать пвдукцпей по й, что если 3м (1=1, ..., и; 1, 2, ...)* — пезаеис~щые случайиые велвчлиы, РДН = 1) =- Р, Р(ьы = О) =. 1 — Р пря»йобых ~', д то Хь $п. ° . Зп+ йя ... $гь+ ...+ 2»~.. ° $»ь 3.198. Обозначим через ц число белых шаров в первой выборке. Тогда по формуле полпой вероятяости Р($ = та) =* ~ч', Р(3 =1)Р (3= ю(т) =1). ~=-е 3.199, Найти условную плотность распределевия т) прв фиксированном Зь 3.201. Вводя индикаторы событий, показать, что Мк лрйя ~ $ ~ или Зп ( $ т для 1= 1...„л — 1), и вычислить последяюю вероятность, используе пезависипость Зь .. » З„л формулу полной вероятпостп (фяиспрув множество А(3») = = (1; Ь~ ( $»~ яли $1»~ З,т) в звачеиия Фю $»т). 3.202.
Использовать условпые математические ожидания п формулу Рт = Мт' — (Мт)', 3.203. Показать, что в рзвепстзе Р(» > шах (ть л) ($ ) з) м»(Р(ч Р= шах (ть е) ) $;и я, т))) выражение под злаком математического ожидания можно оцевить снизу величиной Р(3 ~ ц(ц) пря любом фиксировавиом зпачеппи и. 3.204. Воспользоваться задачей 3.203. 3.205. а) Заметить, что Р(О» ( р)т)ь- = з) = Рй~ я р( Ь ( л). б) Вывестп пз п. а), что распределения дь и ЗДт. ° .
Зз совпадают. 208 в) Воспользоваться равепством Р(6» - т ~ 6,, - ) - Р(6 К л, 6 > ( = 1... „ж —.1)). г) Заметить, что т» = Ь~+... + Ь», и, пользуясь результатами пп. 6) в в), найти Мб д) См. указания к задаче 3.67. 3.206. Показать, что в-мерпая угловная плотность распределе- пяя (Вь ..., В ) прп условии В„ ( а ~ Б„», равна 0 вне множе- ства В (а) ((ло ..., т„): 0:.-.; ж~ ~ ... ~ »ч »С а) и постоянна на Вч(о).
Плотность распределения ($п„ .,„ $,»>) найдена в за- даче 3.63. 3.207. Представить Р~$ — з> — » и Р(ь > х) в виде ннтегра- С) лов по промежутку (в, оо). 3.208. Положим 6~ =1, если в испытании с номером 1 появи- лась 1, и $, = О в противном случае, Для условных математиче- ских ожиданий га» = м(т„($~ = О), т~ = М(т»»(6~ — — 1) составить свстему линейных уравнений, используя равенства М(тго(3~ = $г О) 2, М(тм($~ О, 6» = 1) 1+»чо М(те»~$~ = 1, ф» О) = 1+ жз, М(те»)$~ = 5з 1) 1+ жь и Формулу (320). Найдя из этой системы жь ть получаем Мт»э ° рш + о1иь 3.209.
Для условных математических ожиданий в»» М(т,ц($~ 0), ж~ = М(т~ц!$~ 1), тя М(тгя)$~ = $~ = 1) составить систему линейных уразвсввй. Найдя иа втой системы »о» и мь получим мъп ет,+ ргзь См. также указание к задаче 3.208. 3.210. См, указание к задаче 3.208. 3.211. Пусть В~ = (точки Ао ..., А„лея»ат на дуге А»С длины л (направление от А» к С-по часовой стрелке)).
Искомое событие есть В~ 1)... () В„. Показать, что В» д В1 9 при 1 чь 1, и найти Р(В»(А» Х). 3.212. Указанное в условии событпе пе происходит тогда и только тогда, когда длина дуги, содержащей Аь ..., А„, не иревоглодят полоаявы длины окружности С»ь задачу 3211. 3.2ПО Есля  — событие, описанное в аадаче 3.212, то (т»= в) В . Для вычвслсввя Мч к От пспольаовать аадачи ЗА32 и 3.133, 3.214. Найти длину дуги, на которой должны быть сосредоточены точки Аь .. „А, чтобы событие, указанное в условии задачи, не выполнялось Йспользовать результат задачи 3.211.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
