Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1119910), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Р(Аг ), поэтому Р(АЕ ... Ас ПАД ... Ау,)=Р(А», ... А~)Х Х Р(АЛ ... Аг,), а отсюда вытекает (11). й 1О. Независимость разбиений, алгебр и и-алгебр Определен ие 5. Пусть у — некоторая система множеств. Наименьшая алгебра множеств зФ(у), сойер. жащая у, называется алгеброй, норозсденной системой у, 2 Б. А. Свввотьяяов вз Гл. з условные Вегоятностн. незлвиснмость Аналогично определяется о-алгебра, порожденная у, каи наименьшая о-алгебра, содержащая у. Если мы за систему множеств а возьмем разбиение Аь Аз, ..., А„, т. е. такие множества Ао что А, +', г(-Аз+ ...
+А, = И и АА1= 8 при 1чь/, то нетрудно видеть, что алгебра Ф(а), порожденная разбиением а, является конечной (т. е. в нее входит лишь конечное число множеств) и состоит только из пустого множе» ства и множеств вида А1, +Аз,+ ... +Аз . Имеет место обратное свойство. Теорема 5. Каждая конечная алгебра ззножесгв порождается некоторым разбиением. Доказательство. Пусть Я вЂ” конечная алгебра событий.
Обозначим Я„совокупность всех ВенЯ, для которыхееиВ. Для каждого еееИ введем В„= Д В. Вия,. Покажем, что для двух азчь за' либо В„=Вмо либо В„()В„= )б'. Для любых заев И и ВеиЯ имеет место следующее свойство: если зз~В, то В„аВ. Пусть теперь аз ее В„", тогда В„с:-Вао Далее, если зз'ЕЕ В, то В„я*В„и, следовательно, В„=В„. Случай е'ееВР невозможен, так как приводит к противоречию В„~: — В„ (а мы уже доказали, что В„~:-В ), Выберем среди В„ разные множества В1, Вз, ..., В,. Они образуют раз- бвеине, так как В + ... +В,=И и В1В1 — — 8 прн Поскольку любое В ее Я представимо в виде В= Ц В„, то зто разбиение порождает алгебру Я, ажв что и требовалось доказать.
П р и м е р 6. Разбиение А + А = И порождает алгебру Я=(Я, И, А, А). П р и м е р 7. Разбиение А, + Аз+ Аз = И порождает алгебру Я = (1с!, И А1, Ам Аз А1+ Ам А1+ Аз Аз+ Аз) Определение 6. Разбиения аз. Ац+Азз+ ... +Аз, =И, й=(,,„п, называются независимыми, если для любых 1*, ! ~ <зз<ГМ й=(, ..., я, Р(А11,А11, ° Ажа) = Р(АН,) Р(А11,) ... Р(А„1„), $ н. незАВисимые испытАННЕ Определение 7. Алгебры (или а-алгебры) событий,Ф» Фм ..., зФ„называются независимыми, если для любых А; я Ф Р (А,А, ...
А„) = Р (А,) Р (А,) ... Р (А„). Теор е и а б. Конечные алгебры Ф» гвт..... ',Ф, независимы тогда и только тогда, когда независимы порождающие их разбиения ссн ав ..., а,. Доказательство. Так как порождающее ясч разоеенне а~ есть подсистема Ф» т. е. он с: —.Ф» то нз независимости зФ» ..., Ф„следует независимость а» ..., а,. Каждое А ее Ф; есть сумма попарно не« совместных событнй из а» поэтому обратное заключе. нпс получаем из следующей леммы.
Л ем м а 1. 1'. Если события А и В независимы, то события Х и В также независимы. 2'. Если А~ и В незлвиси.иы и Аз и В независимы,.а А~АЗ = кт, то А, +АЗ и В независимы. Доказательство. 1'. Из независимости А н В следует Р (ВА) = Р (В; АВ) = Р (В) — Р (АВ) = = Р (В) — Р(А) Р(В) = Р(В) (! — Р (А)) = Р (В) Р(А), т. с. В и А также незавнсимы.
2'. Из независнмостн Л! и В имеем Р(А,В) = Р(А;) Р(В), откуда вытекает Р((А, + А )В) = Р(А В)+ Р(АЗВ) = Р(А ) Р(В)+Р(Аз)Х Х Р(В)=(Р(А~)+ Р(АЗ))Р(В) = Р(А~+ АЗ) Р(В), т. е, А1+А н В независимы. Следствие. Каждое событие А порождает раз. биение А+А = Я, которое в свою очередь порождает алгебру .Ф(А).
Из леммы 1 вытекает, что независимость событий Ан ..., А„и независимость пороэкденных ими алгебр .Ф (А~)...,, Ф(А,) эквивалентны. 5 11. Независимые испытания Под испытанием мы будем понимать некоторый зкс. перимент, исходами которого служат те нлн иные случайные события. В принятой нами аксиоматике испытчиие — это некоторое вероятностное пространство. Пусть За гл а головные ввгоятности. независимость даны и испытаний, т. е. даны вероятностные пространства (Ип лги Р~), °... (И„лг„, Р„). (12) Если эти вероятностные пространства есть модели некоторых причинно независимых испытаний, то о-алгебры,Фь .Фа ...,,я»„должны быть независимыми.
Но для того чтобы иметь возможность говорить о теоретико-вероятностной независимости, мы должны рассматривать,Ф; как а-подалгебры и-алгебры .Ф одного обнгего вероятностного пространства (И, Ф, Р). Такое вероятностное пространство всегда можно построить. Мы проделаем это построение в частном случае, когда вероятностные пространства (12) конечны. Итак, пусть (И» зв» Р~) — конечное вероятностное пространство, И, (а,),,Ф, состоит из всех подмножеств И„а вероятность Р~(А)= ~ р,(а,) задается в~ а А с помощью вероятностей элементарных событий р,(а,), а,в=Ио Построим прямое произведение вероятностных пространств (12) (И, зФ, Р), полагая И=И~ ХИ,Х...
... Х И„, точки которого а ~ И есть векторы а = =(ап ае, ..., а„) с компонентами а, ~И» 1= 1, ..., и, .4 — алгебра всех подмножеств И, р(а)=р,(а~)... р„(а„), Р(А)= Х р(а). (13) вал Построенная так вероятность Р называется прямым произведением вероятностей Р~ и ' обозначается Р = = Р, Х ... Х Р„.
Аналогично в этом случае .Ф= Ф~ Х ° ° ° Х.4„есть прямое произведение алгебр. В построенном вероятностном пространстве выделим класс событий А, называемых прямоугольниками, определяемый следующим образом. Пусть А, ен.Ф» 1= = 1, ..., и. Прямоугольник (14) А = А~ Х Ае Х . ° ° Х А„ состоит из тех и только тех а = (аь ам ..., а,), для которых а; ен А» 1 = 1, ..., и. Из определения вероятности (13) следует, что вероятность прямоугольника (14) з 11. ИезАВисимые испытАния равна Р(А)= Х р(в)= Х р!(в!) ." 2' рл(вл)= л = Д Р» (А»). (15) Обозначим ЯФ» подалгебру алгебры И1, состоящую из всех тех прямоугольников (14), у которых А! = »1! для ! Ф й, Нетрудно видеть, что между событиями А! = ()! Х ...
Х (~1-1 Х А! Х ()!+! Х ° ° Х йл ~ эй и А, ~,ЯФ! устанавливается естественный изоморфнзм А,'. Ап поэтому вместо событий А, из вероятностного пространства (»»1, Ф1, Р!) можно рассматривать изоморфные события А, 'из подалгебры Ф,' вероятностного пространства (»», Ф, Р), Из определения вероятности (15) следует Р (А',) = Р,(А,). Так как А = А, Х ... Х А„ = = П А„', то из (15) получаем для любых А' сии»' »-! л ( ! ! л) =)1 л !л~, р( )=Бр"!у' "'. ! ! (16) Построенная схема независимых испытаний называется схемой Бернулли. Обычно она трактуется следующим образом.
Пусть некоторый исход А, который мы будем называть успехам, может произойти при каждом испытании с одной и той же вероятностью р; противоположный исход А (неуспех) может произойти при каждом т. е. алгебры Ф'„..., Ф'„независимы. Схема Бернулли. Частный случай независимых испытаний, с двумя исходами в каждом из испытаний, строится следу1ощнм образом.
Пусть вероятностные пространства в (12) таковы, что»1! = (О, 1), Ж = (к, (О), (1). »!!), р(0) = р, р(1) = д, р+ д = 1. Тогда в прямом про- ИЗВЕДЕНИИ (»1, .ЭФ, Р) ИМЕЕМ И=(В), В=(„»,..., Вл), в,=0, 1, 33 Гл. е услОВные ВеРОятнОсти. ИВЗАВисимость испытании с дополнительной вероятностью д = 1 — р. В элементарном событии а =(аь ..., а,) имеем а~ =1, если при 1-м испытании произошел успех, и а~ = 0 в противоположном случае.
Обозначим ВА — — (он а~ + ... ... +ао= й) событие, состоящее в том, что при а не. зависимых испытаниях в схеме Бернулли произошло ровно й успехов. Поскольку из (15) следует, что прн а е= В» р(а) = р"4"-', то Р(ВА) = р"4"-АХ (число элементарных событий аы ВА). Итак имеем, Р(В„)='С,",рд", й=0,1,...,и. (17) Вероятности (17) называются биномиалоным распределением. Примерами, в которых появляется биномиальное распределение, служат: выборка с возвращением (э 4, формула (15)), выпадение шестерки и2 раз при а бросаниях игральной кости (вероятность этого события С„н ~-) ), рождение и2 мальчиков при реги" ~в) ~в) страции а рождений (если вероятность рождения маль. чика р = 0,51, то вероятность рождения и2 мальчиков при регистрации и рождений равнаСР (О, 51) ° (О, 49)" обширный статистический материал, собранный в разное время и в разных странах, свидетельствует о том, что вероятность р ~ 1/2 и примерно равна 0,51 — 0,52), Полиномиальная схема. Более сложная схема а независимых испытаний получается, когда при каждом испытании возможно появление одного нз г попарно несовместных исходов.
Пусть 1-е испытание связано с вероятностным пространством (Иь .Фь Р2), где И~ = = (1, 2, ..., г) состоит из номеров 1, 2...,, г исходов. Пусть рь ..., р,— вероятности этих исходов, р~+ ., ... +р, = 1, а Ф~ состоит из всех подмножеств Иь В прямом произведении вероятностных пространств (И,,Ф, Р) этементарное событие а ~ И равно а = =(аь ., а„), где а~ — номер исхода при 1-и нспыта.
нии. Полагая р(а) = р„р ... р„, вычислим вероятность события В,... =(в и независимых испытаниях произошло ровно по ио Ьх исходов) и1+и2+ .. ° +а,=а. злдлчн Так как для любого ш ~ Вз г Р(1 ПР а количество точек в Вл ...„, равно полиномнальному иг коэффициенту,, то пг!...и,г ' и, + ... +п,=п. (18) Распределение (18) называется полиномиальным; описанная схема независимых испытаний с г исходами также называется полипомиальной, Прн г = 2 эта схема преврагцается в биномиальную схему Бернулли, Задачи 1.
Из множества чисел ООО, 001, ..., 999 рзвиовероятио выбирается одно число. Какова вероятность того, что это число ие содергкит цифру 1, если все сто цифры разлггчиыр 2. Из урны, содержащей Л/ белых и Л' — М черных шаров, случайно последовательно по схеме выборки без возвращения извле. каются три шара. С помощью теоремы умиожепия пайти всроятиость того, что появится последовательность шаров: белыЙ, черный, белый, г 2 3. Показать, что любая конечная алгебра событий состоит из 2* событий, где й — иатуральиое 'шсло.
Х 4. Плоскость расчерчена параллельиымп прямыми, риестояиия между соседиими прямыми,че- 4 З рслуясгь разин 'а и Ь. На эту плоскость случацпо бросается игла длииы 1 ( ппп(а, Ь1. Пользуясь решепием задачи Бюффона п формулой полной Рис. 8. вероятности, найти вероятность того, что шлз пересечет одну из этих прямых. 5. На бесконечную шахматную доску с длпиой сторояы квадрата а случайно бросается монета радиуса г ( а/2. Найти вероятпость того, что монета пересечет сторону какого-либо квадрата. 6.
В последоаателыюсти и независимых пспытаиий с вероятиостью р успеха в каждом из испытании произошел ровно один успех. Какова вероятность того, что успех произошел при втором испытаиигй 7. В схеме испытзиий задачи О произошло ровно два успеха. Найти вероятность того, что успехи произошлп в соседних испытаниях. 8. Нз паркет, составлеииый из прямоуголышков со сторонами и и Ь, а < Ь, случайно бросается моиста радиуса г, 2г ( ппп(и, Ь1. Найти всроятиость того, что монета задсист меньшую сторону 49 ГЛ.
З. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ какого-нибудь прамоугольника, если известно, что она какую-то сто. рону задела. 9. Для перехода улицы пешеходу нужно три секунды. Каждую секунду с вероятностью р по улице проезжает автомобиль и с вероятностью л = 1 — р улица свободна. Будем считать время дис. кретным (по секундам), а наличие илн отсутствие автомобиля па улице в разные моменты времени независимыми испытаниями. Пешеход начинает переходить улицу лишь в том случае, если в течение трех секунд она будет свободна от автомобилей на переходе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
