Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1119910), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Лналогично тому, как мы это делали в $27, доказывается, что с помощью таких вероятностей однозначно определяется вероятность события $ ен В для всех В ен У', События (ен с(ь«) я В», где В ен У'. образуют о-подалгебру ч««, „, «„о-алгебры,Ф. Мы будем называть .4«, «о-алгеброй, порожденной слу. чайными величинами с!..., с„. Функция Р«(В)=Р(1~ я В), определенная для всех В я Як, называется и-мерным распределением вероятностей случайного нек» тора $=($!...., $»). Дискретное многомерное распределение задается конечным или счетным набором значений х =(хь ...х») н неотрицательных р(х) с л„,р(х)=1. Вероятно ть к Р;(В) = Р ($ ~ В) определяются в этом случае как ~ р(х). Другой частный случай дают распределения с плотностью. Многомерной плотностью распределения р«(х), х =(х«, „„х,) называется такая функция, что Р«(В)=Р(5енВ)=$р«(х)йх, (13) в где справа стоит и-мерный интеграл по области В.
Интегралу справа можно придать смысл при любом Вен $29.МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 95 ее лг', поэтому формула (13), вообше говоря, действует при всех В ~ Я". Из определення плотности р(х) следуют ее свойства: Р(х)~О> ~ р(х)их= ~ ... ~ р(х)и» 1. (14) Функция р(х), удовлетворяюшая (14), может быть плотностью некоторого распределения. Из определения плотности вытекают следуюшне ее связи с функцией распределения: Гг, ...
г„(хь ° ° ., х,) Р» ~ рг, .. г„(иь ..., и,)йи~ ... г(и, >Ф Ю> д"Р(хь "., х») Р(х~> ' '> «») дх> ... дх~ В точкал непрерывности х = (хь ..., х,) плотностн Р(хь ха, "., х,) ямеет место равенство Р(х~ < $~ < х, + Ьхп 1= 1,, „п) = р(хь „., х„) Ьх, ... Ьх„+ о(бх1 ... Ьх„), гп ах Ьх, -+ О. Прнмером многомерной плотности служит плотность р(х) равномерного распределения на области 8 сх 11" конечного а-мерного объема 18), задаваемая равен.
ствамн 1 р(х)= — при хсв8, О прн хФ8. Вероятность Р(вен В) в этом случае определяется от. ношением объемов В() 8 н 8: Р(~~8) 3 О 1. По втой формуле вычисляются так называемые геомет. рическне вероятности (см. $51. эе гл. а случАйные Величины (овщии случАЙ) 6 29. Независимость случайных величин Случайные величины $), $ь ..., $„называются независимыми, если независимы порожденные ими о-алгебры ,Ф!и .4!,, ..., Ф!„. Это определение эквивалентно тому, что для любых В)ен Я Рй)енВ), . > ВленВл)=П Р(В)ЕЕ В!) (15) Частным случаем (15) является равенство Р1, ... 1„ (Х!... Хл) = Р1,(Х!) ...
РА (Хл), (16) справедливое прп всех хь Из (16) нетрудно установить, что при всех х! и Ь! ) О Л~,.„~„Р1,... л(, ..., )=ЦЛ,РЕ)(х), (17) ! ! что эквивалентно (!5) для В! — — (х),х;+ й)1. Как уже отмечалось выше, значения вероятности на всех интервалах однозначно определяют ее на борелевских мно жествах, поэтому из справедливости (17) вытекает справедливость (15) для любых В)ен Ж Таким образом, ра. венства (16) или (17) можно взять за определение независимости случайных величин $), ..., $л.
Если случайные величины дискретны, то нз (17) еле* дует, что за определение независимости в этом случае можно принять равенство л РД)=хо )=1, ..., п)=ПРЯ)=х,). (16) ! 1 справедливые при всех возможных х!. Для распределе. ний с плотностью р1, „.! (х), ..., хл) за определение независимости можно взять равенство р), „,! (х), ..., хл)=р1,(х!) ... рАл(х), (!9) так как из (19), в силу (13), вытекает (15), а из (17) следует (19). з 29.
неЗАВисимость случАйных Величин 97 Если $ь ..., $„независимы и В~(х) — борелевские функции, то случайные величины В, Д1)... д„($„) также независимы, так как .Фя, (10 с: —,я~п Аналогично можно определйть независимость некто. ров $,=(ахеи ..., $, 1 как независимость порожденных м ими а-алгебр ~! ~2 где Ууг,=Фги,...,г„. Иначе это определение можно записать в виде равенства Р Д, ен Вь 1= 1, ..., Л) = Ц Р (В, ен В ), справедливого для любых борелевских В~ ыМ"', Анало- гично, если $ь, $а независимы, йЧ(х) — борелевснне функции, отображающие )т" в )т'е, то векторы В1($~), йг(зя) "' аа(зя) также независимы, Формула композиции, Пусть $ н Ч вЂ” независимые случайные величины, рм р„— их плотности. Плотность совместного их распределения равна рьч(х, у) = Ра(х)рч(у).
Функция распределения суммы $+ц равна следующему интегралу: аггея(х) = Р($+ г) ~ (х) = ~ рг(х) Рч(у) г(хе(у. (20) г+у <г Интеграл в (20) можно вычислять как повторный (для непрерывных плотностей — это факт из анализа, в об- щем случае — следствие теоремы Фубннн, доказываемой в теорнн интеграла Лебега), поэтому ее г-г ее Р$+ч(з)= ~ Рг(»)е(» ~ Рч(У)е1У ~ Рч(а — »)Рг(»)г1» ее ее еь г г ее ~ Рг(х) ~ Р (У вЂ” х)г(У" = ~ Ф ~, г(х)Рч(У вЂ” ) (», — Оа — ее ее ее Формулы ее Р$+ч(е)= ~ Рч(х х)РЗ(х)~Ь 4 Б.
А. Сеааетьяааа 93 ГЛ. В. СЛУЧАННЫВ ВЯЛНЧННЫ [ОБШНН СЛВЧАН1 Рь+ч(2) = ~ Рь(х)дв(2 — х)г(х «» н осят название формул композиции или свертки. С поч мощью их мы выражаем плотность рь+я(2) в фуницинй распределения Рй+ч(2) суммы иеаависимых случайны» величии через плотиостн и фуницни распределения слв. таемых. Пример 3. Пусть $ и т) независимы, РЬ(х) — функ» ция распределения О, а т) вмеет плотность 1 рч(х)- для а~(х~(Ь 0 в остальных случаях.
Применяя формулу композиции, имеем ° Ф ь РЬ+ч(2)= $ Рф(2 х)рч(х)г(хм«Ь — $РЬ(2 х)с(х 1 откуда получаем, делая в интеграле замену 2 — х =и( а а Рь+ч(2)= — ~ Рь(и) г(и. 1 а Отсюда следует существование плотности гь (х а) гс (х Ь) РЬ+ч(~) = Ь в Задача 1. На прямоугольввке 0<х<а, Ов,р«„Ь с раввомервым распределеввем случайно берется точка (х, р). Найти фувкваю распределеввя в плотвость плошадв 0 прямоугольввка с верша.
вамв (О, О), (О, р), (х, 0), (х, р). й. На отреаке (О, 1) пеаавксвмо друг от друга берутся дае слу. чайвые точка с раавомервым распределевяем. Найтв фувкввю ряс* пределеввя г"(х) п плотвосп р(х) расстояния между ввмв. 3. Пусть случайвые велвчввы Вг с фувкввями распределеввя )г~(х) веааввсвмы. Найтв фувкдвв распределевяя а) шах(йь ..., Ь„)1 б) ш1п(йь "°, И. 4.
Пусть случайные велвчпвы $ь ..., $» веааввсвмы водпваково аспределевы с фувкпвей распределения г"(х) к плотностью р(х). 'порядочка вк по воараставвю, обраэуем «аарвадиоввый» ряд задачи зо, ( ь,ю <... < $ыь Найти плотность распределения $ы> н двумерную плотность распределения $ы, и Ц~п, й. й б. На прямоугольнике О < х ~ а, 0 «, у( Ь случайно с равно.
мерным распределением берется точка. Доказать, что ее коорди. наты (з, т)) независимы. 6, На круге ха+у' ~ Р с равномерным распределением слу чзйно берется точка. Показать, что ее координаты Я, ~)) зависимы, У. )найти плотность распределения суммы Ь+ сз незавнсвмык -ь к случайных величин, если пх плотностн р (х) Л е г, х ~ьО р (х)=0, х(0. ег 8. Найти плотность распределения р,(х) суммы 5+ - + йе незазнсимык случайных величии, каждая из которыя имеет плотность Ае Ь*, х ьО. 9.
Случайные величины $ь Гл независимы н имеют плотность а-', х - О. Найти функцию распределения т) $~ Ь+йз ' Г л а в а 7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ и 30. Определение математического ожидания Математическое ожидание М$ случайной величины $ = $(а>), заданной на вероятностном пространстве (О,.Ф, Р), определяется последовательно сначала для простых случайных величин, затем для неотрицательных случайных величин и, наконец, в общем случае. [. Мы будем называть случайную величину $ простой, если она представима в виде $ $ (!а) Х х>!А (а), ! где события Аь Ам ..., А составляют разбиение, т. е.
А;А; = 9 при >Ф1' и Е А, =Я. Для простой случайной ! ! величины (1) М$ определяется равенством М$ = ~ ~х>Р (А!). ! ! 11. Для неотрицательной случайной величины $ ма- тематическое ожидание определяется как предел М~= 1пп Ма„ (2) Л-~а (конечный нлн бесконечный), где $„(в)ф й(в) для каж дого е> ы Й, $„— последовательность простых случай- ных величин. П1. В общем случае любая случайная величина $ однозначно представима в виде $=$+ — Г где $+ У!т>а>, $"=15!7!1<ю>. Полагаем М$= Мà — Ма, (3) З м. оптедаланиа математического ожидания 101 если правая часть равенства (3) имеет смысл, т. е. если М$+ и М$ не равны оь одновременно.
Если М$+= М$ =со, то мы говорим, что М$ не существует. Если М$+=со, М$ <оь, то полагаем М$ оь. Если М$ =со, М$+ < оо, то полагаем М$= — ьь. Определенное выше математическое ожидание М$ обладает следующими свойствами. 1'. Свойство линейности. Пусть М3, МЧ и М$+ Мп существуют и с — константа. Тогда М (з+ ч) = М$+ Мть М (с$) = сМ$. 2, Свойство положительности. Если $~)0, то и М$~0. Если М$ и М~) существуют и $ )~ т1, то М$,З~ Мт1.
3'. Свойство конечности. Если М$ конечно, то и М!$1 конечно. Если ) $1~<й и МЧ конечно, то М$ конечно. Если М$ и Мп конечны, то М(а+ч) конечно. Эти свойства мы докажем ниже параллельно с дока- зательством корректности определения математического ожидания. Здесь лишь заметим, что М$ всегда сущест. вует и конечно, когда $ — простая, и М$ существует для всех неотрицательных $. И, наконец, заметим, что свой- ство 3' вытекает из определения Щ=М$+ — М$-, М)$~ = =М$++ М$ и из свойств 1' и 2'. Корректность определения МЦ. Для того чтобыдаи- ное выше определение М$ было настоящим определе- нием, нам надо убедиться в его корректности, т. е.
не. зависимости М$ от представления (1) простой случай- ной величины $ и независимости предела (2) от выбора последовательности простых случайных величин 1. Простые случайные величины, Пусть имеется два представления одной и той же случайной величины 3В ь $ Ех~1л = Еуз!в„, (4) у-1 1 ь-з где (А~) и (Вь) — разбиения. Поскольку А~ —— ~ А~Вь ь-1 при каждом 1 и Вь —— 2 А~Вь при каждом й и для / 1 ч м оптвдвлание мьтаматичзского ожидания !Ей Покажем теперь, что для любых двух последовательностей 0($„!'$, 0(Ч,~Ч простых случайных величин 1ип М$н= 1ип МЧ„. (6) ВФФ ВФОФ Докажем сначала лемму.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
