Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1119910), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Центральный момент второго порядка называется дисперсией случайной величины и обозначается Оя = =М(я — а)г, Корень квадратный 1/05 из дисперсии иа. зывается средним квадратическая отклонением (илн иногда стандартным отклонением) . Дисперсия обладает следующими свойствами: 1) 0$ = М~г — (МВ)'. Доказательство. Имеем 05=М($ — М$)'= = М ($' — 2М (5 ° МЦ+ (МЦ') = М$' — 2 М$ М5+ (М5)' = МР— (Мй)'. 2) 0~- 0 и 0ч=О тогда и только тогда, когда существует такая константа с, что Р(в=с) =1.
Следует из свойства 4) математического ожидания, так как («я=М(к — М$)' и (~ — МЦ'~ О. 3) Для любой константы с 0 (сз) = с'0$, 0 (~+ с) = — 0~. Следует из определения и свойства 3) математиче. ского ожидания. Многие известные в анализе неравенства для сумм и интегралов широко применяются в теории вероят- 43 ГЛ.
3. СЛУЧАИНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (КОНЕЧНАЯ СХЕМА1 ностей, причем в этих неравенствах используется понятие математического ожидания. Приведем здесь некоторые из этих неравенств. Неравенство И енсе н а. Если числовая функ!(ия й(х) выпукла, то для любой случайной величины с Мй (О =н й (Ме) (11) Доказательство. Если й(х)' имеет производныо у', д", то из выпуклости д следует, что в любой точке х д" (х) ~ О, Поэтому при любом а й (5) )~ й (а) + й'(а) ($ — а). (12) й(х)= й(а)+С(х — а).
(13) Функцня й(х), определенная на интервале (с, й), где †< с < й Н, оо, называется выпуклой (нлн выпуклой зннз), если длн любых хь ха ее (с, й) н любого О ( 0 ~ 1 выполняется неравенство ь (Вх~ + (1 — В) хз! ~ Вй (хь) + (1 — О) ь" (хз). (!4) Пусть й — выпуклая функция н нее(с, й). Возьмем любые хь хз, удовлетворяющие неравенствам с ~ хг а < хз ( й. Покажем, что для ннх й (х~) — й (а) й (хд — д (а) х| — а хз — а Нетрудно проверить, что неравенство (15) рввноснльно (14), если хз — а а — х, положить в нем 6 —, 1 — 8= —. Из (15) вытекает хз — х, ' хз — х~ ' существование такой константы С, что й (х,) — Е (а) й (х,) — я (а) зпр ч, СК 1п! х, <л х| — а х,>а хт — а а зто разпоспльно утверждению (13).
Неравенство Ля пу н о в а. Для любых полоэс- тельных а ( нл (м! ь г)'" ~(м) ь)') (16) Полагая в (12) а= рй$и беря математическое ожидание от обеих частей, получаем (11). В общем случае вместо (12) надо воспользоваться тем, что для любой выпук. лой функции д(х) и любой точки а найдется такая кон* станта С, что для всех х $ )3. МАтемхтичвское оживл)!нв 41) Для доказательства надо применить к выпуклой функции д(х)=ха!" и случайной величине )ца неравенство Иенсена (11).
Неравенство Коши — Буняковского. Для л)обых двух случайных вели')ин $, т) ~ МЮп ~«)/МЬ' Мп'. (17) Док аз а тельство. Для любых чисел х, у по свойству 4) математического ожидания М(х5 + у!))' ) О. Отсюда следует, что квадратичная формула хзЩ'+ + 2хуМв)) + учМ))з неотрнцательно определена, а следовательно, ее дискриминант неположителен: (М5)))з— — М:-з Мц!'«О. Статистическое истолкование математического ожидания.
Пусть в некоторой лотерее имеется один выигрыш, размер которого случаен и равен или х), илн х:, ..., нлн хь Если лотерея проводится М раз, прячем М; раз выпадает выигрыш хь М = М)+ Мз+ " + Мм то М;/М есть относительная частота выигрыша хь а ! т х = — ) х,М, — средний выигрыш на одну лотерею.
в! с. !' ! Если ~~ — случайнаявеличина,равная размеру выигрыша в одной лотерее, то из статистической устойчивости чзстот следует — ! ~ Р (5 =х!), поэтому средний выиг. рыш х колеблется около М5: х=у ~ х)М! 1 х)Р($=х!)=М5. !1!1ехаиическая интерпретация М$ и 0$. Интерпрети. руем наглядно закон распределения как расположение на прямой в точках х, <хз« ...
хз точечных масс 3 ь Р! Рз, ..., Рм Х Р! — — 1. В этом слУчае М5= ~ х,Р,есть ! ! ! ! центр тяжести, 0$= Х р)(х,— М9' — момент инерции !! масс р; относительно центра тяжести. Таким образом, М$ характеризует место, вокруг которого группируются ЕО Гл. К СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ !КОНЕЧНАЯ СХЕМА) массы р1, а 05 — степень разбросанности масс р! окола М$. Вероятность суммы событий. Вычислим от обеих час тей равенства (2) математическое ожидание и восполь зуемся его адднтнвностью. Получаем Р(Ц А!1= Х Р(АА) — 2' Р(АМАМ)+ ЧА-1 I А-1 !<А, < А,<В + 2'„Р(АА,АА,АА,) — +( — 1)" Р(А1А! А,). !<А, <А.<А,<В (18) / В С !~К !18! ~~ о ~ ~~ Р(1! ! ! А-1 Пример 3. Размещение частиц ло ячейкам.
Пусть имеется !у ячеек, в которые независимо друг от друга размещаются и частиц. Каждая частица с вероятностью! 1/й! может попасть в любую фиксированную ячейку, Обозначим через рч число пустых ячеек после такого размещения. Вычислим вероятность Р(р,=О). Введем случайные события А1, полагая, что А! произошло тогда и только тогда, когда 1-я ячейка пустая.
Тогда(р, > О)= = О А1, и мы можем применить (18), Поскольку ! 1 Р(А!) = (1 — — ), Р(А,А!) = (1 — — ) и, вообще, Р (А1,А!! ° ° А!А) = (1 — У) ° то из (18) следует и Р(ра>О) ='у- СА(- 1)А-!(1 --„')" А ! или Р(!!В=О) = 1 — Р(!АВ > О) = ~~~~ ~С~к( — 1) (1 — !, ) А-О й 14. ййногомерные законы распределения Пусть на конечном вероятностном пространстве (ь), .ЯФ, Р) заданы случайные величины 1= ЦГВ), Г! = =!1(ГВ).
Пусть х1, ..., хА — все возможные значениями, з и. многомерные 3АкОны РАспраделяния 51 уь ..., у — все возможные значения Ч. Как мы уже знаем, с помощью вероятностей Р(з=х/) и Р(ч=у/) определяются законы распределения случайных вели. чип "с пч: Ра(В)= Раен В)= ~., Р($=х!), а!ев Р„(В) = Р (ч ~ В) = Х Р (ч = у/), а/же где  — любое числовое множество. Совместным распределением случайных величин $, Ч, или законом ик !Ое.!!ес!ного распределения, мы будем называть вероя!- нос!ь Р(($, Ч)еи В), определенную для всех множеств Табаица 4 даумораыа закон расаредааеыяя х, В точек плоскости (х,у) и обозначаемую Р (В). Со.
вз!ес!Ное распределение можно задать с помощью на. бора вероятностей Рй=хо Ч=у/), /=(,", й; 1=!, ...,т, полагая Р(($, Ч)енВ) х Р(з=.х„Ч=у). Если Р!, а/) еВ обозначить р//=Р(ь=х„ч у/), то совместное распределение $, Ч можно задать с помощью табл. 4, в которой все р!/~0 н х' Х р,/ —— !. Любая таблица такого ! !/ ! вида задает некоторый закон совместного распределения пары случайных величин, который мы иногда будем 52 ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ !КОНЕЧ!!АЯ СХЕМА! называть двумерным законом распределения, или дзул!ерным распределением.
Иногда двумерным законом распределения мы будем называть просто табл. 4. Законы распределении (!9) отдельных случайных величин $ и !1 будем называть одномерными. Пара случайных величин $, г! порождает разбиение аАЧ, состоящее из событий А ц — — (ан В (а!) = х!, А) (а!) = у!), ! = 1,..., й;!' = 1,..., Лг. Это разбиение, а также порожденную им алгебру ЛУтч будем называть порожденными парой $, А1. Любое сабы. тне А ялУе„представимо в виде А = (гз: (~(гз),А)(гз))я ее В), где  — некоторое множество точек плоскости.
11, наоборот, любое событие этого вида принадлежит ЛУЕЧ. Нетрулно видеть, что алгебры ЛУА и Ф„порожденные случайными величинами $ н г) соответственно, есть подалгебры Фтч, причем алгебра ФАЧ порождена объединением алгебр ЛУЕ и Фч. Если (А!!) составляют разбиение аеч и А!.= Х Авр А! ЕАц !»! ! ! то (Аг,) образуют разбиение аы а (А.!) — разбиение а„. Из двумерного закона распределения можно полу« чить одномерные законы распределения для $ Р ($ х!) = р,. ) р, ! 1 н длЯ А) А Р (А) = У!) = Р.
! Е Рцю которые иногда называют маргинальными законами первоначального двумерного распределения. Аналогично для и случайных величин с!, Еы ..., Ел определяется и-мерный закон распределения Р;,, А„(В)= = Р Я„..., е„) еп В), где  — множество точек п-мерного пространства Д", Этот закон можно задать вероятностями Р(К!=х!!!, !'=1, ° ° ., и) =р! ! г, 1~)!<йю, (29) з ж независимость слэчлиных величин бз где р )~0 Х р г г =1 и хм<хм<... ... < х;„, — значения, которые принимает случайная величина $,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
