Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1119910), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Выборка без возвращения. Пусть имеется урна с М шарами, которые мы занумеруем числамн 1, 2...., М. Предположим, что шары с номерами 1, 2, ..., М белого цвета, остальные — черного. Выборка без возвращения состоит в том, что мы наугад вынимаем из урны последовательно и шаров, не возвращая их обратно. В этом случае за пространство элементар. ных событий !й =(а) естественно принять множество всех упорядоченных наборов ы=(ап аа, ..., а„) (11) М ГЛ. Ь ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО чисел аь 1 ~а1»= М, не равных друг другу, Мощность множества !1 равна в этом случае [ й ! = М (М вЂ” ! ) ...
(М вЂ” и +! ) = Мнн (12) — числу размещений М элементов по и. Вычислим вероятность события А, состоящего в том, что среди выбранных п шаров имеется ровно т белых. Для этого подсчитаем (А, (: (А (=С„М' ~(М вЂ” М)ь» (13) В самом деле, число элементарных событий (11), у ко- торых ровно в т случаях 1(а~ М, определяетсякак произведение: С,'," — числа способов выбора т коорди- нат из общего количества их и, на которые мы поме- щаем 1 ( а; «М; М!"'! — числа различных наборов 1 < а, < М, попадающих на отмеченные т мест; (М вЂ” М)!»-"'1 — числа различных наборов М+1 = ау ~ ~ М, попадающих на остальные места.
Из (!2) и (13) получаем СюМР»] (У М)!»- ! Р(А„) = Пользуясь (!0), мы можем вероятность Р(А ) выра. вить в следующих эквивалентных видах: с сй с„см„ Р(Ае)= „" = " „," (14) с"„с"„' П р и м с р 4. Выборка с возераи(ением. Пусть имеется та же урна, но выборка л шаров из нее проис. ходит последовательно по одному шару, и прн зточ каждый раз фиксируется номер шара, а сам шар воз- вращается обратно в урну. В этом случае пространство элементарных событий состоит из всевозможных век. торов (11), у которых координаты не имеют никаких дополнительных ограничений, кроме 1 = а~ М.
В этом случае (!) 1= М", а вероятность события А,„, вычисляемая аналогичным способом, равна Р(А»~) = С» А» — — С» (У) (! — У) . (15) э е геометэическиа вн оятиости $5. Геометрические вероятности Еще один важный класс моделей вероятностных пространств дают так называемые геометрические вероятности. Пусть И = (ы) — область евклидова л-мерного пространства с конечным п-мерным объемом. Событиями назовем подмножества И, для которых можно определить л-мерный объем. За множество событий можно принять так называемую и-алгебру Я борелевскпх подмножеств И (подробнее об этом см.
гл, 6, 3 27). За вероятность события А ~ Я примем Р (А) 1 А( (16) л Х/Х гг/3 г — 1ы1 ° где ~ Ц означает и-мерный обьРас. 4. ем множества Г Понимая под и-мерным объемом соответствующую'меру Лебега, мы получаем вероятностное пространство (И, Ю, Р), где вероятность Р определена равенством (16). Это ве. роятностное пространство служит моделью задач, в ко.
торых частица случайно бросается в область И. Предпо« лагается, что ее положение равномерно распределено в агой области, т. е. вероятность попасть частице в об. ласть А пропорциональна и-мерному объему этой области. Пример 5. Стергкень разламывается на две части в случайной точке, равномерно распределенной по дл.ше стержня. Найти вероятность того, что меньший обломок имеет длину, не превосходящую одной трети длины стержня.
Обозначим длину стержня 1, а расстояниеточ. кп разлома от одного (фиксированного) конца стерж. ня — х. Тогда описанное событие произойдет тогда и только тогда, когда либо х( 1/3, либо х) 2!/3. Искомая вероятность равна отношению (1/3+ 1/3):1= 2/3 (см. рис. 4). Пример 6. Задача Бюффона. На плоскость, расчерченную параллельными прямыми, находящимися на расстоянии а друг от друга, случайно брошена игла длины 1-.. а. Найти вероятность пересечения иглы с какой-нибудь из параллельных прямых. Обозначим у расстояние от середины иглы до ближайшей прямой, х— острый угол между иглой и перпендикуляром к парал 24 ГЛ. 1. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРЭСТРАНСТВО лельным прямым (рис. 6).
Координаты (х,у), определяющие положение иглы относительно параллельных прямых, удовлетворяют условиям О ~ х « и/2, О((/< ( (/2. На плоскости (х,у) они образуют прямоугольник Я. Попадание точки (х,у) в заштрихованную об. ласть Л (см. рис. 6) приводит к пересечению иглы с У а/1 1/г у=-сын 1 г л/г ш Рис. б. Рис. 5. одной из параллельных прямых. По формуле (16) искомая вероятность равна '1 — соз к Нх )А) с ) )ь) ) а/2 ° н/2 ол ' Задачи !. События А и В несовместны. Доказать, что В = А тогда и только тогда, ногда А + В ь). 2. Известно, что АПВ (2) и АДВ (2).
Доказать, что в этом случае В. А, 3. Доказать, что события АВ О А и В ~ А равносильны. 4. Доказать, что А ~ (А ', В) =АВ. Б. Доказать, что: а) АВ = В тогда н только тогда, когда Вы А; б) АЦВ В тогда и только тогда, когда А: — В. Б. На карточке спортлото нз 49 клеток отмечено шесть. Какова вероятность того, что ровно три из отмеченных клеток выпадут в очередном тиран<е) (В тираже производится случайная выборка шести элементов без возвращения из множества 49 клеток карточки спортлото.) 7.
Трехзначное число случайно и равновероятно выбирается из всего множества трехзначных чисел. Найти вероятность того, что оно делится: а) на 3; б) на 5. 8. Деталь с вероятностью 0,0! имеет дефект А, с вероятностью 0,02 имеет дефект В и с вероятностью 0,005 имеет оба дефекта. Найти вероятность того, что деталь имеет хотя бы один дефект, алддчи 9. При жеребьевке й? человек тянут билеты с номерами 1, 2... й?. Первые три человека вытянули номера х», х», х». Капова вероятность того, что пцп(хь хз) С х» ( гпах(хь хз)? 10. Из кармана, в котором находится 1О монет достоинством 20 коп. и 10 монет достоинством 3 коп., вынимается пригоршня из 1О случайно взятык монет, Какова вероятность того, что в кармане осталась сумма дснсг, нс мспыпая той, что вынута? 11.
Из 1О' чисел 0000, 0001, 0002, ..., 9999 случайно и рав- е новероятио выбирается число. Какова вероятность того, что в выбранном числе: а) все цифры разные; б) имеются только 3 разные цифры; в) имеются только 2 разные цифры; г) все цифры одинаковые? 12, На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата а бросается наудачу монета радиуса г, 2г ( а. Найти всроятность р» того, что монета Рис. 7.
будет иметь общие точки с й квадратами, й = 1,2,3,4. 13. На паркет, изображенный на рис. 7, случайно падает монета радиуса г, 2г ( а. Найти вероятность того, что монета целиком окажется внутри маленького квадрата. 14. На квадрат случайво с равномерным распределением бросается частица. Йайти вероятность того, что она удалена от вершин квадрата на расстояниц не меньшее половины длины стороны квад.
рата. Г л а в а 2. УСЛОВНЪ|Е ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ 5 6. Условные вероятности Пусть при Л испытаниях события А, В и АВ произошли с частотами Аг(А), й((В) и Аг(АВ). Назовем отношение й((А В) /й((В) условной относительной частотой события А при условии, что произошло событие В. Если имеет место устойчивость частот — = Р(А), — „, = Р(В), -"* Р(АВ) н Р(В) > О, то относительная частота й((АВ)/Аг(В) тоже устойчива: ю (АВ) л (лВу(( Р (лп)' л (и) л (в)(н р(в) (1) Соотношение «1) приводит к следующему естественному определению.
Определение 1. Пусть Р(В) >О. Условной взролтностьо Р(А ~В) события А при условии, что произошло событие В (или просто: при условии В), назовем отношение В) (2) Для условной вероятности Р (А ) В) применяется также ооозпзчсзпе Рв(А). Если В фиксировано, а А ен .4 из некоторого вероятпостцого пространства (11,,я~, Р), то условная вероятность Рз(А), рассматриваемая как функция Рз от события А я .эФ, определяет новое всроятностпое пространстзо (й,,тФ, Ра). Для того чтобы это установить, надо проверить, что Рз удовлетворяет аксиомам 1' — 4'.
Это легко делается, так как в силу (2): Р,(1)= р(,) ~~б, Р,(11)= р(п) Р (пй) р (ой) $ б. УСЛОВНЫВ ВЕРОЯТНОСТИ если А~А2= Я, то (А2В) П(А2В) = Я и Р (Л,В+ Л2В! Р (Л,В) Р (Л,В! Ра( 1+ 2) — р (в! р р~ + р(в! = Рв(А1) + Ра(А2)! н, наконец, из А„) Я следует ВЛ„! Я, поэтому Переписывая (2) и форме Р(АВ) = Р(В) Ра(Л), (3) мы получаем равенство, которое называют теоремой униожения. Если исходить нз определения (2), то содержательность теоремы умножения (3) представляется весьма невысокой. Однако в применениях мы часто условную вероятность Ре(Л) буден вычислять, исходя не пз формулы (2), а из каких-либо других соображении. В этом случае формула (3) уже определяет Р(АВ) с помощью Р(В) и Р(В!Л), а не наоборот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
