А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей (1119923), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Позгалеву компонав гы вектора Л,М незван»ил»и и имеют нормальное распределение с 1-1-! 3 нулевым средним и дисперсией 1+ — = —.. Значит, при люф бом хьм 0 Р((А М ((х) Р((Л М ( (~х ( х'/з г ели=! — е с 3.261. Доившем более сильное утвержпонне: векторы А,А, и Л~М~ независимы. Имеем Л»Аз = (йз — $ь нэ — 0») и (см, решение /», +1, Ч,+Чс задачи 3.260) Л М, ( — '., а — ».. с — ц ~. Поскольку наборы случайных величин ($ь $ь $») и (ць ць цз) пезависимы и одинаково распределены, достаточно доказать, что везавигпвгы слу~е ьт чайные величины $г — $т п — ' — 6 .
Случайные величины -1' йь йз по условию веааап»счы и им ют стандартное нормальное распределение. 1!езаапспмосгь стгучайныл величин $з — $т в (4+ $»)/2 докызываетсп так же, как в задаче 3.24!! зычитаипе пз (зт+ $т)/2 случайной ееллчпвы $ь ие чсвпслщой от йт — 3», пе нарушает асэависимоств. 3.262. Так как треугольник А,А»Аз ве ыо!гсет иметь более одного тупого угла, то события (А Л~ ) 90'), (Л.Лт ~ 90') и (Л.Аз ) 90') несовместны.
Из независимости е одинаковой распуоделенности точек Ль Ль А, следует, что зеровтности з!пл совы. тий опинаковы. Значит, Р (т), А А Л вЂ” гупоугольшзг!) =-3 Р (Л 4 ) 90') = =3Р ~ ( т!гМ»( «2 ( Л„Аз(~, поскольку половина стороны треугольника больше проведенном к ней медианы тогда и только тогда, когда протиеолев<ащвй угол — тупой. Вектор АтА» = (йз 3ь цз — т)т) имеет нормальное распределение с нулевым вектором средних и матриц»к коаариа- /2 01 дий (О 2/, поэтому Р()АА (е х)=Р(~А А (~(х (=2 2л.2 — в г/х 2/х = — 2иге "/42/г= 1 2 4ли 2 2 2 е хг+ха хе/е 2/ ° = ( е йи=1 — е -е -х /е е Согласно еадаче 3261 случайные величины (А»А1( и )А1М1( неаависимы, и Р() А1М ~~х) — 1 е " есогласно регпеиию вадачи 3.260.
По формуле полной вероитностн находим ! Р ~ ~ А М ( .. 2 ( А А ~ ~ = ~ Р ( ~ А М ~ ( х/2) г/Р () А А ) < х): (1 — е * /12) — е х /е</в= 1 — — е "/22/х Рз 1 — ) — е "2/и= —, )4 4' е Следовательно, Р(/2А,А2А1 — тупоугольный/ = 3/4, Глава 4 4Л4. Из определении множества С . 2 следует, что По условию случайные величины ~4 (, ..., (4о ~ независвмы, одинаково распределены и е е О (',('> ~ = М (ее/о>)2 (М ~ ф'1 ~)2 1 — -., Ие етит соотношений и еаиоиа больших чисел следует, что иравая часть (1) стремигся к О при а-» оо длл любого фвисированного е~О, 251 Сравнение результатов задач 4.13 и 414 (о учетам с>рериче. ской симметричности распределения вектора 2>а> н множества В„: — 1 показывает, что при достаточно больщнл а гиперс>рера т йлг  — = [х щ Л"> хз + ...
+ хз в[ ей,е и повертнос>ъ и-мерного еоктаедрае С У вЂ”,е [лайв> [*>[+ ° ° +[х>[ вУ2Тп[ близки друг к другу, а змеино: для любого в ~ О отношение (» — Ц-мерного объема множества тел точен хек В, для ногае .е' рыт отрезок ((1 — е)х, (1+е)х) ке пересекается с С, к х е ил,е (л — 1)-мерному объему В,— е'т.
е. к «площади поверлностпэ сит'а,е > ' иероферы Ву- ) стремится к О. уй, е 4.24. Длн любого л 1, 2, ... справедливы следующие равен етва (в ноторыл» вЂ” величина, введенная в задаче 4.2о3)> + +т ( 1 ) ~ [т [ )[[е [Й и [ [ул[ п [~' а[ ( а) + —— [)/а[[ Кз результатов задач 4,22 и 4.23 следует, что ! (с — а) + ... + (2 — а) [-[у-[з а-юи [( л[з "( -.) [[у.[' Р )>ю — — О 1, [.-[У [' значит Р[))ш ~ „— а) =О[=1, что и требовалось доказать. 4.$1. Согласно задаче 3.228 прв х ) а ых — «> > е — (х — е> /еа о (РЯ) х)( [/2Я х — а (х — а) з! -у'Б х — а' т. е.
е ах — а 1>т Р (С ) х) [/еле>х а> )зо— а Поэтому длн любого у> О Р ($ ) х -)- ух Пвз РЯ )» у(чз» ) 1(п« ° Ф~ х « (зз ) х) х= 1(ю езР< — — 1 ~~в+ — — о < — (х — е)11) =- Ппз ехр х 1 ~ ~ ~ х ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ « ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ | у (2+ (у — 2чх) х з) ) ,— з/с 2аз Рй>х(А) р(ц < РБ «х)»~ РЯ «х А) 1 аз р р(х — а) Длн докааательства второго утвертлденин введем индикатор события А: <" 1, если А происходит, ХА 1 О в противном случае. Тогда М:-ХА 1 МЯ( А) р(А = — МОСХА о+ — М Я ц) Х (1) Р(А) р А р пусть р (у) =зпр(м Р(з — е< 1)~у) — функции, обратная к функции распределении случайной величины $ — о.
Согласно задаче 3.186 Р 1 р, (и) Аи < М (ьз — з) ХА < ~ р, (и) ги, о 1-Р а согласно задаче 3.138 1 а =0з=М($ — з) = )Р рз (и) с«««. о (3) Применяя к (2) неравенство Коши — Буняковского и иольвунсь (3), получаем (Р 1 з — «~.~~ *<)р,~>~ч. ( ~«,««~е(ч о 1-Р «х Р г 1 ч-*()г («-',«з (». 'Г' ( ~'*,«.>" ( «.(ч.гт.
о о 1-Р 1-Р Отсюда в из (1) слодует, что (М(4(А) — о( ~ а(Ур. (4) 253 4,41. Первое утвери«дениз легко следует из норавеиства Пебыпзева; Если Р ~~ 1/2, то с помощью равенстве кроме того, О (Ц с, = О( = М [$,з ~ з, = 0( — (М (ь, ) е, =-- О)) ~ МЬ; а+о -1 — е 1 — Ч ( — я — ( со . = 1, г, Применяя задачи 4.30 и 437, получаем соотношенее ПшР (ет ~х) =-1 — е "'", х ь0. о-~о Покажем теперь, что предельные распределения случайных величин ет, и от, прн д-+ 0 совпадают. Согласно п, а) задачи 433 для втогс достаточно показать, что при любом б ) О Р(об~ <б)зю = 1)-ь1, 4-~0.
По из первого неравенства задачи 4А1 следует, что т з Р(чз,~б)з,=1) = — '-' — — 3 О, О- О. о (б — ае) 431. Пусть Ь'(х) непрерывна в отрезке (а — б, а+ б), б» О. По теореме Лагранжа при х, а, ш (а — б, а + Ь) я(х) — х(а„) у (а + (х — а„)0,) (х — е„), где функция 0~ 0~(х, а ) удовлетворяет неравенству О ~ О, (1. Для каждого и *= 1, 2..., определим случайную величину а равенством я ($„) — , ( ) 3„ — а ь" ' = "6 ('+"). ОП Иа (1) следует, что есле ) о — оь( ~ б, то на множество 254 е — РМ(ь! А) + (1 -' Р) М($ !А) и оценки (4), примененной к М($)А), находим: 1 — Р 1 — Р о У1 — Р (М(б) А) — о) = — ) М('ь) А) — е) «» —,= о Р ('1 — р Р 4,42 Рассмотрим сяачала случайную величину ть Ив условий задачи следУет, что обРазУющие т~ слагаемые ьь бь ...
везависимы, не зависит от числа слагаемых ч — 1, распределение каяздого слагаемого совпадает с условным распределением $, прв условии в~=О,иприч- О Р(у(т — 1) ий х) -ь 1 — е ", х > О. Из задачи 4.41 следует, что М(2 (ее=О(=о+Π—, (0)~<1, 1=1,2, ...; оУо Согласно утверждению вадачи 4.52 ( а (с ) - к (1)2) Па Р(( ~в~ » Пж Р(4»(2о))»1п 2) л<а) е-»» 4» (1)2)/(2 )/л) 1 е-»» Ух е ='(1'~*) =-' е(ух)= — ». ) --' )и е )/л ) 6) Применим утверждение аадачи 4Л( о 1»е По теореме Муавра — Лапласа при лгобом х, — оо < х «- »о.
х -о — Р 1пп Р Ф (х) е-и )е,~в ( )/Р (1 — Р)(а )/2л,) »» О Далее, у'(р) 1п (в „чь0 нри Рчь1/2, и согласно утверждению вадачи 4чП л (ч„) — и (Р) Пж Р ~~х = Ф(х), о-.ю ( 4'(Р) )/Р (1 — РУ. Следовательно, В„(Р) =~1о 1 ~ ггг 1— 422 Иа условии еор Мв < со» М) $г) <»о и сволоте про тйг ела~с длщил фуннцлй следует, что фуннцви»)' (Х) ™ опредегй лена и диффереицируема в полуонгервале [О, 6) и что Мй 1 ф'(О). Согласно задачам 4.81 н 4,60 Р(ее+ ...
+ Ьд~ л(м» иге)) < 1п1 е "( ~~'~»)и(т) ось<о (п1»Р(л) е ( г )) ось<с Ив формулы Тейлора ф()() ф(0)+(1+о(1)))ф'(0)=1+(1+о(1))лмс„л(0, Чы) те) получаем, что»у(2) <е 4 ' ' при достаточно малых Х>0» поэтому сг = )п(»)(Х) е ест~с Второе утверждение аадачи следует из первого; достаточно аамс- всть Вг на — Ц. 4.33, Сначала докажем тождество, указанное в условии еацачп. Если 25оа.с1, то — плотность нормального распределении с параметрами а —, поэтому 1 — 2ао~/' лх г х /та дх 25ое ~1 (1) о'(/2л ~ у' 1 2Лот' Если $ имеет нормальное распределение с параметрами (О, о ), а ц 5в~а, то юх М ~ Лх х!то,1 а )/2л,) (2) а, ! г т т х о р'2л,) Ю (3) В (2) под интегралом стоит нечетная функция, еиачвт, Мц О, если только интеграл (2) абсолютно сходится. Ото еаведомо имеет место при 2Ло (1, так как тогда т ехр (х ~5 — — а ) ) = 0(в "" /, ц)0, пря (х(-ьсо, (4) .
2ое~~ ОР з о т — х ел" е " ''""" бх вт м 2Ьо 1. (5) о(/2л 3 (1 — 2Лоа)ам Ю Сопоставляя (3) и (5), получаемт о 2 Оц мц =, а, прп 4Ло (1. (1 — 45о )э/т Если 45от,в(, то янтеграл (3) расходится в Оц со. 4.95, Если М) $) < оо, то (см. введение к гл. 4) по свойствам характеристических функций У'(О) 1М3. Похажем, что если распределение 3 имеет плотность р(х), укаэанную в условии аадачп, то Ц'(0) ( 'ц хо, а М) $( ао. Последнее соотношение легко 257 17 А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
