А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Йспользовать равенства Р(т ) 2500) = Р(р«м«< 1025». В ответе сохранить разумное число аваков, (См, укааапие к аадаче 2.63) 2.65. а) Пусть в гардеробах по х мест, обозначим через р число пар, выбравших гардероб одного входа; тогда 500 — и — число пар, выбравших другой гардероб. Используя теорему Муавра— Лапласа, подобрать з так, чтобы Р(2п < х, 1000 — 2р < в) к«0,99. 2.66. Воспользоваться схемой Бериулли о в = 2500, р 6)50 -0,2,;-0,6. 2.72. Рассмотреть все пепочки исходов длины 1, содержащие 4 успехов, кз которых один стоит ка конце цепочки. 2.73. Воспользоваться схемой Берпулли, в которой испытапием является бросание двух костей; за два исхода каждого испытапия припять вьшадепке илв псвыпадеипе хотя бы одной «6». Рассматриваемая схема является частпым случаем (2А5) †(2.!7).
2.7ть Закумеруем подряд бросания молоты. Бросания с нечетными ьеь«сраки прокаводятся первым игроком; остальные — вторым, Пусть С« — событие, состоящее в том, что в 1-м бросании выпал «гербы а) Событ««е, состоящее в том, что игра закончится до 4-го бросания, представляется в виде С~ () С~С«Б С(ѫѫ, б), в) рассматрвваются аналогично. 2,75, Вероятностное пространство определяется формуламв (2.15) — (2А7) с )У 2, р« = р, р« = Ч.
Обозначим рассматриваемое событие А. Порожка«В» (нуль впервые появился прп й-м испы- Ф талии). Тогда Р (А) = ~ Р(АБа). а г 13« 195 2.78. (См. указание к задаче 2.73.) Нетрудно установить, что рессмагрнааемое событие пожег произойти лишь в том случае, когда первые дза испытания приводит к двум нулям. 377. Обозначим рассматриваекпе событие А. Исход <-го испыташп< (О иля Ц обозначим йо. Для условных вероятностей ро Р(АЯ< 0), р~ Р(А)$< Ц, рп Р(А»$< йа Ц можно, пользуясь формулой полной вероятности, составить систему линейных уравнений. Решвв ее, находим Рос»ш * Р(А» дро+ ррь При состазлокии системы использовать равенства вида Р(А»$< О, $< Ц Р(А»$< Ц р<, Р(А»$< 1, 3< О) Р(А»$< О) = ро,.
° 3.76 Число единиц в и испытаниях схемы Бернулли однозначно ваяет положение частицы. йГ !. Найти веронтность противоположного события. Неправильная передача происходит в следуюп<ах олучаях: К (искажено ие менее 4 знаков), Е (два енака принято правильно, а остальные знаки одккаковы), М (два анака принято правильно; среди остальных ровно два одинаковых; из двух пар частых вна. ков выбирается пара неверно принятых знаков). а82.
Возможны два подхода. 1. Воспользоваться формулами з» оо. Р(о = 2 я .» (я ~~ + ° ° + во<о) о о» е< „Л о+...+о-оох» "'л» л 2, Положим В® (в Пм испытании появплся исход Ц о В<я = (в )-м испытанзн ие появился исход Ц. Тогда событпя ВО>, В<о>, ..., В<он (е< 0,1) взаимно невавпсимы и Р»В~О~ » рд, у<В<"»-р +...+р„-1 — р. 2.83. Использовать решение задачи 2.82. 3.84, Решается аналогично 2.82.
2.85. ПоложнмА» (<-я ячокка осталась пустой). Тогда (Ро(з, Л') 3) =- П <' А< А< ... о1< П П А<) Из решения задачи 2.84 следует, что Р~ П А<»А< ... А<о~ совпадает с вероятностью того, что после размещении к частиц по д< — 4 ячейкам, отлична<к от «, „„<о, среди етих ячеен нет пустых.
Воспользоваться решением задачи 1Л8. Глава 3 З.Х Воспольаоваться формулами 1 1 й (й+ 1) й й+!' Р($=й) =1, З.З. Воспользоваться формулой 2 й(й+1) (й+ 2) й (й+ 1) (й+ 1) (й+2)' 3.8. Угол меазду положительным направлением оси ординат и лучом АВ ннсст равномерное распределение на отрезке (О, 2з). 3.9. Найти фупкцшо распределения и. 310. Найти сначала Р(»П):э х), Р(»Ц р:х) и воспользоватьгн тем, что распределения г) и Ь симметричны, т. е.
Р(ц и, — х) ~ш Р(П~» х), Р(~ ~ — *) Р(5 - х),— 3.1Х Замствть, что Р()г(З) ( г (х) ) Р(х) для любого х. —.с (х~ «с. 3.13. Показать, что (Р-~(П) < х) = (ц «г (х)) для любого х е«( х ~ сю. 354. Расяределенне величины П = д(8) будет иметь атом в точке з, т. е. Р(г) = у» > О, если, например, уравнению я(х) у уловлетворязот все точки интервала х~ ~ х (хз п вероятность собьюся (х, ( $ ~ хз) положвтельна. ЗЛ5. Воспользоваться тем, что при достаточно больших Ф значения Р( — М) и 1 — Р(Ж) могут быть сделаны как угодно малымп, а на зиобом замкнутом интервале ( — У„)У) непрерывная функпня равномерно непрерывна.
ЗА7. 6) Оценить сверху вероятность Р($ = П» суммой Р() З(~ Л' (г))~Л')+ Р ~ ~(~, — «~г) ( а -на 2,86. Обозначим 0 число очков, выпавшее при в-и бро- сании; ч — номер последпегп бросания. Положим А = (0„>5), В„(2( 0 < 5), Возможны два подхода к решению. 1) Событие С, вероятность которого требуется найти, можно представить в виде С В () ( () А А, ... Аз «Ве). ~а=2 2) Доказать равенства Р(С» = Р(ВД + Р(А~)Р(С(А~), Р(С(Ад = Р(С).
2.87. Найти вероктность того, что в й-й тройке все исходы раз- личны. См, указания к задаче 280. 2.88. См, указания к аадаче 2.86. 2.89. Обоаначим через А~ появление хотя бы одной «6» у игро- ка А прн ьсм бросании; аналогично определяем Вз для игрока В. Можно воспользоваться любым яз подгодоз, описанных в указа- ниях к задаче 2,86. и вспахать, что эа счет выбора достаточно больших л и Зс эта сумма мшкет бьжь сделана сколь угодно малой. 3.23. Испольаовать 4юрмулу (3.2). 3.24.
Испольэовать йюрмулу (3.2) . 325.Убедиться в тон, что Р()ь~ — $т! !» = 2Р(О " $~ — 3т( (1». Воспользоваться равенством Р(О:а(,—;,~ !) = '; Р(и:а:„, С +1)СР(х,.: ». 3.26. Найти сначала функции распределенил, расспа срезая па- ру (э, ц) как сяучайиую точку, равномерно распределенную в квадрате со стороной а.
и вычисляя плошади соответствующих фигур, 3.27. Воспользоваться тем, что двумерная плотность распреде- ления ($, ц) равна е"*-т, х > О, у > О. Вычислить сначала функ- ции распределения. 3.20. Воспользоваться формулой компоаиции (3.4). Учесть, что плотности Рс(х), Рч(У) на Разных интеРвалах опРеделшотсл Раз- нымн аналитическими выражениями, 3.30. Ом. указание к задаче ВЛО. З.З!.
Показать, что при лгобон с щ [О, а) Сс +2!Се — Н Г С! С Р()3 — 2 )~~С»= из ' =~2 — — ~ —, (2а — С)С ! С! С Р(пнп(з,Ц) < с» =,, =(2 — —,! —, 336, Воспосп зоваться результатом задачи 334. ЗЛ6. Воспользоваться реаультатом задачи 6.36. 3.37. !!айти сначала функцию распределения т). 3.38. Нэйш сначала Р(ц ( х), используя равоистео Р(ц~х) Р(2 < ! - +$ )~ их ) = ~Р»( ( Рь + +! (и)йи 1 — х 'т е и результат задачи 3.36. ЗЛО. Воспользоваться оеэаэигпмостыо 3~ в $з и равенством Р(3~+ Зт( х» = Р(йс х, 31 =0) + Р($т ~~х — 1, 3~ = 1». .3.40. Попользовать формулу компоавцин. 3.43.
Площадь пасхи поверхности сферы, лежащей в полупрострзястве (х< ) х), равна 2п(1 — х) ()х! щ 1). 334, Воспользоваться результатом аадачи 343. 3.46. Показать, что Р = Р(5, + йс — четное число). 3.46. а) ВоспользовзтьсЯ тем, что тс — тт и тс — тс оДипаново распределены и что (см. задачу ЗН7, б) Р(т~ тт) О; б) время ожидания 3-го клиента равно пйп (ть т,); в) событие, состоящее в том, что 3-й клиент закончит разговор раньше 2-го, лсояспо эа. писать з виде т, + т, ( та. Найти сначала плотность распределегея т~ + тз.
103 3.47. Пусть тз — время разговора Ь-го посетителя. Вероятность Рз того, что Ь-й посетитель закончит рааговор вервым, равна Рз, Р(тз < т), ти < ть ..., тз < тз-з, тз < тз „ ..., тз < тз». Показать, что Рз ... Р, 351. Пусть $, — число очков, выпавших в з-и испытании. В)л- рааить событие (О 1, т в) чорез события, связанные со слу- чайными величинами $„з 1, 2,... 3.52. а) Найти Р(О, = з, 'зз = 1з, Оз = 1, тз = )з, Оз = /с). 6), ь) Найти совместное распределение (О), ..., Оп, ть,„ть). 3.53. См. указание к задаче 3.52. З.ЬЬ.
а), б) Использовать равенства )з$ = и) = А)з)АИ) ... А'")А1"хз), з а " а )$ = и $ = и Аы> А>и)А>и+з)А(и+з) А)и+)+))А)и+)+з) где Аа)') = (Ь-й шар черны))), А>и) = ()з-й шар белый). в) Событие ($ = и, $ = ьз, ..., $А +, — — -ьз)+)» однозначно определяет моменты появлейзззз без)Ах и черных шаров. 3.56. Показать, что $ в з) равномерно распределены на (О, 1( в Р($ = з)» 1.
См. задачу 355. З.э7, Рассмотреть распределение двумерной случайной величины ($, з))) Р($ = О, з) = 1» = Р($1, т> = 0» 1!2. Положить ха = уа = О. 3.58. См. задачу 3.56. 3.59. Воспользоваться прв а, < вв Ьз ~ Ьз соотнозпенвем ($ < аз, з> к; Ьз)'>($ нй е„з> < Ь!» а-(ез < $ < аД ))(Ь! К з) ' Ьз).
3,60. а) Использовать равносильность события ($1 » х» и » (-, > х) и неаависимость $,', б) псполЪзовать равносильность з в событий[2,„) < х)н П ($,.~х) п независимость $,.; в] использовать з з равносильность событий (х <$ )»П($1в)<х» в П (х <$,,<х» н независимость $). 361. а) Пусть В (знвчекия т — 1 велвчвв па $з, ..., $ попали в ( †, х), одно значение — в (х, х + йх) и и — пз зяаченпй в (з + бх, +аа)). Показать, что Р(($>,„> з= (х, х+ йх))~Вв) = а(бх) прл бх-а О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
