Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1119910), страница 18
Текст из файла (страница 18)
зом выразить через производные [рз(з): ЬВ= р',(1), Ра = р," (1)+ р', (1) — (р; (1))з. (8) (9) Вычислим с помощью (8) н (9) МЦ и 0$биномиального, пуассоновского и геометрического распределений. 1) Бинол[иальное распределение. [р' (з) =пр(рз+ [7)" ', <рз'(з) =п(п — 1) рз(рз+ о)" ', М$= ар, Рл =а(п — 1) р'+ ар — и'р' =прс). 2) Пуассоноеское распределение. [р' (З) = аза [и П [ри (З) атал [и-[> Мй = а, 0$ = а'+ а — аз = а. справедливое при любом целом неотрицательном г.
Если ряд (3), определяющий [рз(з), сходится в какой-либо точке з) 1, то его можно дифференцировать почленно в з = 1, и мы получаем [р~о (1) ч~~~~ [зн[р (б) л Гл. ь. пРоизводяшиз Фзнкции 3) Геометрическое распределение, РЧ »»( ) зРЧ фз(')= ( -ЙТ" ф~ ') (1-Зг)" д зч» г д» д М3= —, О~= —,+- — —,= —,. Р Р Р Р Р Многомерные производящие функции. Аналогичным образом можно определить многомерные производящие функции.
Пусть $=($ь ..., $,) — случайный вектор с целочисленными неотрицательными компонентами $ь Обозначим Р„=Р Я=а), где а =(аь ..., а,) — возможные значения вектора $, Многомерной производящей функцией называется фз (з~» .. °, 3») = Мз~»з~з ., ° 3»»= ~~~ рцз1» ° ° ° 3»».
»» Она обладает свойствами, аналогичными свойствам од- номерных производящих функций. В частности, с по- мощью производных ф» (зь ..., з,) вычисляются сме- шанные факториальные моменты М31Чф1 ... 31з»1 = П р и м е р. Полиномиальное распределение Р(3=а)= «» ~ Р1» ° ° ° Р; а1+ ... +а,=п, Р1+ "° +Р.=1» имеет производящую функцию фз(зг '*" з») (Р1з~+ " +Р»з») . (10) $34. Мультипликативное свойство Теорема 1. Если $ь вз, "° $ — независимые це'лочисленные случайные величины, фз (з), й = 1, ..., п,— ах производящие функции, то ф,,+., +, (з)-Дф,,(з). вм.мзльтипликзтивнов своиство )й! Доказательство. Из независимости $), $ь .., ..., $„следует независимость з~', з~'...., з~к. Из муль- типликативного свойства математического ожидания имеем равенство л Мз!' $" Мзт! ...
з$" = и Мззз, ь-) равносильное (10). Если целочисленные й н )! независимы н р„ = =Р(5=а), а,=Р()1=и), то распределение нх суммы г„= Р(5+ ц =а) по формуле полной вероятности опре- деляется равенством й л г„=~' Р($=й) Р(п и — й) = 1', рва„ь. (11) Распределение (г„) называется композицией нли сзергкой распределений (р„) и (д,). Теорема 1 позволяет нам иногда с помощью производящих функций находить свертку распределений, не прибегая к формулам (11). Например, нз равенства (рз+ Ф"'(рз+ Ф"* = (рз+ ф)ж'"* вытекает, что свертка двух биномнальных распределе.
ннй с одинаковыми р н разными числами испытаний л) и аз дает опять бнномиальное распределение с тем же самым р н числом испытаний а)+ аь Аналогично, нз равенства еа1 и-ц . еа~ и-!) — е',ж+м) м-и следует, что композиция двух пуассоновскнх законов с параметрами а) н аз дает опять пуассоновскнй закон с параметром а) + аь Этим свойством пуассоновских распределений мы пользовались в 5 20. Распределение с производящей функцией ~7Я можно интерпретировать как число испытаний в схеме Бернулли до первого успеха. Обозначим в этой схеме $, число испытаний до г-го успеха включительно.
Случайная величина $, представнма в виде суммы $, = = г)+та+ ... +т„где т) независимы, одинаково рас. пределены н имеют производящие функции ф, (з) = —, рз (т) — число нспытаннй до первого успеха включнтельйо< гл. а пвоизвод~пциа эзнкцни 122 ть — число испытаний от первого успеха до второго успеха и т. д.).
По свойству мультипликативности имеем г г Ф! (8) = р--дт. Разлагая (12) в ряд, получаем Ф! (8)=рз'~~ ( ) ° (-1) 8Ф'= г г Т» — г ( — г — !) ... ( — г — а+ 1) ° ( — !) а а =Р8 а! Ф 8 а-ь г гт» (г+а — 1)(г+а — 2)...г а а г г»» а а а =Р8 а! 89 =Рз ~ !г+а-!8Ч ° а ь а ь откуда Р($,=ц)=С', ~р'д" ', п=г, г+1, ...
Сумма случайного числа случайных величпи. Пусть 5!, йь, ...— последовательность целочисленных независимых одинаково распределенных случайных величин с производящей функцией ФЬ(8) и» вЂ” независимая от ннх целочисленная случайная величина с производящей функцией Ф»(8), Определим сумму случайного числа случайных величин равенствами (, = $! + $2+ ... ... + Ь при ч =в 1, 'гь = (). Теорема 2. Производящая функция Фс (8) разно сулвряозицци Ф1 (8) Ф (Ф1(8)) ° (! 3) доказательство. Вычислим Ф (8)=Мзг» с по» мощью условных математических ожиданий, используя равенство М (8 1~ "' т!» ~ т — П) — Мз ~+ "' Е» — [Ф (8Ц» Получаем Ф (8) — Цз» вЂ” М[М(8»~ т)1= Ь~[Ф1(8)( Ф» [Ф1(8))» что н требовалось доказать.
% м. $%ОРемА непРеРывности С помощью (13), (8) и (9) вычислим математнче. ское ожидание и дисперсию Ь,: фс,(в) = ф. (фа(в)) фь (') фг.,(1) = ф.(1) фв(1) ф," (в) = ф„" (ф, (э)) К(в)1'+ ф,'(ф, (е)) ф,"(в), фс,(') = ф. (').С~А(')Х+ ф. (') фе ('» Мь„= Мт М$, П~,= ф, (Ц. (ф,(Ц) + ф'„(1) ф,,"(1)+ М~,— (М~,)О= = (Мче — Мч) ° (М5)О + Мч ° (Мее — М$) + Мт ° МО— — (Мч)О ° (М$)О = 0ч ° (МЦ'+ Мч ° 0$. 9 35.
Теорема непрерывности Докажем, что соответствие между законами распределения (р„) и производящими функциями (3) не только взаимно однозначно, но н взаимно непрерывно, Ю Теорема 3. Пусть ф,(э)= Е р~пэ«, с=1, 2, ...,— л О последовательность вероятностных производящих функций, ф(в)= Е р„э« — производящая функция последоваа О тельности(р„), Длинного чтобы при каждом п !ип р'„о=р, О-Оаэ необходимо и достаточно, чтобы при всех О«в (1 1пп ф,(е) = ф(э).
Г-Ф « Д о к а а а т е л ь с т в о. Предположим, что Ит роО = р„. 1-«в Пусть в~ О и Осе с. 1. В правой части неравенства ОФ )ф, (в) — ф (в) ~:=; ~~~ ~ р«ю — р«1 ° э" ~ «-О Ф-! ° О я-1 -:-~ !Ф" — Р!+~, "=~,14' — Р )+— «-О «-И «-О гл. в. пгонзводящнв етнкцнн 124 выберем У таким, чтобы гя/(! — з) <е/2, а затем вы- >О-> берем гО таким, чтобы ~ !р>ьб — рь1(з/2 прн г~~гО. Тогда прн тех же г~)г, имеем 1ф,(з) — ф(з) ! < з, что н доказывает необходимость. Докажем теперь доста- точность. Из ограниченной последовательности 0 я~/>",> ~;1 выбнраем сходящуюся подпоследовательность р,'"-+ р,. Из ограниченной последовательностн 0 » (р',">»(1 вы- бнраем сходящуюся подпоследовательность р';"> -+ р, н т.
д. Из последовательностей ,>>,»,,>О.», „>О.»..., „,П,О> />Р.О> „,<З.П >>. О> >К О> >О. З> выбн раем диагональную сходящуюся подпоследовательность р'„">, которая сходится к р„ прн любом а. Предположим, что хотя бы прн одном а последовательность р>„'> не сходится к р„. Тогда можно выбрать две сходящиеся к разным пределам подпоследовательностн р>„"- р'„, р'„'">-ир'„'. По первой части теоремы ф,,(з)-и -+ ф*(з) = ~ р„'з" н ф,.
(з) -и ф'*(з) = ~ р„"'з". Так как по и условию ф„(з)-и ф(з), то ф'(з) = ф" (з) = ф(з) н р„' р"=р„, т. е. 1пп рИ=р„. 1+а 3 а меча нне. Как показывает пример ф,(з)=з'-~ -+ 0 = ф (з), 0 » (з < 1, предельные величины р„могут не образовывать распределение вероятностей, так как, си вообще говоря, 2.; р„ч,.1. Если потребовать, чтобы л О ии 1ппф(з) 1, то ~ р„=! н в пределе мы получаем рас- ОО! и О пределенне вероятностей (р„). Применим теорему 3 к доказательству предельной теоремы Пуассона (см. $20): 11п> Сй ( ~ ) (1 — ~ ) —,з-'. (14) вы ватвящився процессы Производящая функция биномиального распределения Ю для р = — равна и Из равенства !ип (1+ — (з — 1)) =е'и-н Л+а ~ по теореме 3 вытекает (14), что и доказывает предель.
ную теорему Пуассона. й 36. Ветвящиеся процессы Проиллгострируем применение аппарата производящих функций на примере ветвяв4ихся процессов. Пусть имеются некоторые однотипные частицы, которые размножаются независимо друг от друга. Пусть р,— вероятность того, что одна частица превращается в и частиц, ф(з) =,~, р„з" — производящая функция распредее 0 пения вероятностей (р,). Обозначим р(1) — число частиц в 1-м поколении н ф,(з)=Мзаш — производящую функ. цию р(1). Предположим, что р(0) = 1.
Тогда ф~(з)= =ф(з) Пусть Ь» Ьг, ..., ~ъ„... — независимые случайные величины с распределением, определяемым производящей функцией ф(з). Тогда число частиц р(1+1) и (1+1)-м поколении, согласно нашему определению, есть сумма $и+ $~г+ ... + $с,цп случайного числа независимых случайных слагаемых ($ы — это число потомков й-й частицы 1-го поколения). По теореме 2 отсюда вытекает, что (15) фткр(з) =ф (ф(з)) . е.
фг(з)=ф(ф(з)), фг(з)= ф(ф(ф(з))) и ф~(з) есть 1-я итерация функции ф(з). Соотношение (15) позволяет нам вычислить Мр(1)=А(1). Обозначим ф'(1) = ==А. Продифференцируем (15) по з в точке 1. Получим А (1+ 1) = А (1) А, откуда А(1)=А'. гл. а пРОизВОдящие Функции 1ЯВ Поведение ветвящегося процесса существенно определяется значением параметра А — средним числом непосредственных потомков одной частицы. Из (16) мы видим, что при 1- оо А(1) -+О, если А < 1, А(!) - сс, если А ) 1, А(1)ии1, если А=1.
Назовем ветвящийся процесс докритическим, надкритическим или критическим, если соответственно А ( 1, А ) 1илнА 1. Е Лс, 1 а Е Л., Рис. 11. Графики иронввадяших функций Ф (а) докрнтнческого и кри. тияеского ветвяшняся процессов. Если 1а(1) О, то мы будем говорить, что ветвящийся процесс выродился к моменту врелсени 1. Вероятность этого события равна Р (и (т) = 0] = 1р1 (О).
Та; как (1а(1) 0) ы (11(1+ 1)=0), то Р(ц(1) .О) не убывает и при 1'-+с имеет предел Й щ Р (1с (!) = 0) = и, 1.+ который мы назовем аерог1тносяа1о еырождения. Предельная вероятность о — зто вероятность того, что процесс выродится в каком-либо поколении. Предположим, что 1р(в) я~ з. Докажем следующую теорему. Теорем а 4.,1(ля того чтобы 11 ( 1, необходимо и достаточно, чтоб1й процесс был нидкритическим. Дока з а т ел ьс 1 во. Соотноп1ение (15) можно записать иначе: сР1+ (З) 1Р (1Р1 (З)) (17) Подставляя в [17) г О, имеем фг+ь (О) ф (фг (О)).
Переходя в [18) к пределу по 1-м оо, имеем ф=ф(ч) так как д= Ит ф,(0). Таким образом, д есть решение г ечг уравнения (18) Задачи 1. Найти проиаводюцую функцию равномерного распределения, сосредоточенного в точкак О, 1, 2, ..., 1ч' — 1. С помощью проиавод.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
