Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1119910), страница 12
Текст из файла (страница 12)
6 вндно, что приближенная формула (27) дает значения вероятностей Р (л11»п (1пз) с точностью до трех-четырех знаков после запятой даже при л порядка нескольких сотен. Обычно применяемаяформула (26) такой точности не дает„ 9 уа Прнменення ПРеДельных теОРеМ 75 Таблица 6 и 100; Р=0,5 л-300; р=0,5 0,9267 0,9167 1 0,9265 0,7747 0,7518 0,7747 0,1361 0,1238 О.И61 135 165 140 160 160 180 н 509; р=0,5 0,9334 0,9264 0,9333 0,6523 0,6289 0,6523 0,1950 0,1819 0,1946 230 270 240 260 260 280 н 1000; р 0,5 530 560 0,9463 ! 0,9422 ! 0,9463 0,03095 ~ 0,02882 ~ 0,03097 и=!00; р 0,25 л 300! р 0,25 а=500 р=0,25 0,9659 0,96!! 0,9658 0,7219 0,6983 0,7218 0,1621 0,1499 0,1624 105 145 1!5 135 135 155 Значения вероятностей Р (л21 н~!ьмо п22! ~', С„ Рж (1 — Р) ж ип в схеме Бернулли. 40 45 55 !5 20 30 60 70 80 -! 35 30 40 Точное знпчеипе но формуле(21 0,9648 О,'7287 0,1832 0,9852 0,7967 0,1492 0,9615 0,5366 0,2510 Нормальное приближение по ФоРмуле (тб> 0.9545 0,6827 0,1573 0,9791 0,7518 О,! 238 0,9545 0,4950 0,2297 Уточненное пормольное приближение по Формуле 22Н 0,9643 0,7287 О,!831 0,9845 0,7960 0,1492 0,9612 0,5366 0,2545 уь гл.
а прядяльныя тяовямы в снимя вярнтллн Задачи 1. В большом городе в год рождается 20 000 детей. Считая вероятность рождения мальчика р = 0,51, найти такое число й чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать, что среди рожденных И течение года в этом городе детей число мальчннов превышает число девочек ие менее чем иа й 2. Сколько надо произвести бросаний правильной монеты, чтобы с вероятностью 0,99 относительная частота выпадения герба отличалась от 1/2 не более чем иа 0,01? 3.
В таблипе случайных чисел каждая цифра появляется независимо от других с вероятностью 1/10. Сколько надо набрать таних Случайных чисел, чтобы с вероятностью 0,999 среди них появилось ие менее !ОО нулей? 4. В большои городе в среднем в течение одного дневного часа поступает один вызов иа скорую помощь. С какой вероятностью за 3 дневных часа поступит более !О вызовов? 3. Какова вероятность, что в группе, состояшей из 30 студентов, винто ие родился в январе месяце? Вычислить эту вероятность по точной формуле и по пуассоиовскому приближению.
Г л а в а 5. ЦЕПИ МАРКОВА 5 24. Марковская зависимость испытаний Очень часто реальные случайные явления можно изучать с помощью следующей модели, Пусть состояние некоторой системы описывается точкой фазового пространства Е =(вьем ..., е,), В дальнейшем точки из Е будем обозначать просто числами 1, 2, ..., т. Пред. положим, что время ! дискретно и принимает значения ~ = О, 1, 2, ..., Т. Эволюция изучаемой системы описывается траекторией а =(вы во, ыт), где он = с', если в момент 1 система находится в состоянии 1.
В описываемом случае вероятностное пространство (О, Ф, Р) определяется пространством траекторий 12=(ы), алгеброй Ф всевозможных подмнохгеств й и вероятностью Р, задаваемой элементарными вероятностями р(в). События А;(1) = (вк ьи = 1), 1= 1, ..., т, при каждом определяют разбиение аь которое порождает алгебру событий Фь Исходя из принятой нами в $11 терминологии, мы будем говорить, что Фы Фь вд2 -~т (1) есть последовательность случайных испытаний.
В $ !! мы описали модель последовательности независимых испытаний. В 1907 г. А. А. Марков ввел такой класс зависимых испытаний (1), который может служить моделью многих случайных явлений. Этот класс впоследствии изучался очень интенсивно и привел к сильно продвинутой в настоящее время теории марковских процессов. Простейшая модель марковского процесса — цепь Маркова — определяется следующим образом. В последовательности испытаний (1) зафиксируем какой-нибудь момент времени й Алгебру событий Ф~ назовем настоящим, алгебру Ф,' ', порожденную алгеб.
рами Фо, Фь ° ., Ф~ н назовем прошлым, алгебру Гл о, цепи МАРковл тз событий ЛУо+ь порожденную алгебрами Ф,+ь ..., Фп— т будуи(им. Любое событие из .Уо также назовем про- ие|ын, из,Ф~+1-будущим, из Ф~ — насюящам. Наприт мор, событие (в: найдется такое й, что 1< я < Т и в, = во+1) принадлежит будущему, а событие (в: дзя всех я, 0 < й < 1, во ~ г) — прошлому. Оп ре деление 1.
Последовательность испытаний (1) мы будем называть цепью лтаркоаа, если при любом фиксированном настоящем в,=й прошлое зоо и бу- дущее Ф~о~ независимы, т. е. для любых 1<й<г, т !=1, 2, ...,Т вЂ” 1, Ае=лУо, ВяФ~~о1 Р (АВ) в, Ц = Р (41в, = Ц Р (В1в, = Ц. (2) Поскольку из определения условных вероятностей следует, что для любых событий А, В, С с Р (АС) ) 0 ! 1 = Р(В1АС), Р!л!с! = то условие (2) равносильно условию Р(В1в,=й, А)=Р(В1в,=й), (3) 5 26. Переходные вероятности Вычислим вероятность того, что траектория в = ,=(во,вь ", вг) равна ((о, (ь ° ., (г).
Для этого вос'вользуемся введенными выше обозначениями А~(1) =- --= (в: в~ = 1) и теоремой умиожеяия из 2 6. Имеем Р (в — ((в (ь, 1г)) т ' Р(А' (0))~[Р(40(!) !А' (0) Аг (1) ' ' АУф- (Г !)) (4) )!з условия (Э) получаем для цепей Маркова Р(4;,(1) !Ао(0) Ац(1)... А,,(1 — 1))= — РЖю(') !Аг,,(! — 1)), поэтому (4) запишется проще: т Р (в=(!о. (ь ° ° .1(г))=Р (Ая,(0)) Д Р(Ас,(т) ) А,, (1 — 1)) (5) 5 М. ПЕРЕХОДНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ В дальнейшем мы будем рассматривать однородные цепи Маркова, в которых условные вероятности Р(А~ (~)! А ~(т — 1)) = рц, называемые переходными вероятностями, не зависят от й Таким образом, чтобы вычислить вероятность любой траектории са в цепи Маркова, достаточно задать начальное распределение р;(0)=Р(А,(0)) н матрицу нереходных вероятностей Ро Ри ° ° Р|г Рн Рм ° ° Ргг Рп Ргг ° ° Ргг -1 (6) Р(0=ерц(()6 также будет стохастической.
Переходные вероятности удовлетворяют при любых целых г) О, з) 0 уравне- нию ри ((+ е) = 7, Р„Я рм(е). (О) Это уравнение выводится с помощью формулы полной вероятности рц (т + е) = Р (Аф + е) ! А, (0)) = г „Е Р (А~ (1 + з) ) Аю (0) Аа (е)) Р (Аь (е)! А~ (0)) Вероятность (5) записывается тогда так: т Р(м ((м ц ° ° )г))=р~,(0)Прг,,~; (7) Ф ! Элементы матрицы переходных вероятностей обладают следующими свойствами: г рц!Э О, Х рц=( ° (8) 1 ! Любая квадратная матрица (6), элементы которойудовлетворяют условиям (8), называется стохастической.
Введем переходные вероятности за г шагов: рц(г) = Р(А~(т+ е) ~А~(е)). Матрица 80 ГЛ, 5. ЦЕПИ МАРКОВА Так как Р (А1 (! + э) ! А; (0) А» (э)) = Р (Ат(! + э) ! А» (э)) в силу марковостн и Р(А1(1+ э) !А»(з)) = Р(А1(1) )А»(0)) в силу однородности, то отсюда получаем (9). Уравнення (9) можно записать в матричной форме Р (1 + з) = Р Я Р (з), откуда имеем РЯ= Р', где Р(1) = Р— матрица (6), Предполагая ри(0) = бц (би = О, если 1 ~ д би = 1,', мы распространяем уравнения (9) на случай 1) О, э)0, Через начальные вероятности р~(0) н переходныевсроятностн рн(1) мы можем выразить с помощью формулы полной вероятности распределснне вероятностей р,(1)= Р(А,(1)) прн любом Е г р» (1) — ~ р»(0) р»»(1).
(! 0) »-1 Пример 1. Блуждание с поглощением. Пусть по точкам О, 1, 2, ..., 1т' прямой блуждает частица. Время 1 дискретно. Если в момент ! частица была в точке Е то в следуюшнй момент 1+ 1 она нсзавнснмо от ее положеннй в более ранние моменты времени с вероя:- ностью ри попадает в точку !. Если !~р;Д задается равснствамп рьь = рнн =!. Рины = р, рь; 1=! — Р,если 1 <1< Л1 — ! н ри =0 прн 11 — Д> 1, то мы получаем цепь Маркова, которая описывает блуждание частицы по целым точкам отрезка (О,а(1 с поглощением на концах.
Пример 2. Блуждание с отражением. Пусть переходные вероятности рь~+ь рь; ~ для 1(1(Л' — 1 и ру для 11 — !'() ! остаются теми же самыми. Если определять еще рьо = 1 — р, реч = р, рнн = р, рн н-1 =!— — р, то полученная цепь Маркова моделнруст блужданне частицы по целым точкам отрезка ( — --, М+ — ) 1 1х 2' 2г с отраженном на концах.
$2б. Теорема о предельных вероятностях Теорема 1. Если при некоторая ть все элементы рц(1») лаатриць» Р' положительны, то существуют пределы !Цпр»~у)=рн 1'=1, ..., г. (11) 1+а А»О. ТЕОРЕМА О ПРЕДЕЛЬНЫХ ВЕРОЯТНОСТЯХ в! Предельные вероятности р! не зависят от начальноео состояния ! и являются единственным решением системы г г х»р»! — — х!, 1=1, ..., т, ~ х! — — 1.
(12) »-! с-! Доказательство. Обозначим М!(!) П»ах р!!(!), я»!(!) = та(п р,! (1). ! Так как т!(!)< Р»!(1)< М!(!) при любом я, то из равенства Ри(»+ 1) = ' Р!»Р»!(!) следует, что при всех ! и!!Я~ри(!+1) <М,(!). Отсюда вытекает т(!)< ((+1)<М (!+1)<М (!). Таким образом, при Г-Рою имеются пределы у последовательностей а»!(!) и М!(!).
Докажем, что зти пределы совпадают. пусть ! и ! таковы, что р!»(т+ !о) =м»(ТФ +!о), р!»()+То)=л!»(!+!о). Вычитая друг из друга равенства г М»(!+!о) =Р!»((+Го) = 2' Ри(!о)РР»(!)~ ! 1 Г л!»(! + "о) = Р!»(!+ !о) = Х Р)! (го) Р!»(!) ! ! получаем М»(! + !о) — о!»(Т+»о) = Х (Ри(!о) Р!г(то)) Ры (!) ! ! Разобьем сумму справа К на сумму ~ положитель.
ных слагаемых и сумму ~ отрицательных слагаемых, Тогда М»(!+!о) — л!»(!+То) ~<М»(!) Е (Ри(!о) — Р!!(То)) + ! + гп» (!) Х (Ри (!о) Р!! (!о)) (1З) гл. а цепи млгковл 82 и 0~(М~(Е) — т«(/) ~сЕ !' -»О Я при / — «со. Так как т!,(/)(Рга(/) =Ма(/), то отсюда следует утверждение (11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
