Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1119910), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Однако теория вероятностей — это большой, интенсивно развивающийся раздел математики, изучающий случай. пыс явления. Так в чем же тут дело? Как разрешить это противоречие между тем, что теория вероятностей— зто наука, а ее предмет — случайность, которая, каза. лось бы, не поддается никакому научному предсказанию? Как мы увидим ниже, противоречие здесь только кажущееся, так как теория вероятностей изучает закбномерности случайных явлений. Математика, как и любая другая наука, изучает закономерные явления реального мира.
Связь между математикой и объектом исследования можно изобразить схематически следующим образом (см. рис. 1). Классическим примером такой схемы является механика, созданная Ньютоном. На основе многовековых наблюдений движений небесных тел, а также практической деятельности людей, связанной со строительством и производством, Ньютон сформулировал несколько простых законов механики в аиде аксиом и закон всемирного тяготения, из которых дедуктивными рассуждениями можно было объяснить все явления, которые наблюдались ранее, а также предсказать многие новые факты. Построение математических моделей реальных механических и физических процессов привело к созда. пию математического анализа, 1о ГЛ.
!. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАс!СТВО Закономерное событие в это событие, которое всегда осуществляется, как только создаются определенные условия. Закономерное явление в зто система закономерных 'событий. Роль математики, в частности теории дифференциальных уравнений, при изучении реальных закономерных явлений общеизвестна.
Но наряду с закономерными мы все время сталкиваемся В практической деятельности с событиямп незакономерными или, иначе, случайными. Это события, которые при одних и тех же условиях иногда происходят, а ййа екав иногда — нет. Например, чело. иасаапаеакиа век, заболевший гриппом в пе- риод эпидемии, может выздоъ~ с роветь, может получить те или а иные тяжелые осложнения, илп умереть. Таким образом, исход заболевания гриппом случаен. Иапввкаваиавскаа назвав Казалось бы, что там, где мы имеем дело со случайпымн Рас. !. событиями, науке, в частности математике, делать нечего. Ведь наука открывает научные законы, которые помогают предсказывать течение того или иного процесса илн явления, а случайное явление — это как раз такое явление, предсказать исход которого невозможно. Однако и случайные события подчиняются некоторым закономерностям, которые мы назовем вероятностными закономерностями.
Прежде всего условимся, что мы будем иметь дело не со всякимн случайными событиями, а с массовыми случайпымн событиями, т. е. мы будем предполагать, что в принципе возл!Ож!во создать много раз одни п те же условия, при каждом пз которых можег произойти или нет некоторое случайное событие. Пусть при осуществлении некоторых' условий вт' раз слуи. йное событие А осуществляется Л!(А) раз. Число Л!(А) называется частотой события А, а отношение Л'(А)/Ф— сгноеитеяывой частотой события А. Оказьввается, при больших й! относительная частота Л!(А)/!У для случа)гпых массовых событий обладает так называемым свойсввом устойчивости, которое состоит в том, что в нескольких сериях пз достаточно больших У!, !л!в, ..., Фв $ Ь ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТИОСТЕИ 11 наблюдений события А в одних и тех же условиях мы обычно имеем приближенные равенства Ф~ (А> М, [А] М~ (А) Таким образом, относительная частота события А ко.
лсблется около одного и того яге числа, которое характеризует данное случайное событие Л. Это число Р(Л) в соответствующей математической модели мы будем называть вероятностью события А. Например, мы можем много раз подбрасывать одну и ту же монету. Пусть случайное событие А — это выпадение герба пря одном бросании.
В случае бросания чправильной» (симметричной, однородной) монеты Р(А)= 1/2. Статистика рождений показывает, что мальчиков рождается несколько больше, чем девочек, причем наблюдаемаядоля рождений мальчиков равна 0,51 — 0,52 (в разные перво. ды, в разных странах могут быть колебания). Медицинская статистика свидетельствует о том, что смертность от гриппа имеет малую, но ненулевую вероятность (поэтому в условиях массовой эпидемии число смертных случаев от гриппа становится заметным).
Устойчивость частот — это объективное свойство массовых случайных явлений реального мира. Отсутствие устойчивости частота сериях испытаний свидетельствует о том, что условия, при которых производятся испытания, претерпевают значительные изменения. Теория ве роятностей — это математическая наука, которая изу» чает математические модели случайных явлений. Если говорить более подробно, то теория вероятностей устанавливает такие связи между вероятностями случайных событий в математических моделях, которые позволяют вычислять вероятности сложных событий по вероят. постам более простых событий. В теории вероятностей используются результаты и методы многих областей математики (комбинаторики, математического анализа, алгебры, логики н т.
п.). Од»ако теория вероятностей обладает некоторым своеоб. Рванем, поскольку она очень тесно связана с различ. ными приложениями, причем приложения эти не столь привычны, как, например, приложения дифференциальных уравнений, Поэтому овладеть теорией вероятностей 12 ГЛ. Ь ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО может лишь тот, кто решает много задач (этн задачи часто имеют нематематнческую постановку, н надо уметь построить соответствующую математическую модель) н приобретает, таким образом, теоретико-верояг. постную интуицию. 2 2. События Одним из основных понятий теории вероятностей является случайное событие нлн, как мы будем чаще го. зорить, просто событие.
В реальном мире случайное событие — это исход (какого-либо испытания, наблюдения, эксперимента), который может пронзойтн (насту. пить, осуществиться) нлн не пронзойтн (не наступить, не осуществиться). Пример 1. Прн бросании игральной кости') может выпасть число очков, равное какому-либо числу нз множества чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Событнямн в этом случае будут, например, А = (выпадает четное число очков), В= (выпадает число очков, не большее трех), В математической модели можно принять понятие события как первоначальное, которому не дается опре. деления н которое характеризуется лишь свонмн свойствамн. Исходя нз реального смысла понятия события, мы можем определить следующие частные случаи поня.
тня события н следующие операции над событиями. В тех случаях, когда мы одновременно рассматриваем несколько событий, мы всегда будем предполагать, что этн события могут пронзойтн илн не пронзойтн прн одном н том же испытании (т. е. прн осуществлении од. ннх н тех же условий). Достоверным событием будем называть событие, которое всегда происходит, н будем его обозначать ь). Оевозможпым событием назовем событие, которое никогда не пронсхеднт. Обозначать невозможное событие будем 8.
Событие Х назовем событием, противоположным Л, '1 Игральной костью называется кубик, сделанный из одпород. ного материала, грани которого занумерованы цифрами 1, 2, З„И, 6, 6. Число очков, выпавшее при бросании игральной кости,— вто цифра на верхней грани кубика. а а совытия если оно происходит тогда и только тогда, когда ие происходит А. Суммой или объединением событий А и Л назовем событие, обозначаемое А (3 В или А + В. ко- торое происходит тогда и только тогда, когда происхо. дят или А, или В (или оба вместе). Произведением нли пересечением событий А и В назовем событие, обозначаемое А П В или АВ, которое про- л М исходит тогда и только тогда, когда происходят и А и В вместе.
Разностью А~В собыхпз тий А и В назовем событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит А и не происходит д. д з В. События А и В назовем несовместными, если АВ = 8. Мы бу" дем писать А е= В и говорить, что событие р е. 2. сумме, произведение, разность н. л бытие В, если из на- ноложно А. отупления события А следует наступление события В. Если А е: — В и В е= А, то мы будем говорить, что события А и В равносильны, и писать А = В. В примере ! с бросанием игральной кости имеем следуюпгие события: А 0 В =(выпадает число очков, отличное от пяти), АПВ=(выпадает число очков, равное двум), А~В=(выпадаег число очков, равное 4 или 6), А=(выпадает нечетное число очков), П р и м е р 2.
На квадрат случайно бросается частица (см. рис. 2); событие А = (частица попадает.в круг А), событие В= (частица попадает в треугольник В), лнз ГЛ, Ь ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО 14 События А !) В, А Д В, А~В и Х в этом случае — это попадание частицы в области, получаемые объединением, пересечением, разностью областей А и В и дополнением А в квадрате гиа рис.
2 соответствующие области заштрихованы). В настоящее время в теории вероятностей наиболее распространенным является подход, в котором событие определяется через неопределяемое понятие элементарного события. Наиболее употребительная теоретико-вероятностная модель в прбстых случаях — это урновая модель. Пусть имеется урна с и одинаковымн шарами. Испытание состоит в том, что мы случайно выбираем иа урны один шар. Обозначим И = (ын ыъ °" ° гь4 множество шаров в урне.
Если из урны при испытании мы вынимаем шар пиыА, где А — некоторое подмножество множества шаров И, то мы будем говорить, что произошло событие А; если же гв;~фА, то мы будем говорить, что событие А не произошло. В данном случае событие А отождествляется с подмножеством Л множества всех возможных исходов или, как мы будем далее говорить, элементарных событий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
