Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1119910), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В общем случае мы будем в каждой теоретико-вероятностной модели рассматривать некоторое основное множество И = (ы). Будем называть его элементы аз элелектиркыми событиями, само множество И вЂ” пространством влелектиркых событии, а некоторые его подмножества А Ы И вЂ” событитьиьх Операции над событиями — это операции над подмножествами. Приэтом в теории вероятностей употребляется своя терминология, связь которой с теоретико-множественной терминологией отражена в таблице !. Операции суммы и произведения событий можно распространить на любое конечное или бесконечное множество событий ) ) Аа, П Аа.
Обычные свойстваоиеа а раций над множествами переносятся на операции иад событиями, например, а а а А И~А, В=И, Й=З, й т. сОБытия А~В=А~АВ=АВ, А~1А~В)=АЗ, А с= ВФВс: — А Таблица 1 Териииологии в теории миожооти Осозизч 'нг!о Ториииологи» и теории иороигиоогоа пространство (основное множество) пространство элементарных событий, достоверное событие элементарное событие а элемент пространства а событие А впюжество А АОВ, А+В сумма событий А и В сумма или объединение множеств А и В АДВ,АВ произведение событий АнВ пересечение множеств Аи В А~В ~ разность множеств А и В ~ разность событий А н В невозможное событие пустое множество протнвополржиое А собы- тие дополнительное множест- во А А и В несовместны ! АВ Я ~ А и В не пересенвютси А~В ~ А есть подмножество В ~ А влечет событие В А В ~Аииравны ~ А и В равносильны и т.
д. Иногда придерживаются следующего соглашения: если Аь А,, ..., А„попарно несовместны, то и и вместо Ц Аз = А10 Аз 0 ... Ц А„пишут ~ Л, = А1+ г ! 1-1 +Лз+ ... +А„. В общем случае бесконечного пространства ьз мы рассматриваем не все подмножества Й, а лишь некоторые классы втнх подмножеств, называемые алгебрами и а-алгебрами множеств. гл.! ввтоятностное пгосттанство О и р е д е л е н и е 1. Назовем класс Ф подмножеств пространства й алгеброй л!ножеств, если 1) Иена, ьгев.4; 2) из Аен,~Ф следует Аен,Ф; 3) из А, Вен.4 следует А() В я Ф, АД Вен Ф. Определение 2.
Алгебру множеств чг назовем о-алгеброй, если из Л„~.яг, и = 1, 2, ..., следует О (.) А„=— ж П А„=Х. л й 3. Вероятностное пространство Определение З.Тройку (11, Ф, Р), где »1 — пространство элементарных событий, Ф вЂ” о-алгебра подмножеств й, называемых событиями, Р— числовая функция, определенная на событиях и называемая вероятностью, будем называть вероятностныл! пространством, если выполнены следующие аксиомы: 1'. Р(А)~0 для всех А я.~Ф (неотрицательность Р); 2'. Р(й) =1 (нормированность Р); 3'. Р(А+ В)= Р(Л)+ Р(В), если АВ= Я (аддитивность Р); а 4.
Если А„40, т. е. А!лА»=»... и П А„=И, и ! то !йп Р(А„)=0 (непрерывность Р). Из этих аксиом вытекают следующие свойства вероятности. 1) Если А с: — В, то Р(В ", А) = Р (В) — Р(А). Так как В= А + (В ', А) и А П(В '~ А)= Я, то по аксиоме 3' Р (В) = Р (А) + Р (В '~ А). (1) 2) Если А с: — В, то Р(А)»- Р(В). Следует из (1). 3) Для любого А ен Ф 0 «» Р (А) ~~ 1. Следует из 2), так как Я с:-А~: — Р.
$3. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО 4) Р (А) = 1 — Р (А). Следует из аксиомы 3', так как А+А= И, АЛ=Я. 5) Р(0)=0. Следует из 4) и аксиомы 2'. 6) Имеет место конечная аддитивно с тес если А1А1 = 8 для л1обых 1Ф), то Р (А, + А, + ... + А„) = 2, Р (АА). (2) Следует из аксиомы 3'. Доказывается по индукции. 7) Для л1обых событий А» ..., А„ Р(С Ач)~Р Р1А ). (3) Представим Ц АА в виде суммы попарно несовмест- А-! ных событий ВА — — АА '~(А1() А10 ° ° АЛЛА-1): Ц А,=~В,. По свойству аддитивности 6) имеем Р(0 А)=ь РО1 откуда следует (3), так как Р(ВА)(Р(АА). 8) Для любых событий А и В Р(А0 В) = Р(А)+ Р(В) — Р(АВ), Следует из А() В= А+ (В '~ АВ), аксиомы 3': Р(Л() В)=Р(Л)+Р(В' ЛВ) и свойства 1): Р(В' ЛВ)= = Р(В) — Р(АВ). Аксиомы 3' и 4' можно заменить одной аксиомой с'1етной аддитивности (или, как е1це говорят, аксиомой о-аддитивности).
3*. Если события А„в последовательности А1, Ам ... попарно несовл1естны, то Рф А,) — Х Р(Л„). 141 гл !. Веьоязт!Остное НРостРАнство Теорема 1. Система аксиом 1', 2', 3', 4' равносильна систел!е аксиом 1', 2', 3'. Доказательство. Пусть справедливы аксиомы 1', 2', 3', 4', и пусть А„— последовательность попарно несовместных событий. Обозначим В„= ~, Ам А= А л+! = 2, А„.
Тогда А при любом и разлагается на ко. л 1 печную сумму попарно несовместных событий А=А, +Аз+ ... + А,+ В„, поэтому Р(А)= ~ Р(АА)+ Р(В„). Так как В„,)Я, т. е. В!:-ьВз~... и П В„=о, то л 1 по аксиоме 4' имеем Р(В„) 4 О. Отсюда вытекает счетная аддитивность (4). Пусть теперь выполнены аксиомы 1', 2', 3', и пусть В„) Я. Обозначим А„=В„",В„+о и=1, 2, ... События А„попарно несовместны и В!=2'„; А„, В„=~ Аы поэтому по аксиоме 3' ряд Р(В,)= Я Р(А„) сходится, л и сумма остатка этого ряда Р(В„) = Я Р(АА)-лО. Теорема доказана. Система аксиом 1', 2', 3', 4' или 1', 2', 3' определяет вероятностную меру на о-алгебре,Ф пространства И.
Эта система аксиом предложена Л, Н. Колмогоровым. Происхождение аксиом 1, 2', 3' можно объяснить, исходя из свойства статистической устойчивости частот. Пусть А и  — несовместные события, М(А)/У и )т'(В)/Ф вЂ” их относительные частоты в какой-либодлинной серии наблюдений. Так как У(А) ~ О,то У(А)/У ~ .% О, следовательно, то число Р(А), к которому близко отношение Ф(А)/М, должно быть неотрицательным, з ь конвчнов вагоятностнов пгостглнство 1в Для достоверного события М(И)= М, поэтому надо по. требовать Р(И)=1. Для несовместных событий Ф(А+, + В) = М(А)+ У(В), откуда У(А+В) У(А) У(В) У У Ф что н приводят к аксиоме 3'. Акснома 4' (нлн 3') нмеет несколько другое пронсхлкденне, связанное не с реальным свойством устойчивости частот, а с нуждами развиваемой на основе аксиоматнкп математической тео.
рин. Поясним сказанное на примере. Пусть на единичный квадрат бросается случайно частниа, причем вероятность попадания в любой внутренний квадрат со сторонамп, пзраллельиымн сторонам основного квадрата, равна площади меньшего квадрата. С помощью аксиомы 3' отсюда можно получить вероятность Рис.
3. попадания в любую фигуру, составленную нз суммы конечного числа квадратов. Но нам хотелось бы иметь также возможность находнгь вероятность попадания в более сложные фигуры, например, в круг. Это можно сделать с помощью аксиомы 3", приближая круг фигурамн, составленными нз конечных сумм таких квадратов (см. рнс. 3). 5 4. Конечное вероятностное пространство. Классическое определенне вероятности рассмотрим простой случай конечного вероятностного пространства.
В этом случае И = (м) — конечное пространство, .Ф вЂ” алгебра всех подмножеств множества И (ввиду конечности Ф эта алгебра автоматически представляет собой о-алгебру). Вероятность Р(А) для любого подмножества А нв И в этом случае можно задать следующим образом. Пусть заданы неотрицательные числа р„такие, что Е р„= 1. Вероятность Р(А) аып !!О ГЛ.!.
ВЕРОЯТНОСТНОБ ПРОСТРАНСТВО определим как сумму Р(А)= Е р„. (5) Р Я А Легко видеть, что так определенная вероятность (вместе с Р(Я)=0) удовлетворяет всем аксиомам. Обозначим (А! число элементов в множестве А. Частным случаем определения вероятности (5) будет так называемое классическое определение вероятности, когда все р равны друг другу. Так как 1= ~~ р„=р !11 !, то в «и и этом случае р„=- ~-!.
и ! Р(А) = —. !АУ !Я!' (6) Модель вероятностного пространства, приводящая к классическому определению вероятности, используется в тех случаях, когда элементарные события обладают свойством «симметрии» в том смысле, что все элементарные события находятся в одинаковом отношении к тем условиям, которые определяют характер испытания, Например, бросание игральной кости или монеты обладает свойством «симметрии» по отношению к выпадению того или иного числа очков на кости или той нлн иной стороны монеты, если, конечно, при броске они были достаточно высоко от горизонтальной поверхности н им было придано в начале броска вращательное дви>кение (но не вокруг осн симметрии), Таким же свойством симметрии обладают правильно организованная жеребьевка и тираж лотереи.
При нахождении вероятностей в схеме классического определения широко используется комбинаторика. Мы часто будем использовать комбинаторные понятия размещения, перестановки и сочетания. Будем исходить нз конечного множества Х = (хь хь ..., хн), состоящего нз Ф элементов хь Пусть 1 ( и ( А!. Раз>иещением из дг элементов множества Х по и элементам (коротко, размещением из !Ч по и) назовем л>обой упорядочен« ный набор (х!, х, ...
„ х ) элементов множества Х. ! $ Э Е КОНЕЧНОЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО Е! равны тогда и только тогда, когда все х,„= х) й=1, ..., и. Число всех различных размещений из М элементов по и обозначается Ан и равно М(М вЂ” 1) ... (М— — и + 1). Последнее произведение мы иногда будем обозначать как обобщенную степень ММ!. Таким образом, для числа всех размещений из М элементов по и мы имеем формулу А,Т=М~ ~=М(М вЂ” 1) ...
(М вЂ” и+1). (7) В дальнейшем будем полагать Ан — — Мв'= 1 при любом целом М ) 1. Формула (7) легко доказывается по ин. дукции. Частный случай размещения при М = и называется перестановкой из М элементов. Число всех пере. стаповок из М элементов равно Анн=М00=М(М вЂ” 1)... 2 ° 1=М1 (8) Из (?) и (8) следует также формула М (М вЂ” и)! (О) Сочетанием из М элементов множества Х по и называется любое подмножество (х), ..., х ) мощности п множества Х. Общее число всех сочетаний из М по и обозначается Сн и равно А" М Сн= — = и! и! !)т — и)! ' (10) Из (10) имеем соотношение Сн=Сн н". В дальнейшем будем полагать О! =1, Сн=! и СЕ=О, если й — целое и й<0 или я>М. Пример 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
