Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1119910), страница 20
Текст из файла (страница 20)
При а = — 1,Ь =1 имеем аиь — а и8 ьиа и ~(1) ип и (18) )зв гл. о, хоехктзоистическнв емнкцни н рв(х): к Х -х ро+а(х)=~да(х — у)ро(у)г(у=г "Г )((у' '(х — у) 'Йу о о ! „а+а-!е е Г -! В-! хо+а ! Г (а) Г (й) ) З (1 З) !(З Г (а + р) Е , Х «~ Оэ о то, в силу 4), /,+з(г)=(,(1)~ (!). Вычислим сначала 1! (х) = ~ е! "р, (х) дх = ~ е' " 'дх.
Интегрируя по частям, о о получаем ОВ ОВ ОЭ ~,(Г) = ~ е " 'Ых= — е' " "~ +1! ) е"" "!(х = 1+ Щ,(Г) о о $~(()= ~ (20) Из (20) для любого целого и имеем 1 1е (Г) ~ (! П)о Из)!(!)=[)! „(1Ц" получаем )!о„(()=(1 — 11) "", и, далее, ) го(1)=(Гко(гЦ"=(1 — 1!) ~". Таким образом, для любого рациойального со > 0 ! а (() (1 оУ) (21) Так как плотность р (х) непрерывно зависит от я и,как л!ы увидим в $39, из ра (х) -о р,(х) следует („(Г) -о 1„(Г), формула (21) справедлива для всех и О. Заметим, что при дробных а из многозначной функции (21) вы.
деляется однозначная ветвь, для которой 1 (0) = 1. й 38. Формулы обращения для характеристических функций В 3 37 мы установили, что каждой функции распре. деления Рь(х) соответствует характеристическая функция (о(1). Пусть существует непрерывная плотность ро(х). Тогда характеристическая функция вычисляется З 38 ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ по формуле (22) откуда и следует утверждение. 11(() = $ вихр)(х) йх, т. е. ~Ь(() есть преобразование Фурье функции рз(х); В анализе доказывается, что при )ь(() ен Е(, т. е. при ко. нечностн интеграла ~ )~ь(())а(, имеет место формула обращения для преобразования Фурье (22): рт(х) = — „~ е и")1(()(((. (23) Исходя из этой формулы, мы докажем формулу обра* щения в общем случае.
Сначала докажем несколько вспомогательных утверждений. Лемма 2. Пусть $ и 1) независимы. Если З имеет (рункцию распределения Р(х), а ь) равномерно распре- делена на отрезке )а, Ь), то существует плотность рь+ч(х), которая выражается формулой т" (х — а) — )а(х- Ь) Р)ьч Ь вЂ” а Доказательство, По формуле композиции Ва ь Е1 „( )= ~ РЬ(Х вЂ” у) р„(у) т(у= — ~Р( — у)а)у 1 са а — Р (г) а'г. (24) х-Ь Исходя из '(24), мы можем для любых х( ( хз записать х1 а х~-а (1,„(а( — х( „(*(= —,. [ ) х(ь>~Р— ) х((х ) 1 хр-Ь х~-Ь хр т" (х — а) — т" (х — Ь) а ((х, Ь вЂ” а х, 138 Гл 6. ККРАкткРистическив Функции Замечание. Если 4) равномерно распределена на à — 1,11 то «(х + Π— «(х — 1) Р1+ч(х) = 2( Лемма 3.
Пусть $ и 4) независимы, $ имеет ограниченную плотность рь(х) = р(х) и 4) имеет плотность рч'(х). Обозначим ре(х) плотность султы $+Ое), гдв Π— параметр. Тогда в точках непрерывности р(х) илллгт место равенство 1нп Рв(х)=Р(х) Доказательство. По формуле композиции имеем Ре(х) = ~ Р(х — У)рч('и) и ° откуда Ре(х) — Р(х) = ~ (Р(х — У) — Р(х))рч(4 — Е) В" и (рь(х) — р(х)(~ (~ !Р(х — У) — Р(х)(рч(~) В + Он <6 + ~ ! Р(х — у) — р(х) (Рч('в) "е«(25) 1» -6 Пусть х — точка непрерывности р(х). Зафиксируем любое е ) О. Тогда можно выбрать такое б) О, что при )у', ( б выполняется неравенство !Р(х — у) — р(х) ! е=; ( е/2.
Так как плотность р(х) ограничена, то суше. ствует такая константа С < оо, что р(х) = С. Тогда из (25) следует ! р (х) — р (х) ! < — ~ Р„Я) — «+ СР ( ! 4) ! ~) — ~. )«ЫК6 Выберем О, > О так, чтобы Р ( ! Ч ! ) — „~ < —,. Тогда 6) е Ое при всех !О! ~ 06 имесг место неравенство 1ро(х)- р(х) ! ( е. в м ФОРиулы оаэьщвнив (ЗВ Формулу обращения в общем случае дает Т е о р е м а 1.
Пусть !ь(!) — характеристическая функция и Рь(х) — соответствуюи(ая функция распределения. Тогда, если точки х+! и х — ! являются точками непрерывности функции Рь(х), то Р)(х+!) — Р)(х — !)=1(щ — 1 е '"'!1(!) — е т й!. а-ьо я 3 ( О (26» Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть случайные величины ь, ч, ь независимы, $ имеет функцию распределения Рь(х), т) имеет равномерное распределение на интервале ( — 1,1), ь имеет нормальное распределение с парамет- рами (О, 1).
Тогда по лемме 2 $ + !т) имеет плотность Р( (х + Е) — РЬ (х — () р(х) = 2! а $+!ч)+ оь имеет характеристическую функцию Т)(!) — е ' еи1, поэтому ее плотность р,(х) выражается по формуле обращения (23): ам~ р,(х)= 2 $ е '~!)(!) — „е ' й!. (2У) Ю По лемме 3 Р1 (х + Π— РЕ (х — !) !пп р,(х) = (28) а-ьь 2( если х+! и х — 1 — точки непрерывности Рь(х). Переходя к пределу в (27) и пользуясь равенством (28), получаем (26). Теорема 2. Каждой характеристической функции !)(!» соответствует только одна функция распределения Рь (х). Доказа тел ь ство.
В формуле (26) разность Рь(хг) — Рь(х~) для точек хт — — х+! и х~=х — ! непрерывности Рь(х) однозначно определяется по !)(!». Полагая в разности Ре(хт) — Рь(х~) х~-~ — оо по точкам непРеРывности хь мы однозначно опРеделЯем Рь(хг( 140 Гл. к хАРАктеРистические Функции в точках непрерывности хм а так как в любой точке Р1(х) =1ип Р(х,), к1ак где предел берется по точкам непрерывности хм то Рд(х) однозначно определяется )1(!). Теорема доказана. й 39. Теорема о непрерывном соответствии между множеством характеристических функций и множеством функций распределения В 5 38 мы установили, что между множеством функций распределения (Ре(х)) н множеством их характсрь.
стических функций ((1(т)) имеется взаимно одиозна'!- нос соответствие. Покажем, что это соответствие ие только взаимно однозначное, но н взаимно непрерывное. О п редел е н не 2. Мы будем говорить, что посла. довательность функций распределения Р„(х) слабо сходится к Р(х), и писать Р„(х)=Р Р(х), если Р„(х)-!-Р(х) в каждой точке непрерывности пре дельной функции. Если Р„(х) — функция распределения а„ Р(х)'— функция распределении $, то мы будем также иногда говорить, что е„ слабо сходится к $, н обозначать ~„ Ф в; иногда мы будем говорить, что $„ сходится к $ по распределению.
Из слабой сходимостн В„ =)Р $ следует, что Р(х, ($к~(хз)-РР(х! (3~(хе), и-+со, если только Р К=х!)=Р ($ = х,)=0. Пример Р (~„=-„ 11 =1. Р(с=0)=1 показывает, что нз В„=РВ не вытекает сходимость Р (х)-+Р (х) в каждой точке, так как Р1 (0)=0 и Р (О)=1. Одно из самых важных свойств характеристических ункций содержится в следующих двух теоремах. Пусть ,(х), Р(х) — функции распределения„)к(Г), Ц1) — соответствующие им характеристические функции. Теорема 3. (Прямая предельная теорема.1 Если Рк(х)=РР(х), го („(1)-эЦ!) в каждой точке Г. 4 зь. тво нмл о иеп>»неманом соответствии 141 Теорем а 4. (Обратная предельная теорема.) Если !»(!) сходится в каждой точке г к некоторой функции )(!), непрерывной в нуле, то Р,(х)=)ь Р(х) и !(!) есть характеристическая функция распределения Р(х).
Доказательство втнх теорем будет следовать из лем. мы и двух теорем Хелли. Л е м м а 4. Если Р„(х)' — >- Р(х) на всюду плотном на примой множестве В, то Рь(х) =)> Р(х). Доказательство. Пусть х — точка непрерывности Р(х), х', хь ен Р н х' < х < х". Имеем Р„(х') < Р„(х) < Р„(х"), и Г(х') !!и> Р„(х'):=; !!>и Р„(х) < ь+ йч < !Ип Г„(х) < !!и> Р„(х") = Р(хь). (29) ь +»»»'+'» Так как Р(х')» Р(х)» Р(х") и разность Р(хь) — Р(х') может быть сделана как угодно малой, то из (29) следует !!и> Р„(х)= Р(х), что и требовалось доказать. ь +»» Теорема 5. (Первая теорема Холли.) Дз всякой последовательности функций распределения (Р,) можно выбрать слабо сходяи(уюся иодпоследовательность. Доказательство. Пусть 1> = (хь) — всюду плотное на прямой счетное множество.
Из ограниченной последовательности 0 = Р„(х>) "-" 1 выбпраел> сходящуюся подпоследовательность Ры(х>), предел которой обознзчнм Р(х>). Из ограниченной последовательности 0». =-. Ры(хе)» 1 выбираем сходящуюся нодпослсдователь. ность Рь„(хт)- Р(хт) и т. д. Далее выбираем диагональную подпоследовательность Рь„(х), для которой Р»„(хь)-ь Р(хь) для любой точки х; ен 1>. По лемме 4 отс>ода вытекает Гьь(х) =ь.Г(х). Замечание. Г(х) может ие б>ыть функцией рас. пределения. Например, если Р„(х) = 0 >>ри х < и и Г„(х) = > прих ) п, то Р„(х)=ьГ(х) =О. Теорем а б.
(Вторая теорема Хеллн) Если д(х)— непрерывная ограниченная функция нп прямой и Рь(х)=ь =~.Р(х), Р(оь) — Р( — со) 1, то »» »» !нп ~ а(х)арь(х)= ~ д(х)йР(х). (30) 142 гл. ь хяьлктеяистическиа езнкцин Доказательство. Пусть а ~ Ь вЂ” точки непре. рывности Р(х). Докажем сначала, что (нп ~д(х)дР„(х)=~у(х)ЫР(х). (31) й а Пусть е) О. Разделим [а, Ь] точками непрерывности а = ха, хь ., хй-ь хя = Ь функции Р(х) на такие отрезки [хь и ха], что ]д(х) — д(ха) ]<: е для точек хек е-=[ха-ьхь].
Это сделать можно, так как д(х) равно. мерно непрерывна на [а, Ь], а точки непрерывности Р(х) расположены всюду плотно. Определим ступенчатую функцию да(х)=д(хь) иа хан(ха о х,], для которой ]ай(х) — я(х) ] ( а на х~ [а, Ь]. Тогда ! а ь ~ д (х) ь(Р„(х) — ~ а (х) г(Р (х) ( й й ь я= ~ ] д (х) — дй (х) ] ЫР„(х) + й + 1а,(Р.— 1МР + 1]а(х) — а,(х)] (Р(х):== й й й й~ ай[к я.йй-ййй-(й.~ й-рй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
