А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 45
Текст из файла (страница 45)
м. зубкОВ в кр. Чтобы вычвслвть интеграл (3), продкфферевцируем по Ь обе часта тождества (1); в силу (4) дифференцирование под енаком интеграла в етом случае еаноннот нроввряетсис в 6« Г а («! «Сх МЦ ! 2~яр(х) «Сх= 2~ар(х) «Сх+ 2 ) ! — — оо, где О л! а(х) ( ео в а(х) - 1 пря х -«со.
Для докавательстеа гоотвошеиия (С'(О) ) ( покажем, ч со )1 — 1(С)( ««с(С) при с-«О тогда с'(Р) =1!ш(1 — с(с))сс 0). действительно, ив оценки 1- с е — сову< да!2 слсдуот, ччо если Т-, Т(с)- О, то 1 — сов сх йх l Если Т ()с(1п(с))""с' при с-«О, то последпвя оценка дает сс! 1 — с(с) = о(!в (, ) - е (! с)), что и требовалось докнаать; 4.00«Если фупкцин 1(х) дважды дпфферепцируема в точке х, то С (х — С) — 2! (х) + С (х + С) С«(х) =.!!ш с е Следовательно, в вашем случае 1( — с) — 2+ с(с), е пь — 2+в ~е С" (0) = 1гш =1!шМ с- о с с Так как выражение под аваков математического ожидаикя велте. ствевио, то можно рассматривать только его действительную частиц сов с$ — 1 „с сов сй — 1 ~«(0): 21!ш М, = 1)ш М" с с с с с- е (Св))2 « 1 — К (с) = 2 ~ (1 — сов сх) р (х) Нх «« т Ю =«(е«),«.«~~.( о т « в 1 -о (т) +)с( ~~ и !1!т — сов и «си !и (ис)с !) (««Е-«Ц(' ' а «) соэ !у — ! О»упиппя е, (в) = ' з иеполоитнтельна и шкя ва»тцвм"о Ыи) /2 у !Ф! ( ео, с»ремится в -! при т-~.0.
Поен»му нэ предположепия М$» ао следует равенство у'(0) =!по Мф~л ($) = — о», с о которое противоречит условию задача, Зеачпт, Мйт ( о» в 1" (О) — М'4». 4.!09. Пусть 9»"»(!) С оо. Разложим провааодшцую фувспню »((з) ~~'., Р(т» 4) з~ по формуле райнера в тачке э ! с ос»=-о таточпым членом в форме Лагранжа: «э!»» (П 9'и'ью П + О ( — !П %(*) =- '~ — (*-!)'+ .а 4! (Х+ !)! (з — $)' ~т, э с 0~9<!. Полагая адесь т 0 в замечая, что»т~»~(») 9» О мри любом з ж (О, !), получаем И (Щ 9 (О) = Р (с = О) Э'„( — !), + ( — !) ас7+ы ая„,)~0. ь т» (!) » с Отсюда я из того, что <р~ы(!) ж», следуют нераееиства, уиазапные в условии задачи.
4.!23. а) Иэ неааенспмоств Оь $»,... в равенств 4/5 41 ! !25 165 М» =. — ~ — + — ~ = 1,025, М»т =- —, ~ —. + —,) = 1,!О!25 т 2(4 ' 5~ ' '' » 2 ~!6 25) М1п$ =О, 01п 2 =М1пэ"„= 1п — вт0,0248905 э 5 1»В следует, что Мд = (М: )' ео ; 5,295 !0»о, »соо Мдз„„= (Мтт)тс = 7,8899.!О" = Од,„„,, М 1о Пяи !000М1п $» = О, 01п тп»„= !0000!о 5, »ы 248905. б) Танкан 1п»), 1п 2»+...+)п 2„. слагае»»ые!и $ь..., !от независимы, одинаково распределены и О !и 4~ =1п» 1,25 «оо, то согласно певтральпой предельной теореме (' о-» )~пО !п» ) )/2п,) Ю Иэ этого соотношения следуют приближенные равенства !пу ( ( !пу Р(д„~у)=ф .
~, Р~„„~у)=ф ы п91п$ ~' " . 1( )т'о01ос, !' 259 Подставляя вместо у укаэанные и условия вадачи аяаченвл в поль. вувсь ревуяьтатами п. а), находим: Р(т)мм ( 000Ц»й Ф( 1,384) ж 00832, Р(тпк» Ф Ц ж Ф(0) 1/2, Р(г)~к»чб Ц м Ф(0) 1/2, Р(гпме К 10') м Ф(2,769)»~ 0,9972. Сравнивая последний реаультат с найденным в п. а) значением Мц„щ м 5,295 ° 10", обнаруживаем, что почти еся масса распре- деления цю» сосредоточена вначптельпо левее его математвческого ожидания. в) Событие (П»ээ < Ц происходит, вели число эначенпй $ь ... 5ксе, равных 1.25, ве превосходит 499, а событие (т)юо ~ 1)— если вто число ве превосходит 500, т.
е. юэ Р(, 1) 2-жсо ~ Сь а а эоэ Р(п ,.1) 2 '"'~ч; с ьс евт тоэа ье е ьв ьег Р (г) ~ 1) (1 2-геееСьее ) (пт о~~1) 2 (1+2 ' С;" ). По формуле Стирленга -тосе ьее -тоеэ ) Р 2» 590 500 1 = 0,02523; У500п »» ~ 11т"~/у»)" (» — 1 а+ х с — 1 а т — 1)» Поэтоыу прв любом.фиксированном е ехр( 2 ~ехр ~ Следовательно, Р(г)кео < Ц ж 0,4874, Р(гпо» вй Ц ж 0,5126. Отличие этих эначений от приближения 0,5 из и, б) объяс няется, во-первых, тем, что распределение случайной величины г)ю» имеет атом в точке 1 (а нормальное распределение абсолютно непрерывно), и во-вторых, еаменой допредельного распределения предельным. 4Л37. Математическое ожидание и дисперсия $1~') вычисляются непосредственно: м$)"~ О, 0ь)"~ = 1.
найдем пропэводящую функцию цэ, польэуясь вееавнсимостью.слагаемыж Так как зы-пы — производящая функция случайной величавы ь, ( ' — т)/з имеющей распределение Пуассона с параметром 1/2, а в(' = Ь(з», то распределение П„при л- о» сходится нраспределекпю рааностн двух независимых случайных велнчив, имеющих распределение Пуассона с параметром 1/2: Ф к» е е -т/з и» " )»»и 2~з»! 2(ь'е»»((/»|+т)( ж-о /» = О, ж1, ж2, ... 4.147. Множество всех л/ корней мноточлеиа ф(з) с действительвымп коэффициентами разбивается на множество (зь ..., г, ) действительных (неположительных) корней и множество (гвеь, г») пар комплексно сопряженных корней, т. е. г»»»гт змею — ь 1жам»»~ ~0, / = 1, .
„(/У вЂ” М)/2. Так как а последние (М вЂ” М)/2 сомножителей — производящими функция- ми случайных величин 4в»ь ..., ~ж.,мпг, првнвмающих аначе вия О, 1 и 2: ! зы-ьз'! рц=о) = ! 1 гьч+з/ ! '6 =2)= )ь ° — 2 Пег т ) )1 — ты„/!' ' / = 1... „ (Ж вЂ” Л1)/2. Если так опрелелеавые случайные аелкчикы ьь °, 4~л»мпг пекли»»свми а совокупности, то расвределевие их суммы совпадает с распределением $.
4Л50. Так как частицы размещаются по ячейкам независимо в равновероятно, то прк любых целых и,/У и /» и (ро( -(-1, ЛЧ- (р,(, Л) = ~) =1- —, /г агро(а+1 /У)41(Н(ля)4) 261 ф(1) = 1, то ~р(з) = газ( г — г. а» з — г /и-'ымз з — 2»доз + .+ ! г»» прячем зг — 2» Ве г»г+г» + )зи+ю(г (г — гм+ю ь) (з — зм+г») з — з» вЂ” многочлевы с неотрицательными коэффициентами. Первые М сомножителей являются производжцими фувкцинми слу. чайных величин 4», ..., 4и, принимеющих значения 0 и 1' !'» ! '(~г -О) - ГГ---.! По Формуле полной вероятности (ре(л+ ' ) ) Р1п (»+1, Щ «„(г (и, )т) = «) + + Р(р, < + 1, )у) «, р, (, )у) = « — 1)- «~ «+1 ~1 ~) Р(до(, )У) =- )+ ~ Р0 (,,У) = «+1).
Умножая обе части етого равевства на в" и суммируя по «от О до со, получаем. о' 1 о У»+г,и (е) = 1»,п (') — у ла 1»,н (*) + р ц, У»,н (*) 1 — е о у»,п (г) + а ла у»,ь (а) Так как Р(дс(». »')» )У вЂ” 1) = 1 к Р(ре(и. И) )У вЂ” 1) Д» "» О, то 1, л(а) — многочлеи степени Ж вЂ” 1 при любом и > 1. Дока;к ч теперь ивдукдвей по», что все корни х„„..
» а„, в ~ многочлепа 1 л(а) вещественны и что если -со ° т„, „х„„, ( ...< х», г < е», ~ < О, то г»во и-~ ~ х», к-< а«+ь»-т~ л», л-т ~..* ...<а,р<х»+~,,е е„,~ и. более того, г»,сь, < х»ть,.~ <с если только х, <«~ ( г„, о (Ясно, что отсюда следует утвержде-:зе вадачк.) Прим 1н»=йимеем: Л 1 и 2 1 и М(е) в т. е. х,,=... В,~=О, ак, ~= — И+1<хе к-,=... г, ~ — О, и докааываемое утверждение справедливо.
Попу- стим теперь. что в~ е Ф вЂ” 1 корней много пена 1, к(е) вещественны и пса»лак'ах»львы. Нетрудно проверить, что 1», л(х) ) О при с~Он Нш г 'т г)„,„~ч)= Ф' ")Оичтоеслне ~ (1()( г ». 1 + « з Ж) — корень кратности «, т. е. г,.; ~ ) г,~ = г»,, , ... е»,г«ь-~ ) с,~«ь (й) (адесь мы считаем, что х», к = — оо, а»,е» +со), то , (е ) '' „(с ) 1~14-Ы (в,) О, 1(ап (х ) чь О, В силу (1) тогда 1 — х„1 м(х„) = — 'У„' м(х„)) пРи «1, 1„„,„(в.,) - 1„'+ы„(е„,) - ...
-1»;, „(*„,,) =О. га — 2) 1 — е »Н о у в ки (х»Н),у 1»,ы(х»Н) прв «> Инымн словамк, при переходе от 1»,ь.(х) к 1»+ьк(х) кратность каждого корня х, г уменьшается на 1, )(алее, если в», ьы С в», Ь то )», »(в) ие меняет ввак па интервале (в, ми в, е) и равна пулю иа его концах, а /„гг(з) имеет ив этом интервале ровио один корень (так как все корпи миогочлена 1, ь (в) по предположению индукции действительны, то корки У», »(в) и У„и(в) чередуются), Отсюда и иэ (1) следует, что ) еь»(з) меняет внак иа интервале (в,мь в„,,), т, е. имеет на ием кореиь (ровио одии, поскольку в противиом случае общее число корней миогочлеиа у„ы, л(в) превысило бы У вЂ” 1).
Тем самым иидуктивкый переход от и к и+ 1 полностью обосиовви. 4.153. Так как распределевке $ симметрично, т, е. р(х) р( — х), то Ме-"з Ме"в = М соя вй, Мезе( ) е в"р(х) Их 2 (: ;р(х) созвхИх. ° » е Выберем е так, чтобы выполнялось условие 0 ( в (3 — и, тогда пра с ) О, используя соотнопгеиие 1 — соя и- ив(2 (и 0), получим: е» 1 — Ме - *2) (1 — соя Гх) р(х) йх Из е в — е/г 2 ~ (1 — соз вх) р(х) Ых+ 2 р) (1 — сов вв) р(х) йх= о в-в/з е р и( еви гз (вв ') -)- 2 ) (1 — соя и) р ~ — ~ †. (1) (,в,) в' ег — е~в далее, в силу условия р(х) С) х) и, ) х) -» ео, овгееив Г и'1 Ии Си и (1 — соя и) рЯ вЂ” = (1.)- о(1)) 1 (1 — сея и) — в)и вв-е1з М вЂ” е,!в Р1 — гоя и (1+ (1))Св"-Г ~ — Р., в ( О (» Я Из (1), (2) и того, что 0(Р"') о(в"-') при в (0 и 0 ( з < ( 3 — а ~ 2, следует, что 02 Р1 — со» и Мев 2 =1 — 2С(с)а г(1+с(1)) ~ —,— й~,, ) в)-»О.
и о Глава б 5.7. о) Так как ив и ()в незавлсвыпе, то мав соя (в+ ()в) = моем сов (в + йв) = О, Оа сов(В -(-() ) = МавМ сов (В+()в) =.. М сов (), =-1/2. Примепяя цевтрзльвую предельную теорему к независимым одяваково распределенным случайным велпчяпам аз СОЗ (1+ Оэ). З 1, 2, ..., получаем, что преяельвым распределевяем к (з) яри я-ьос, 1 сопзз является нормальное распределеиие с параметрамя (О, 1/2), б) Используя тригококетркческую форму записи комплексных чисел, находим е азв соз г -)- агй г азз з-1 т. е. т)о(г) О„сов(э+Те), где О„= ~ ~~ оье, тя згй ~ цзе о уз 1 Рассмотрим случайяые величины пдз, Л 1, 2...„язя зрз двумервые векторы (отсов()м азз(п()з). Так кав ць пг, ...
я 9ь ()ь .. ° иезависимы, а ()з имеют рзвиомерпое распределевие ка 'вт ку отрезке (-ц, к), то распределевле сэ э т+ ... +и с сфериче. скв симметричво, т. е. 6 в т„иезаввсвмы и т„имеет разиомервое распределепве яа отрезке ( — ц, к]. По условию векторы (аьсозйм азз1п()з), й* 1, 2, ..., незявпсвмы, одинаково распределены, м(аьгоз йп ал з(п ))з) (О, О), /1/2 О ) а вх матрице козаркацвй, как нетрудно цроверпть, равна( „ Соглзсво мвогомервому варяаяту пептральяой предельиой теоре. мы предельное распределение вектора $е — г (~а сов ))з, аа з(п О„) 1 мч является асимптотвчески вормальвым с вулевым вектором мате матических ожиданий и матрицей ковариаций1 / ь Поэтому /1/2 ' О ) ) О 1/2/ ) р/Е„> 1- Пга Рц~ )> 1- П Рцй.) >зэ>- гг („,„) ..г „, г зьз~ 3 Х е 6.17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
