Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1119910), страница 10
Текст из файла (страница 10)
+А„=»», (27) причем Р(А») >О для всех й. Относительно каждого события А» из разбиения и любого события ВЕЕ.~Ф можно образовать условную вероятность Р(В1А») = Р (ВА») = — Пусть Ф(а) — алгебра событий, порожден- Р (А») ная разбиением (27). Определим условную вероятность Р(В1и((а)) относительно Ф(а) как случайную величину, ао Гл 3 случАйные Величины (конечнАя схемА1 можно .еперь трактовать как математическое ожидание МР(В~,Ф(а)) случайной величины Р(В~Ф(а)). Пусть разбиение ае определяется случайной величиной $1 АА=(е=хА).
Обозначим Фт алгебру, порожденную $. Условная вероятность Р(В!Фе) в этом случае есть функция от значений $, и мы обозначаем ее Р(В~3), а ее значение — через Р(Все=хА). Предположим теперь, что Вс = (Ч = ус), ) = 1 ..., пс, образуют разбиение, порожденное случайной величинои ч. Условным законом распределения ч при заданном значении 3=хА назовем набор условных ве. роятностей Р(Ч=ус. Е= .,) Р(ч=у11$=хА)= „', (=), ..., Лс; Р(а=к ) условным математическим ожиданием Ч при заданном значении $ = хА будет тогда сумма М(чсе= )=~,у Р(ч= се= .)= 1-1 Х усР(Ч = ус, $ - кА) с 1 Р(й=кл) Мы можем считать М(Чс$=хА) значениями случайной величины М(ч/ф), являющейся функцией от $ и равной М(Ч~$=хА) при я=хА. Случайную величину М(Ч!$) будем называть условным математическим ожиданием при заданном $. От этой случайной величины можно вычисл ить и з тематическое ожидание и М (М (Ч ~ $)) = ~ Р (~ = хА) М (Ч ~ $ = хА).
(29) Теор ем а б. Имеет место равенство М (М (ч се)1 Мч' (30) $ !6, неРАВенстВО "1евышеВА. ВАкОн БОльп1их чисел В) Доказательство. Подставляя в (29) значения ) славных математических ожнданий (28), имеем м (м (!) ~$)] = ~ Р ($ хх) м (!) 1Е = хх) = л !л л! = Х 2. р!Р( =91, В= ) = Е р!Р( =р!) =МЧ х-!с ! ! ! Теорема доказана. П р и м е р 4. Пусть $1, $м ..., $„— случайные величины, имеющие одинаковые математические ожидания ЬЦь а « — независимая от них случайная величина, принимающая целые неотрицательные значения.
Определим сумму случайного числа случайных величин !)„= =е!+ ., +5, при «)1, Ч,=О при «=О. Тогда Мч,= Ме! М«. Эта формула доказывается с помощью (30). Имеем при любом « = гм М(ъ!«=а)=М($!+ "+$.)=а М$1, т. е. М (11„1«) = « ° М5!. Отсюда получаем Мъ = М (М (Ъ1«)1 = М«ме!. $18. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел Следу!ощие два неравенства носят название неравенства Чебышева. Теорема 6. Для любого х 0 имеют место неравенства: Р (~ $1) х) ( (31) Р((1 — М$))х) ( —,. (32) Доказательство. Вычисляя математическое ожидание от обеих частей неравенства ! л 1~(!11>х) +! л ~ ~(1(1<х) ~~ 1 л 1~(111>х) ~ «Х~(!1(~х)! получаем м1~ ~=а хм!(„)~х) — хР О 11~> х). ве Гл. х случАйные величины (конечнАЯ схемА! Неравенство (32) получается из первого неравенства, если его применить к случайной величине т1=($ — Ме)х и воспользоваться тем, что Мг1 = 0$.
Теорема доказана. Неравенство Чебышева (32) показывает, что при малой дисперсии 0$ с вероятностью, близкой к 1, случайная величина $ концентрируется около математического ожидания М$: Р(~$ — мх1<х) ъ1 — —,. (33) Неравенство Чебышева позволяет просто доказывать некоторые предельные соотношения, в которых участвуют последовательности независимых случайных величии ь„. В рассматриваемой в атой главе конечной схеме мы имеем право лишь утверждать, что любое конечноемножество случайных величин может быть определено на одном вероятностном пространстве. В доказываемых ниже теоремах 7 и 8 мы полагаем, что прн каждом п случайные величины йл, ..., В„определены на некотором конечном вероятностном пространстве(й„, ле„, Р„). причем прн каждом фиксированном й ( и случайнач величина ЕА имеет распределение вероятностей, не зависящее от и.
Вообще говоря, любую последовательность независимых случайных величин ~„можно определить на одном бесконечном вероятностном пространстве. Данные ниже доказательства теорем 7 и 8 имеют общий характер н не зависят от конечности рассматриваемой схемы. Теорема 7. (Теорема Чебышева.). Если $ь фх..., независи.иы и существует такая константа с О, что Щ„(с, и = 1, 2, ..., то при любом е > О Доказательство. Обозначим ьА = 5+ ... '+ $,, и применим к Ь„/и неравенство (33).
Имеем при любом х= О: 1) Р ( ~ ь" — —" ~ < х) ) 1 — —,„", ) 1 — — „, (35) л !В, НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Пз так как 0~л = Е 0БА в.пс (см. теоРемУ 4). Из (35) пРИ А 1 л — л ОО имеем (34). Следствие. Если $„$ь ... независимы и одинаково распределены, М$„= а, 0$„= аз < ьь, то при любом х)О И РЦ'+"„+е" — ~< ~=1. (36) Предельные утверждения типа (34) и (36) носят на. звание закона больших чисел. Закон больших чисел утверждает, что с вероятностью, приближающейся при л-+.ВО к 1, среднее арифметическое сумм независимых слагаемых при определенных условиях становится близким к константе.
Из (36) получаем закон больших чисел в схеме Бернулли. Теорема 8, (Теорема Бернулли.) Пусть р„— число успехов при и испытаниях в схеме Бернулли с вероятностью О < р <! в каждом испытании. Тогда при любом х ) О !Нп Р (~ ил — р~ <х~ = 1. (37) Дока за тельство. Мы можем представить !А„ в виде суммы независимых слагаемых $!+ ... + $., где $! = 1, если при !-м испытании произошел успех, и ь! = О в противоположном случае.
Поскольку М$! = р, 0Ь=Р(1 — Р) то к ил = $!+ ... + Вл применимо следствие (36), Теорема доказана. Соотношение (37) показывает, что при больших л РаЗНОСтЬ МЕЖДУ ОтНОСИтЕЛЬНОй Чаетатай !Ал/Л И ВЕРОЯтностью успеха мала с вероятностью, близкой к 1, В условиях, когда справедливо свойство устойчивости частот, можно применять следующий принцип: лри единичном испытании маловероятное событие практически невозможно. Считая серию в и испытаний в схеме Бернулли за единичное испытание и выбирая х таким, чтобы —,= — „,„было мало, мы можем утверждать, пил Рч ччо неравенство ~ !А,/л — р! ) х практически невозможно.
Вопрос о том, какие вероятности считать малыми, зависит от конкретной прикладной задачи, $4 ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ !КОНЕЧНАЯ СХЕМА) Задачи 1. Из 28 костей домино случайно выбирается одна. Найти закон распределения суммы очков на половинках этой кости. (Кость домино — это прямоугольник, разделенный на две части. Каждая аз частей помечена одной из цифр О, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Бсе 28 комбинаций пар (!, /), 0 < г < / н, 6, составляют набор костей домино.) 2. 1!айти закон распределения случайной величины П = з!и †, 3 где $ — число очков, выпадающее при бросании игральной ности.
3. Найти математическое ожидание Ме и дисперсию 0": а) бицомиального распределения Р (5 ги) С„рм (1 — Р) хи = О, ..., и; б) гипергеометрического распределения С С" Р (5 = щ) = „, = О, 1,, ш!п (и, А(); М и-М Си , в) равномерного распределения на (1, 2, ..., Аг) Р(й=ги)= —, т= 1, ..., Аг. ! А/ ' г 1 2 ... и т 4.
Из множества всех и» подстаповок !К ~ слух~ хт ... х„ чайно и равновероятно выбирается одна. Найти вероятность того, что хэ чь й прп всек ! < й < и. б. Если р(я, Л) = О, то $ и Ч не обязательно нсзависины. По. строить пример, 6. Найти М5ь 05! и Сон (5ь $/) в полиномиальаом распределении И! лг, мг Р(Е!=ш!, ...,Е =иг)= р, ' ...р,', прп целых неотрицательных т~+ ... +тг — и и Р(Е~ -тп... ..., $, = иг„) = 0 в остальных случаях. 7. Из чисел 0000, 0001, ..., 9999 случайно и равновероятно выбпРают число 5Дтвчеь Доказать, что йг независимы в совокУп.
ности. Е. Найти коэффициент корреляции между $ и $', если Р (5=0» = 1/3, РЯ=1) =1/2, РЦ= — 1) =1/6, 9. Бросается игральная кость. Пусть на пей выпало т очков. После этого та же игральная кость бросается т раз. Обозначим т» сумму выпавшего числа очков в этих т бросаниях кости. Най* тн МЧ. 1О. а) Показать, что при любом х > 0 найдется такая случай- ная величина $, для которой М»' » < х и неравенство (31) превра. щается в равенство. 6) Аналогичное утверждение справедливо н для неравенства (32), но в этом случае надо полагать 0$ (~ха. 11. Пользуясь неравенством Чебышева, оцепить вероятность того, что при !000 бросаннях монеты число выпадений герба р бу.
дет заключено между 450 и 550. Г л а в а 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ 9 19. Биномиальное распределение Биномиальное распределение числа успехов р при а независимых испытаниях в схеме Бернулли с вероятностью успеха р в каждом испытании задается вероятностями Р(1ь= и) =Ср д", и=О, 1, ..., и; у=1 — р.
(1) Формула (1) записывается достаточно компактно и прот сто, однако использование ее для вычисления вероятностей Р (1ь = и) при больших значениях и и и вызывает значительные трудности. При очень больших значениях и и гп можно производить вычисления на быстродействующей ЗВМ. Но и в этом случае при составлении программы надо учитывать то обстоятельство,что очень большие числа, возникающие при вычислении С„, приходится множить на очень малые числа р д' ", Прн этом надо следить, чтобы промежуточные численные результаты не выходили за диапазон допустимых значений. Таблицы для вероятностей С,р д ~ громоздки и очень неудобны для пользования, так как содержат три входа (п, р и т). Еще хуже дело обстоит с вычислением вероятностей Р (ть ~ р (та) = Е С, р"д" которые зависят уже от четырех параметров: а, р, иь и ть Поскольку схема независимых испытаний служит вероятностной моделью многих реальных случайных яв.
лений, представляет значительный интерес задача о нахождении асимптотических формул, позволяющих при- 3 В. А. Саааатьааоа ЕЗ ГЛ. Ь ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В СХЕМЕ ВЕРНУЛЛИ ближенно вычислять вероятности (1) и (2) при больших значениях п, т, ть тз. Такие формулы дают нам предельные теоремы. 3 20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
