Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1119910), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Пример 1. В урне находится М белых и !У вЂ” М черных шаров. По схеме выборки без возвращения по. следовательно выбираются два шара. Найдем вероят. ность того, что оба шара будут белыми. Эту вероятность можно найти с помощью теоремы умножения (3) ° Обозначим события А = (первый вынутый шар — бе лый), В =(второй вынутый шар — белый). Тогда вьм м м — ! чистевие веРоЯтностей Р(А)= — и Рл(В)= —, сво. дится к более простым задачам о вынимании белого шара из урны, содержащей М белых и Лг — М черных шаров (соответственно во втором случае М вЂ” 1 белых н 2У вЂ” М черных шаров). Имеем окончательно Р(АВ)= С помощью (3) по индукции легко доказывается более общая Теорема 1. (Теорема умножения.) Пусть события '!ь ° ., А„таковы, что Р (А, ... А„,) > О. Тогда Р(А, .. А„) =- ~ Р (А1) Рл, (Л2) Рл,л,(Аз) ° ° .
Рл, ... ль,(Ал) (4) аа Гл. е услОВные ВеРОятнОсти. незАВисимость Д о к а з а т е л ь от в о. Из условия теоремы 'вытекает, что существуют все условные вероятности в (4). Для доказательства (4) по индукции обозначим В =Л! .. ° ... А„ь А = А„и применим (3) и индукционное предположение о справедливости (4), когда н заменяется на и — 1. Справедливость (4) при и = 2 также следует из (3). Формулы типа (3) и (4) показывают, что на одном и том же пространстве элементарных событий Й с о-алгеброй,Ф удобно рассматривать, наряду с вероятностью Р, условные вероятности Рз.
5 7. Формула полной вероятности О и р е д ел е н и е 2. Систему событий Аь Аь ..., Л» будем называть конечным разбиением (в дальнейшем— просто разбиением), если они попарно несовместны и А!+ Ах+ ... + А»=11. (5) Теорема 2. (Формула полной вероятности.) Если Аь ° А» — разбиение и есе Р(Аь) > О, то для любого событил В имеет место формула л Р(В)= )' Р(АА) Р(В~А!), (6) называемая формулой полной вероятности. Доказательство. Из (5) следует разложение В на сумму В= Вй =ВА, + ВА2+ ... + ВА„ попарно несовместных событий, поэтому и Р (В) = 2„Р (ВЛь). Применяя к слагаемым Р (ВАА) теорему умножения, получаем (6). Пример 2.
Вычислим в урновой схеме примера 1 вероятность события В = (второй вынутый шар — бе- лый). Из классического определения вероятности имеем Р(А) = —. Р(А) =:, Р (В)= —, Р-(В)= —. М вЂ” 1 М А и — !' А и — !' $ а ФОРмулы ВАйесА По формуле полной вероятности Р(В)= Р(А)РА(В)+ Р(А)Рл(В) = ИМ вЂ” ! А! — М М М вЂ” — =+= у Ф вЂ” ! у !у — 1 !у т. с. Р(А) = Р(В). Аналогично можно установить, что вьшнмая последовательно без возвращения шары, мы получаем одну и ту же вероятность вынуть белый шар на любом месте.
Таким образом, при правильно организованной жеребьевке шансы всех участников одинаковы, независимо от того, в какой очередности они тянут жребий. Эту же задачу можно интерпретировать как вычисле!и!е вероятности вытащить белый шар иэ урны, нз которой был случайно утерян один или не. сколько шаров. 5 8. Формулы Байеса Теорема 3. Если выполнены условия теоремы 2 и Р(В) > О, то имеют место Формулы Р(Л 3В) — ( 8) ( ! А) (7) ~" г (л!)Р(в!л!) ! ! называемые форлтулами Байеса, Доказательство.
По теореме умножения Р(ААВ) = Р(АА) Р(В !АА) = Р(В) Р(ЛА (В), откуда имеем Р(А !В)= Р(АА) Р(8(АА) Применяя к знаменателю Р(В) формулу полной вероятности (6), получаем (7). Формулы Байеса можно интерпретировать следую !ииз! образом. Назовем события Л„гипотезами. Пусть событие  — результат некоторого эксперимента. Вероятности Р (АА) — это априорные вероятности гипотез, вычисляемые до произведения опыта, а условные вероятности Р(АА (В) — это апостериорные вероятности гипотез, вычисляемые после того, как стал известен ЯВ ГЛ.
3. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ исход эксперимента В. Формулы Байеса позволяют по априорным вероятностям гипотез и по условным вероятностям события В при гипотезах АА вычислять апостериорные вероятности Р(АА( В). Пример 3. Пусть имеются две урны, в каждой из которых по )(1 шаров, причем в первой урне М1 белых шаров, а во второй урне Мз белых шаров. Проводимый эксперимент состоит в том, что мы сначала с вероятностью 1/2 выбираем первую или втору|о урну, а затем из выбранной урны случайно вынимаем (с возвращением) п шаров. Пусть событие В состоит в том, что все вынутые шары — белые.
В этом случае имеем две гипотезы: Л1 — выбор первой урны и Ах — выбор второй урны. По условиям задачи априорные вероягности равны друг другу: Р(А~)=Р(АТ)=1/2. Далее, легко вычисляются условные вероятности р(В(Л ) ~ А~ . Фор~ТЗ' мулы Байеса дают нам априорные вероятности: Если Мз<М» то пРи и-+СО Р(Л,(В)= „, „- 1, ( '+( — ";)" таким образом, знание исхода В эксперимента в этом случае дает нам возможность существенным образом изменить наши априорные сведения о гипотезах Л, и Аа, ф 9.
11езависимость событий Понятие независимости относится к одному из основных в теории вероятностей. Если события А и В таковы, что Р(В) > О, то существует условная вероятность Р (А (В). В случае, когда Р (А(В) = Р(А), мы говорим, чтп событие Л не зависит от собьсгия В. Если и Р(А) ) О, то в этом случае р (лв) р (в) р (л(в) Р (А) и из независимости А от В следует независимость В от А, т, е. понятие независимости А и В симметрично, Из 5 К НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИИ а( тсоремы умножения вероятностей (3) следует, что для независимых событий А н В имеет место равенство Р(АВ)= Р(А) Р(В).
Это приводит нас к следующему определению независимости. Определение 3. События А н В называются независимыми, если Р(АВ) = Р(А) Р(В). (8) Если равенство (8) не выполняется, то события будем называть зависимыми. Это определение уже не содержит ограничений типа Р(А)>0. В частности, если Р(А)=0, то из АВ:-А следует, что и Р(АВ)=0, а тогда, в силу (8), А и В независимы, Из определения (8) следует Р(А) = Р(А (В) и Р (В) = Р (В (А), если эти условные вероятности существуют (т. е. Р (В) > 0 и Р(А) > 0 соответственно). Обычно независимость А и В, которую иногда пазы. вают теоретико-вероятностной, нли статистической, не.
зависимостью (в отличие от причинной незавнцнмостн реальных явлений), не устанавливается с помощью ра. венства (8), а постулируется на основе каких-либо внешних соображений. С помощью же равенства (8) мы вычисляем вероятность Р (АВ), зная вероятности Р(А) и Р(В) двух независимых событий. При установлении независимости событий А и В часто используют следующий принцип; события А и В, реальные лрообразы которых А и В лричинно независимы, независимы в теоретико-вероятностном смысле.
Реальный смысл э;ого принципа можно связать со свойством устойчивости частот. Пусть при )(( наблюдениях й((А), У(В), Л((АВ) — частоты событий А, В и АВ. Так как из устойчивости частот следует — -Р(А), — „=Р(В), „-Р(АВ), Ж (А) Ф (В) Ж (АВ) )(( (АВ) Р (АВ) ж Р(А(В)= —, )(( (В) Р (В) то нз неаависимости событий А н В, т. е. из Р(А(В) = Р(А), вытекает Ф (АВ) Ф (А) ж(В) н 32 ГЛ. Е УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ, НЕЗАВИСИМОСТЬ или, что равносильно, у(лй) ~ц4 и<в~ У У У (9) Свойство (9) для причинно независимых реальных событий А и В установлено многовековой практикой человека. Это и позволяет нам сформулировать приве.
денный выше принцип. Надо отметить, что этот принцип ни в коем случае не является теоремой. Так как он сформулирован не в терминах математической модели, то ои и не может быть теоремой. И, конечно, из теоретико-вероятностной независимости событий А и В не следует причинная независимость их реальных прообразов А и В. Следующий пример показывает, что независимость может исчезнуть, если незначительно изменить вероятностную модель.
П р и м е р 4. Из колоды в 52 карты (состоящей из 13 карт каждой из четырех мастей) случайно вынимается карта, Рассмотрим события А = (вынут туз) и В = = (вынута карта бубновой масти). Тогдасобытие АВ =. =(вынут туз бубновой масти). Поскольку в этом случае Р (А) = 4/52 = 1/13, Р (В) = 13/52 = 1/4, Р(АВ) = 1/52 = Р(Л) Р(В), в противном случае события называются зависимьсип. Независимость нескольких событий называется иногда независимостью событий в совокупности, то события А и В независимы. Если же колода карт со» держит еще и джокер, то А и В станут зависимыми, так как Р(А) = 4/53, Р(В) =13/53, Р(АВ) = 1/53 и Р(ЛВ) Ф Р (А) Р(В).
Понятие независимости двух событий распространяется па случай нескольких событий. О п р е дел е н и е 4. События Л ь Аь ..., А„называются независимымп,если для л|обых 1 < й < (з< ... ... <~ < а, 2 < т < и, выполняются равенства Р(Лс,А~, ° ° ° Ас„) = Р (А1,) Р (А~,) ° ° ° Р (Аю„); (10) 3 Ю. НЕЗАВИСИМОСТЬ АЛГББВ И а-АЛГЕВВ зз Из определения 4 сразу следует, что события любого подмножества Ага Агм ..., Аг, независимых событий Аь Аь, А, также независимы. Нижеследующий пример показывает, что независимость событий Аь Ам ..., А„в совокупности — более сильное свойство, чем попарная их независимость.
Пример 5. Пусть из чисел 2, 3, 5 и 30 выбирается одно число, причем каждое из чисел может быть выбрано с вероятностью 1/4. Обозначим событие А» = =(Выбранное число делится на Ц. Легко видеть, что события Аь Аз, Аз попарно независимы, но зависимы в совокупности, так как Р(4») =Р(АЗ) = Р(АЗ) = 1/2, Р(А»АЗ)= Р(АЗАБ) = = Р(АААБ) = 1/4 и Р(АЗАзАБ) = 1/4. Из определения 2 вытекает следующее свойство ус.
ловных вероятностей. Теорема 4, Если события Ан Ам ..., А„независимы, пьдгксы 1Ь /м ..., 1„1„!в, ..., /, все различны, вероятность Р(А»,А», ... Ав,) > О, то Р (АЛ ° Аг, ! А(, ° ° А~,) = Р (Ай ° ° ° Аг,). (11) Доказательство. Из независимости событий Аь ..., А„следует Р(А~, ... А~,)=Р(А0) ... Р(А~,), Р(Аг, ... А~,) = Р (Аг,) ... Р(А!,) Р(А,, ... А;,А,, ... А,,) = = Р(А~,) ... Р(А» ) Р(А0)...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
